低雷诺数 · 壁面

贴壁泳者：滑行、转向壁面还是逃离

微小泳者靠近壁面时，为什么有的贴着滑行，有的转进壁面，有的游走？ 壁面会把泳者推出的水流“反射”回来，反射流每划一次就让它转一点。在这个模型里，与壁面平行的泳者会转向壁面，转动随高度的四次方减弱。起点低时，它一起一伏地贴壁滑行；起点更高，反而转进壁面；起步时朝外的角度够大，它就逃离。

把三球泳者放在壁面上方，跟踪几千个划水周期：起始高度和倾角决定它贴壁滑行、转向壁面还是逃离。

起始高度与倾角

选一个起点

起始离壁高度

h_0

10\,\mu\mathrm{m}

起始朝壁倾角

\psi_0

0^{\circ}

两臂相位差

\delta

90^{\circ}

在场景里上下拖动泳者，选择起始高度。

延时

延时倍速

N

800\,\mathrm{cycles/s}

动画中每秒推进的划水周期数。为了看清动作，臂的伸缩被放慢到每秒约一次；真实泳者每秒划水 5 次，走完这条路径要几个小时。

泳者怎样计算

三个半径 1 µm 的小球，平均臂长 10 µm。每条臂按所选相位差作 1 µm 的简谐伸缩，每秒 5 次。每个小球的速度由三个球受力经壁面约束下的斯托克斯流动决定；整个泳者不受净力、净力矩。

先在时间上精确积分一个划水周期（四阶龙格—库塔，16 步），把它的净位移和净转角当作每周期的变化率，再以最多 50 个周期为一步积分几千个周期。

模型假设

壁面是无滑移平面。小球按点力推动水流，壁面通过 Blake 镜像系统把流动“反射”回来；每个小球自身的阻力按半径与高度之比修正到一阶。只有每个小球离壁面都超过约两个半径，这个模型才成立，所以运行到这里就停下：模型不含接触力和润滑力。轨迹是延时画面，每一步都是若干完整划水周期的精确净位移。这里没有布朗运动。

离壁高度

7.92\,\mu\mathrm{m}

朝壁倾角

7.33^{\circ}

沿壁前进距离

29.9\,\mu\mathrm{m}

已划水周期数

1{,}600

粉色是模拟的泳者。右图用一个已发表的远场公式检验与壁面平行的泳者：在 12 倍臂长处两者相差不到 1%，靠近壁面时公式不再适用，两者分开。

更多数值与原始记录

按每秒 5 次划水计的游动时间 $320\,\mathrm{s}$

最低小球中心离壁高度 $6.65\,\mu\mathrm{m}$

12 倍臂长处模型转角与远场公式之比 $0.994$

JSON 记录包含模型版本、单位、几何参数、每次起点或参数改动、采样的位置和倾角，以及远场检验的数值。

小球大小、划水方式和远场公式（式 28c）取自 Daddi-Moussa-Ider、Lisicki、Hoell 与 Löwen（2018）。壁面张量是 Blake（1971）的结果，写法与该文式 5–7 相同。阅读 2018 年论文

物理教程

壁面通过泳者自己推出的水流让它转向

背景细菌和精子常常聚到玻片和通道壁附近。并没有什么力把它们拉过去：泳者推动的水在固体表面上不能滑动，壁面就把一部分流动“反弹”回泳者身上。

为什么值得理解Daddi-Moussa-Ider、Lisicki、Hoell 与 Löwen 跟踪了同一种三球泳者在壁面旁的运动，发现三种结局：被壁面捕获、逃离，或在一个平均高度上起伏滑行。本实验采用他们的小球大小和划水方式，但用更简单的远场方式描述壁面。

先抓重点

核心问题: 微小泳者靠近壁面时，为什么有的贴着滑行，有的转进壁面，有的游走？
一句话直觉: 与壁面平行时，泳者会转向壁面，每个周期的转角随高度的四次方减小。位置较低时，每次向壁面俯冲之后都会抬升，于是起伏滑行；位置较高时，还没等到抬升就已经转进壁面；起步朝外的角度够大，它就能在转回来之前游远。

核心数学模型

无滑移壁面旁的点力

\mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{G}^{\mathrm{W}}(\mathbf{r},\mathbf{r}_0)\cdot\mathbf{f},\qquad \mathbf{G}^{\mathrm{W}}=\mathbf{G}^{\mathrm{O}}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)-\mathbf{G}^{\mathrm{O}}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0^{*})+\text{doublets at }\mathbf{r}_0^{*},\qquad \mathbf{v}\big|_{z=0}=0

Blake 镜像系统：点力在自由空间中的流动，减去壁面下方的镜像，再加上镜像点处的两项修正，就让壁面上的水保持静止。本实验用这个张量把三个小球耦合起来。

靠近壁面时每个小球阻力更大

\mu_{\parallel}=\frac{1}{6\pi\eta a}\left(1-\frac{9a}{16h}\right),\qquad \mu_{\perp}=\frac{1}{6\pi\eta a}\left(1-\frac{9a}{8h}\right)

高度为 h 的小球在同样的力下动得更慢，垂直于壁面的方向比平行方向减慢得更多。这些一阶修正在几个半径以内不再准确，所以小球进入两个半径以内时运行就停止。

远离壁面时，转动随高度的四次方减弱

\frac{d\psi}{dt}\approx-\frac{9aK}{512\,z^{4}}\left(15+\frac{45a}{2}\right),\qquad K=-u_{10}u_{20}\sin\delta

Daddi-Moussa-Ider 等人对与壁面平行的泳者推导出这个结果，长度以平均臂长为单位，时间以划水角频率的倒数为单位。下方图表在各个高度上把它和完整模型并排比较。

常见难点

壁面没有用力吸引

容易误解一定有什么力把泳者拉向壁面。

正确理解泳者在任何时刻受到的净外力都是零。壁面只改变泳者自身推出的水流的去向，被改变的流动让泳者的轴线转向，然后泳者自己游了进去。

这个模型没算什么

容易误解运行结果显示了泳者碰到壁面之后会怎样。

正确理解有小球进入离壁两个半径以内时运行就停止，因为这个模型不含接触力和润滑力。在 Daddi-Moussa-Ider 等人更细致的计算中，被俘获的泳者最后几乎正对壁面，悬停在一个固定高度。

动手实验

01
看它滑行
从“贴着壁面滑行”开始，看高度读数经历几次起伏。
你会看到： 高度在约 6 到 10 µm 之间来回摆动，每次都回到相同的最高点。轨迹图是一条稳定的波。
02
把起点抬高
选“起点更高，反而转向壁面”，或把泳者拖到约 20 µm 高。
你会看到： 它起初几乎水平地滑行，慢慢朝壁面倾斜，再也拉不起来。最低的小球到达模型下限时，运行停止。
03
让它朝外，再取消闭合圈
选“朝外起步，逃离壁面”。再把两臂相位差调到零。
你会看到： 朝外倾斜 26° 时，它爬过壁面还能把它拉回的高度。相位差为零时，两臂同进同退，不论有没有壁面，泳者都停在原处。