把划水画成一个圈
横轴取左臂长度，纵轴取右臂长度。三球泳者的每一种形状，都是这个平面上的一个点；每一种周期划法，都是一条首尾相接的曲线。Najafi 和 Golestanian 的四步正方形，从十、十微米那个角出发，走到六、十，再到六、六，再到十、六，最后回到起点。这是一个逆时针的圈，圈住十六平方微米。
Purcell 给他的双铰泳者画过同样的图，两个轴是两个铰链角，划法是一个圈。他把泳者往哪边走留作读者的谜题，还说答案并不显然。有了这张圈图，谜题就变成了一道计算题。
从线积分到面积
第三章把距离写成了路径积分。路径首尾相接时，它就是绕曲线一圈的线积分。格林定理把它化为圈内区域上一个标量场的积分：第二个系数沿第一条臂方向的变化率，减去第一个系数沿第二条臂方向的变化率。
这个场告诉你，形状空间里每一小块值多少距离。两条手臂都短、小球耦合强的地方，它最大；手臂变长，它就逐渐减弱。一个圈走的距离，等于把圈内每个小块上的场值加起来；逆时针的圈记正，顺时针记负。
数值基准验证了这个转换。绕默认正方形算线积分，得到 0.172091 微米；在圈住的正方形上用 60 乘 60 的网格把场加起来，得到 0.172088。两者相差十万分之二。
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默认正方形的面积律
圈子比手臂小得多时，场在圈内几乎不变，积分就成了圈中心处的场值乘以带方向的面积。Golestanian 和 Ajdari 在方程 13 里给出了这个系数。三颗小球等大时，它化为三分之一半径，乘上一个由臂长平方倒数组成的方括号。
默认正方形的中心处，两条手臂都是八微米。系数为每微米 0.009115，面积十六平方微米，估计值是 0.146 微米。完整计算给出 0.172，面积律对这个圈少算了约百分之十五。
两个近似造成了这个差距。一是圈太大：边长是臂长的一半，场在圈内有明显变化。二是小球有大小：面积律只是半径与臂长之比的最低阶。数值基准用极小的圈单独考察第二个因素，相对误差随半径与臂长之比一起缩小，逐渐接近这个比值的七分之五。实验里的小圈预设，围绕两臂都是九微米的那一点，半径 1.2 微米，面积 4.32 平方微米；它每周期走 0.0344 微米，面积律估计为 0.0311。
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平滑划水与相位差
真实的驱动器往往动得很平滑。让每条手臂绕各自的平均长度振荡，振幅各不相同，频率相同，两者之间差一个相位。形状空间里的圈于是成了椭圆，面积等于圆周率乘两个振幅，再乘相位差的正弦。
Golestanian 和 Ajdari 的方程 16 给出这种泳者的平均速度。两臂相差四分之一周期时速度最大；两臂同步，或者正好反相，椭圆压扁成一条线，速度为零。
取两臂平均长度八微米，振幅各两微米，每秒一个周期，相差四分之一周期。这时的圈是半径两微米的圆，面积约 12.6 平方微米，平均速度约每秒 0.11 微米。
反向的圈和 8 字
同一个圈改成顺时针走，每一小块面积都改变符号，距离也正好反号。实验里的反向预设每周期向左走 0.172 微米。两个方向每周期都耗散 6.93 阿焦，耗散和绕圈方向无关。
8 字形有两瓣，绕行方向相反，带方向的面积为零，面积律给出零。可两瓣所在处的场并不一样。实验里的 8 字预设，逆时针那瓣落在两臂长八到十一微米的范围，顺时针那瓣落在五到八微米的范围。短臂那瓣更“值钱”，泳者每周期向左漂 0.018 微米，约为正方形一步的十分之一，同时耗散 9.34 阿焦。圈要小到场在圈内近乎均匀，单看面积才估得准。