摩擦等于每次滑移损失的能量

功、摩擦和热是同一个数

扫描器以速度 $v$ 前进，弹簧以力 $F$ 拉着它，所以扫描器每秒做功 $Fv$ 。稳态下针尖的平均能量不再变化，这些功必须全部以热的形式离开。于是平均摩擦力、每个周期的功和每个周期的热只差一个因子 $a$ 。

基底的力在一个周期内平均为零，所以摩擦不来自针尖“蹭过”原子时的力。如果 $\eta<1$ ，缓慢拖动的针尖会把收到的功几乎全部还给扫描器，只剩黏性阻力；Vanossi 等人写道，这时摩擦是黏性的，速度趋于零时摩擦也趋于零。

如果 $\eta>1$ ，每次滑移都有一段能量落差。Vanossi 等人引用 Helman 等人的结果：低速动摩擦等于从失稳点到下一个能量谷的能量落差除以 $a$ 。跳 $n$ 格时，分母换成 $na$ 。

\langle F\rangle\,v=\frac{\Delta W_{\mathrm{drive}}}{\Delta t},\qquad F_k(v\to0)=\frac{U(x_c,X_c)-U(x_{n},X_c)}{n\,a}

左式是稳态的能量平衡；右式是低速极限下的摩擦，

x_n

是滑移后到达的能量谷。

来源：A. Vanossi · Y. Sang

跳一格还是跳两格

能量谷消失时，针尖往前冲。它停在哪个谷，要看冲过去的能量被带走得有多快。Vanossi 等人引用 Medyanik 等人的结果：只有 $\eta>4.604$ 时才可能跳多格，而且这只是必要条件。

在 $\eta>4.604$ 的情形里，Vanossi 等人用一个阻尼尺度 $\gamma_*$ 划分两种行为：阻尼大于它时，针尖只跳到相邻的谷；阻尼小于它时，针尖可能连跳几格，甚至冲过最低的谷。

Sang 等人的参数给出 $\gamma_*=1.11\times10^{6}\,\mathrm{s^{-1}}$ ，而他们用的阻尼是 $8.9\times10^{5}\,\mathrm{s^{-1}}$ ，略低于这个尺度。按照这条判据针尖“可能”跳多格，但课程的零温模拟里它每次只跳一格。把阻尼降到 $2.67\times10^{5}$ 或 $8.9\times10^{4}\,\mathrm{s^{-1}}$ ，针尖才每次跳两格。这再一次说明判据是必要的，不是充分的。

\gamma_{*}=\frac{2\pi}{a}\sqrt{\frac{U_0}{m}}=1.11\times10^{6}\,\mathrm{s^{-1}}

数值用 Sang 等人的参数。阻尼大于

\gamma_*

时只跳相邻的谷，小于它时可能连跳几格。这个分界只在

\eta>4.604

时有意义；

\eta

较小时能量图里没有足够多的谷可以跳。

来源：A. Vanossi · Y. Sang

模拟的能量账

课程的 Lab 用 Sivak 等人写下的分步积分器：先让速度与热浴交换能量，再按力推进位置和速度，中间移动扫描器。Sivak 等人证明，这样一来每一步的能量变化恰好分成三份。第一份是与热浴交换的热 $Q$ ，第二份是移动扫描器做的协议功 $W_{\mathrm{prot}}$ ，第三份是有限时间步带来的影子功 $W_{\mathrm{shad}}$ 。

影子功不是物理的，它是积分误差的账面记录。零温下拖动 10 个周期，扫描器做功 13.77 eV，影子功只占它的 $-5.2\times10^{-4}$ ；时间步每减半，这个比例缩小 4.0007 和 4.0003 倍，正是二阶方法应有的 $\Delta t^{2}$ 。Lab 读出的“每个周期的热”可以当作真实耗散。

Vanossi 等人也提醒：模型里的 $\gamma$ 代替声子带走热量这个真实过程；它会改变动力学，可它的值没有明确的选法。上一节两格滑移的例子正说明了这一点。

