FR40 · Prandtl–Tomlinson 模型

原子黏滑：AFM 针尖如何感受摩擦

针尖被拖过晶体表面时，为什么是一跳一跳地前进？ 因为牵着针尖的弹簧太软，拦不住它卡进原子之间的凹位。弹簧被拉长时针尖停在一个凹位里，凹位消失后它落入下一个。每次下落释放的能量变成热，每个原子间距的热就是摩擦。用为盐晶体拟合的参数，缓慢的低温针尖在约 0.68 nN 处滑移，平均摩擦 0.53 nN。

拖动由弹簧牵着的针尖划过盐晶体，看它先粘住、再向前跳一个原子。锯齿形的力和每次跳跃留下的热，就是摩擦。

黏滑参数

\eta

$11.5$

平均摩擦力 $0.324\,\mathrm{nN}$

每个晶格周期的热 $0.809\,\mathrm{eV}$

平均滑移长度 $1\,a$

弹簧牵着的针尖划过盐晶体

起伏幅度

U_0

0.27\,\mathrm{eV}

温度

293\,\mathrm{K}

扫描速度

100\,\mathrm{nm\,s^{-1}}

弹簧常数

0.93\,\mathrm{N\,m^{-1}}

左右拖动紫色扫描器，或在它上面按方向键。针尖先粘住，再跳过一个原子。

高级：阻尼

阻尼率

8.9\times10^{5}\,\mathrm{s^{-1}}

阻尼决定针尖多快失去滑移的能量。比 NaCl 拟合值轻十倍的阻尼会让针尖冲进下一个势阱。

模型、单位与来源

$M\ddot x=-\partial_x E(x;X)-M\gamma\dot x+\xi(t),\quad \langle\xi(t)\xi(t')\rangle=2M\gamma k_BT\,\delta(t-t')$

$a=0.4\,\mathrm{nm},\quad M=8.7\times10^{-12}\,\mathrm{kg},\quad \gamma=8.9\times10^{5}\,\mathrm{s^{-1}}$

运动方程是 Sang、Dubé 与 Grant（2001）的式 2，用时间步为阱内振动周期十分之一的 Langevin 分裂格式积分。虚线参考是只由能量曲面算出的零温准静态路径。画面是示意图，时间放慢了约一亿倍。

Sang, Dubé & Grant (2001), PRL 87, 174301 · Vanossi et al. (2013), Rev. Mod. Phys. 85, 529

在课程中跟着推导 · 对照叠放木块的滑动摩擦

模型假设

针尖采用一维 Prandtl–Tomlinson 模型：弹簧牵着的质点位于正弦形基底势之上，带 Langevin 阻尼与热噪声。默认参数取自 Sang、Dubé 与 Grant（2001）为匹配 NaCl 测量所选的数值：晶格周期 0.4 nm，起伏幅度 0.27 eV，弹簧 0.93 N/m，质量 8.7e-12 kg，阻尼 8.9e5 1/s。模型不含磨损、接触面积变化、第二个侧向方向，也不含单根弹簧之外的悬臂弹性。屏幕上的运动大约放慢了八个数量级。

针尖此刻感受到的能量

侧向力：锯齿线

功去了哪里

物理教程

一个原子一个原子地看摩擦

背景原子力显微镜用一根软悬臂牵着尖锐的针尖在表面上拖动。在干净的晶体上，测到的侧向力并不平稳：它缓慢上升，突然下落，再按表面原子的间距重复。这条锯齿线就是在最小尺度上看到的摩擦。

为什么值得理解Prandtl–Tomlinson 模型只用一根弹簧和一条起伏的势能曲线就解释了锯齿。它告诉我们针尖何时粘住、跳跃前需要多大的力，以及扫描器做的功去了哪里。几乎所有后来的原子摩擦模型都从它出发。

先抓重点

核心问题: 针尖被拖过晶体表面时，为什么是一跳一跳地前进？
一句话直觉: 只要弹簧比基底势的曲率更软，针尖就有不止一个可以停留的位置。弹簧被拉长时它仍待在原来的势阱里，直到这个势阱消失，针尖才落入下一个势阱。下落时释放的能量变成热，每个周期的热除以晶格周期，就是摩擦力。

核心数学模型

针尖的能量

E(x;X)=-U_0\cos\frac{2\pi x}{a}+\frac{k}{2}(x-X)^{2}

位于 $x$ 的针尖感受到幅度为 $U_0$ 、周期为 $a$ 的基底势，并由刚度为 $k$ 的弹簧连到位于 $X$ 的扫描器上。这是 Sang、Dubé 与 Grant（2001）的式 1。

针尖何时能粘住

\eta=\frac{4\pi^{2}U_0}{k a^{2}}>1

取 $U_0=0.27\,\mathrm{eV}$ 、 $k=0.93\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ 、 $a=0.4\,\mathrm{nm}$ ，得 $\eta=11.5$ 。小于 1 时，对每个扫描器位置能量只有一个极小值，针尖平滑跟随，零温摩擦为零。

从能量账本得到摩擦力

\langle F\rangle=\frac{Q_{\text{period}}}{a}

经过许多周期后，弹簧和针尖回到相同状态，扫描器做的功全部以热 $Q_{\text{period}}$ 的形式离开。室温、 $100\,\mathrm{nm\,s^{-1}}$ 时模拟针尖给出 $0.324\,\mathrm{nN}$ ，每个周期约留下 $0.81\,\mathrm{eV}$ 。

常见难点

跳跃本身就是摩擦

容易误解摩擦是针尖蹭过每个原子时感受到的力。

正确理解基底力在一个周期内平均为零。剩下的是滑移释放、又被阻尼带走的能量；如果没有滑移，被缓慢拖动的针尖会把收到的功全部还回去。

热会让摩擦变大

容易误解温度越高，针尖摩擦得越厉害。

正确理解热扰动让针尖在势阱消失前就越过势垒，于是它在更小的力下滑移。在这个模型里，100 nm/s 时室温把摩擦从 0.53 nN 降到约 0.32 nN。

动手实验

01
观察一次滑移
选择“低温针尖在折点滑移”，同时看力图和能量图。
你会看到： 力上升到约 0.68 nN，前方势垒缩小到零，针尖落下一个晶格周期。平均力约 0.53 nN，与 $T=0$ 参考线一致。
02
先预测，再减弱基底
先猜 $\eta$ 降到 1 以下会怎样，再选择“平滑滑动”。
你会看到： 起伏为 0.02 eV 时 $\eta=0.85$ ：锯齿消失，针尖跟随扫描器，平均摩擦几乎降到零。
03
解释更长的跳跃
选择“长距离滑移”，阻尼减为十分之一，读出滑移长度。
你会看到： 针尖冲过头，落在前方第二个势阱。由于每个周期释放的能量更少，平均摩擦降到约 0.37 nN。

原子黏滑：AFM 针尖如何感受摩擦

一个原子一个原子地看摩擦

核心数学模型

针尖的能量

针尖何时能粘住

从能量账本得到摩擦力

常见难点

跳跃本身就是摩擦

热会让摩擦变大

动手实验

观察一次滑移

先预测，再减弱基底

解释更长的跳跃

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