断裂力学 · 能量释放率

Griffith 裂纹扩展判据

裂纹什么时候开始长？长起来以后会停下还是一发不可收？ 裂纹往前走一小步释放的弹性能，够付新表面的代价，它就会长。恒定应力下这笔能量随裂纹变长而增加，平板裂纹一发不可收；夹头固定时它持平或下降，裂纹匀速撕开或自己停下。

给带裂纹的平板、夹紧长条或边缺口试样加载。释放的弹性能够付新表面的账，裂纹就长。可导出能量记录。

裂纹长度 / 宽度

0.3

载荷 / 预测起裂载荷

0.91

能量释放率 / 韧性

0.828

多余释放占做功比例

0\%

蓝线是当前载荷下模拟得到的能量释放率，红色虚线是韧性。柱条把载荷做的功拆开记账。

保存这次运行，查看模型

JSON 列出试样、网格、单位、模型版本、预测起裂载荷，以及每个载荷步的四项能量。

平板情形用 Sargado 等人引用的中心裂纹正割公式检验，夹紧长条用其稳态能量释放率的精确值检验。阅读原文

先抓重点

G=-\frac{\partial\Pi}{\partial a}\ge G_c

裂纹每前进单位长度（单位厚度），受载物体的势能就下降 $G$ 。这笔释放达到韧性 $G_c$ ，也就是每单位新裂纹面积所需的能量，裂纹才能长。

G=\frac{P^{2}}{2}\frac{dC}{da}

一个裂尖、单位厚度时，能量释放率等于柔度随裂纹长度增长的快慢乘上载荷平方的一半。恒载和固定夹头下都成立。Lab 用只看裂尖节点的裂纹闭合估计来交叉检验。

G_{\text{plate}}=\frac{\pi\sigma^{2}a}{E}F\!\left(\frac{a}{w}\right)^{2},\qquad G_{\text{strip}}=\frac{(\lambda+2\mu)\Delta^{2}}{h}

远场应力下平板中心裂纹越长，释放的能量越多。两侧夹头各移动给定位移时，夹在中间的长裂纹释放的能量保持恒定，不再依赖裂纹长度。

W=U+\Gamma+D,\qquad D\ge 0

载荷做的功分成弹性储能、新裂纹表面能，以及准静态模型无法追踪的多余释放。裂纹在高于起裂载荷时向前跳，就会出现这部分多余能量。

容易误解裂尖应力超过强度，裂纹就长。

正确理解线弹性尖锐裂纹在任何载荷下裂尖应力都发散。Griffith 改为比较能量，得到有限的起裂载荷。

容易误解预测的起裂载荷就是真实试样的结果。

正确理解二维线弹性有限元模型，直裂纹位于对称面上。能量释放率达到韧性时，裂纹面节点逐个释放。单位：杨氏模量为 1，韧性为 1，试样宽度为 1。模型不含塑性、过程区、惯性和裂纹转向。

01
看平板裂纹一发不可收
选“平板裂纹一发不可收”，让载荷上升。裂纹开始长时，看数据区里的释放率曲线。
你会看到： 白点碰到韧性线后，曲线随长度继续上升。裂纹在同一载荷下穿过平板，多余能量那一栏变长。
02
对比短裂纹
选“短裂纹要更大应力”，或把裂尖往中心拖。
你会看到： 短裂纹每走一步释放的能量更少，要更大应力才会长。
03
固定夹头
选“夹紧长条匀速撕开”，再选“夹紧边缺口逐步扩展”。拖动夹头调大或调小位移。
你会看到： 夹头固定时，裂纹在很窄的位移范围内长完，夹头一停它也停。多余能量一栏接近零；恒定应力下的平板，约三分之一的功成了多余能量。

裂纹在账付得起时才长