\Delta E=Q+W_{\mathrm{prot}}+W_{\mathrm{shad}}

Sivak 等人的式 (5)。

Q

是热浴给系统的能量，针尖放热时为负。

站内相关：一次拉动里的功和热

来源：D. A. Sivak · A. Vanossi

完整例题：一次滑移放出多少热

题目。用 Sang 等人的参数（ $U_0=0.27\,\mathrm{eV}$ ， $a=0.4\,\mathrm{nm}$ ， $k=0.93\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ ），零温、缓慢拖动。求针尖跳一格和跳两格时的低速摩擦。

第一步，折点。第二章已求出 $X_c=2.084\,a$ ， $x_c=0.264\,a$ 。此时总能量 $U(x_c)=0.024+1.538=1.561\,\mathrm{eV}$ （基底项加弹簧项）。

第二步，滑移后的谷。保持 $X_c$ 不变，下一个谷在 $x_1=1.091\,a$ ，能量 $-0.227+0.457=0.230\,\mathrm{eV}$ ；再下一个谷在 $x_2=2.007\,a$ ，能量 $-0.267\,\mathrm{eV}$ 。

第三步，摩擦。跳一格： $(1.561-0.230)\,\mathrm{eV}/0.4\,\mathrm{nm}=1.331\,\mathrm{eV}/0.4\,\mathrm{nm}=0.533\,\mathrm{nN}$ 。跳两格： $1.828\,\mathrm{eV}/0.8\,\mathrm{nm}=0.366\,\mathrm{nN}$ 。

检验。零温模拟以 10 nm/s 拖动，平均摩擦 0.5338 nN，比能量落差的预测高 0.15%，差别来自滑移前的延迟（第二章）。把阻尼降到 $2.67\times10^{5}\,\mathrm{s^{-1}}$ ，模拟给出 0.3666 nN，比预测高 0.13%。

解释。跳两格时，针尖一次放出更多能量，但扫描器要多走一格才再次滑移，每个周期的能量反而少了。室温下 Lab 默认状态读出每个周期 0.809 eV，正好等于 0.324 nN 乘以 0.4 nm；热噪声让针尖在折点之前就滑移，能量落差变小，这是第四章的主题。

来源：A. Vanossi · Y. Sang

到实验里试一试

功和热的两条线

先预测：拖动几个周期之后，“功去了哪里”图里扫描器做功和传给基底的热两条线会怎样相对变化？
用默认预设看几个周期，记下两条线的斜率，再读出“每个晶格周期的热”和“平均摩擦力”。
用 0.4 nm 把平均摩擦换算成每个周期的功，与热的读数比较，并解释两条线为什么在每次滑移时一起上台阶。

轻阻尼让针尖跳两格

先预测：阻尼减为十分之一，针尖每次会跳几格？平均摩擦会变大还是变小？
选“长距离滑移”，读出平均滑移长度和平均摩擦力，看力图的锯齿周期。
用本章例题中两格滑移的能量落差解释读数，再把阻尼滑块慢慢调回去，找出针尖重新每次只跳一格的位置。

练习与解答

黏滑参数 $\eta<1$ 的针尖被极慢地拖动。扫描器做的功去了哪里？平均摩擦是多少？
展开解答
总能量只有一个谷，针尖连续地跟着扫描器走。拉伸时弹簧存进的能量在下半个周期全部还给扫描器，每个周期净功为零，只剩黏性阻力 $m\gamma v$ ，速度趋于零时它也趋于零。
Lab 默认状态以 100 nm/s 拖动，平均摩擦 0.324 nN。针尖每秒放出多少热？相当于每秒多少次 0.809 eV 的滑移？
展开解答
功率 $P=Fv=0.324\times10^{-9}\times10^{-7}=3.24\times10^{-17}\,\mathrm{W}$ 。每秒前进 250 个周期，每个周期 0.809 eV，乘起来 $250\times0.809\times1.6\times10^{-19}\,\mathrm{J}=3.24\times10^{-17}\,\mathrm{J}$ ，一致。
把时间步减半，影子功占扫描器做功的比例应怎样变化？如果它不变，说明了什么？
展开解答
分步积分器的影子功随 $\Delta t^{2}$ 减小，时间步减半时比例应缩小约 4 倍，课程的检验得到 4.0007 和 4.0003。如果比例不变，说明能量账里还有别的误差，例如力或扫描器移动的写法有误。

来源与复算范围

A. Vanossi, N. Manini, M. Urbakh, S. Zapperi and E. Tosatti, Colloquium: Modeling friction: from nanoscale to mesoscale, arXiv:1112.3234v4; Reviews of Modern Physics 85, 529 (2013)
2013 年 4 月 3 日 v4。第 I 节：Coulomb–Amontons 摩擦定律。第 II.A 节：Prandtl–Tomlinson 模型（式 1）、黏滑参数、滑移开始的折点、在折点附近按二分之三次方缩小的势垒、该参数大于 4.604 时的多重滑移，以及低速摩擦等于能量落差的规则。第 II.C 节：带噪声的 Langevin 方程（式 2、3）、拉动速率与跳跃速率之比、热润滑（式 4）、对数规律（式 5），以及与低温实验的分歧。第 II.D 节：Frenkel–Kontorova 链（式 6）与 Aubry 转变。第 II.E 节：超润滑、对这个名称的批评、文中转述的石墨薄片实验（多数取向低于 50 pN，接近相称取向时约 250 pN，以及薄片转回相称取向），图 4 与图 5，以及“摩擦峰的角宽度约为薄片直径的倒数”这条规则。第 III.A 节：热浴，以及没有公认取法的阻尼率。第 III.B 节：模拟能达到的时间与尺寸，以及实验与模拟中黏滑消失速度之间最多六个数量级的差距；文中印出的“每个模拟日约 1 微秒”比它自己的算式小约 9 倍。第 VI 节：结论。我们用自己的模型复算了黏滑参数、折点力和角宽度，没有数字化任何图。
Y. Sang, M. Dubé and M. Grant, Thermal effects on atomic friction, arXiv:cond-mat/0109168v1; Physical Review Letters 87, 174301 (2001)
2001 年 9 月 10 日 v1。式 (1)：斜坡蠕变：摩擦的下降量正比于温度的三分之二次方乘“速度与温度之比的对数”的三分之二次方。式 (2)、(3)：Langevin 方程，以及极小值落在晶格格点上的余弦针尖势。式 (4)：折点位置。拟合 Gnecco 等人 NaCl 数据得到的参数：晶格周期 0.4 nm，等效刚度 0.86 N/m，起伏 0.27 eV，阻尼率 8.9 乘 10 的 5 次方每秒，针尖质量 8.7 乘 10 的负 12 次方 kg；脚注 21 给出弹簧常数 0.93 N/m。正文把弹簧共振频率印成 52 MHz；用这里的质量和弹簧常数算是 52.0 kHz，所以我们把 MHz 看作笔误。式 (5)：Kramers 速率。式 (6)、(7)：折点附近的曲率与势垒。式 (8)：滑移位置分布。式 (9)：标度速度。式 (10) 至 (12)：平均摩擦的闭合式及其常数，文中给出理论值 0.55 nN，模拟与实验拟合为 0.54 nN，不确定度 0.01 nN。我们用自己的模型复算了标度速度、这些常数和平均摩擦，没有数字化图 1 至图 3。
D. A. Sivak, J. D. Chodera and G. E. Crooks, Using nonequilibrium fluctuation theorems to understand and correct errors in equilibrium and nonequilibrium simulations of discrete Langevin dynamics, arXiv:1107.2967v5; Physical Review X 3, 011007 (2013)
2013 年 1 月 30 日 v5。式 (3)：把一个 Langevin 步拆成确定性子步和热浴子步。式 (5)：一步内的能量变化等于热、驱动功与“影子功”之和，影子功是有限时间步带来的误差。我们用这种拆分记录黏滑模拟的能量账，并检查了时间步减半时影子功缩小为四分之一。