单个原子接触点上的摩擦有多大

课本上的三条定律

Vanossi 等人在综述开头把 Coulomb–Amontons 定律概括为三条：摩擦力与表观接触面积无关；摩擦力与法向载荷成正比；动摩擦力（维持匀速滑动所需的力）与滑动速度无关，并且小于静摩擦力。

这三条来自大量经验数据，背后是两个粗糙表面之间许许多多微凸体的平均。综述同时提醒：即便是研究得最多的纳米体系，比如针尖划过石墨或 NaCl，摩擦的微观机制也还没有定论；速度和温度依赖常要靠带经验参数的简化模型来解释。

这门课会逐条检验。第四、五章看速度：单个针尖的摩擦随扫描速度的对数增长。第六、七章看面积：完整晶体薄片的摩擦可以与面积成正比，也可以完全不随面积增长。载荷则通过表面起伏的幅度进入模型，载荷越大，起伏越深。

一个微凸体

Sang 等人在 2001 年的论文里写道，摩擦力显微镜的针尖本质上就是一个微凸体，用它可以绕开多微凸体平均带来的复杂性。针尖装在悬臂末端；扫描器带着悬臂横向移动，针尖被表面拖住时悬臂就扭转，扭转量乘以刚度就是读到的侧向力。

Vanossi 等人指出，模型里的弹簧刚度不只是悬臂的扭转刚度，还包括接触点本身的横向刚度。Sang 等人用的数据来自 Gnecco 等人在 NaCl(100) 上的测量：晶格常数 $a=0.4\,\mathrm{nm}$ ，法向载荷 $0.65\,\mathrm{nN}$ ，针尖粘住时力–位移曲线的斜率 $0.86\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ 。

Prandtl–Tomlinson 图像。位置为

x

的针尖处在周期为

a

、幅度为

U_0

的余弦能量曲线上；刚度为

k

的弹簧把它连到位于

X=vt

的扫描器。仪器读到的力是

F=k(X-x)

。原创示意图，未按比例。

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来源：Y. Sang · E. Gnecco · A. Vanossi

三个尺度

长度尺度是晶格周期 $a$ 。针尖感受到的表面能量随位置周期起伏，幅度记作 $U_0$ 。Sang 等人拟合 NaCl 数据得到 $U_0=0.27\,\mathrm{eV}$ ，弹簧常数 $k=0.93\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ 。

力的尺度来自起伏的最大斜率。能量写成 $-U_0\cos(2\pi x/a)$ 时，斜率最大为 $2\pi U_0/a$ ：表面最多能用这么大的力把针尖往回拉。

能量尺度要和热能比较。室温 293 K 时 $k_BT=0.0252\,\mathrm{eV}$ ，只有起伏的十分之一左右。整段势垒靠热运动翻过去非常罕见；但第四章会看到，势垒在滑移前会变得很矮，那时热运动就很重要了。

F_{\max}=\frac{2\pi U_0}{a},\qquad \frac{U_0}{k_BT}

左边是表面能施加的最大侧向力，右边是起伏与热能之比。两者加上晶格周期

a

，定下了原子摩擦的全部尺度。

来源：Y. Sang · A. Vanossi

完整例题：盐晶体最多能拉住多大的力

题目。用 Sang 等人的 NaCl 参数： $U_0=0.27\,\mathrm{eV}$ ， $a=0.4\,\mathrm{nm}$ ， $k=0.93\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ ，温度 293 K。表面最多能施加多大的侧向力？弹簧要拉长多少才能提供这么大的力？热能是起伏的几分之一？

建模。把表面看成振幅为 $U_0$ 、周期为 $a$ 的余弦，最大斜率就是最大侧向力。弹簧力等于刚度乘伸长量。

计算。 $0.27\,\mathrm{eV}=4.33\times10^{-20}\,\mathrm{J}$ ，所以最大侧向力为 $0.680\,\mathrm{nN}$ ；弹簧要伸长 $0.731\,\mathrm{nm}$ ，约 1.83 个晶格周期。热能与起伏之比 $0.0252/0.27=0.093$ ，即起伏是热能的 10.7 倍。

解释。弹簧要先伸长将近两个晶格周期，才能与表面的最大拉力抗衡。在这之前针尖跟不上扫描器，只能停在原处；一旦弹簧力超过表面能提供的最大力，针尖就会跳走。这就是下一章要精确描述的黏滑。最大侧向力 0.680 nN 与实验的法向载荷 0.65 nN 差不多大。

检验。量纲：能量除以长度得到力。数量级：Sang 等人的模拟和 Gnecco 等人的测量都在零点几纳牛。第二章算出折点力 0.677 nN，略低于这个上限。

F_{\max}=\frac{2\pi\times0.27\,\mathrm{eV}}{0.4\,\mathrm{nm}}=0.680\,\mathrm{nN},\qquad \frac{F_{\max}}{k}=\frac{0.680\,\mathrm{nN}}{0.93\,\mathrm{N\,m^{-1}}}=0.731\,\mathrm{nm}=1.83\,a

最大侧向力与弹簧需要的伸长量。

来源：Y. Sang · A. Vanossi

到实验里试一试

读出力的尺度

先预测：零温下，侧向力锯齿的峰值离 0.680 nN 这个上限有多近？每次下降大约多少？
选“低温针尖在折点滑移”预设，看“侧向力：锯齿线”图，读出峰值和每次下降后的力。
解释力为什么在峰值处突然下降：此时针尖所在的能量谷消失了。

改变起伏，看力怎样跟着变

先预测：把起伏幅度从 0.27 eV 减半，锯齿峰值大约变成多少？
把起伏滑块拖到 0.135 eV 附近，读出新的峰值和黏滑参数 $\eta$ 。
用最大侧向力正比于起伏幅度来解释读数；再说明为什么平均摩擦下降得比峰值更多。

练习与解答

起伏幅度减半到 0.135 eV，晶格周期和弹簧不变。表面最多能施加多大的侧向力？弹簧要伸长几个晶格周期才能提供它？
展开解答
最大侧向力与起伏成正比，变为 $0.340\,\mathrm{nN}$ 。伸长量 $0.340/0.93=0.365\,\mathrm{nm}$ ，约 0.91 个周期。弹簧不必伸长一整个周期就能把针尖拉走，下一章会看到这意味着滑移变弱。
温度要升到多高，热能才等于 0.27 eV 的起伏幅度？
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$T=U_0/k_B=4.33\times10^{-20}/1.38\times10^{-23}\approx3.1\times10^{3}\,\mathrm{K}$ 。远高于室温，所以室温下整段起伏几乎不可能单靠热运动翻过；热运动的作用要到势垒变矮时才显现。
模型给出 293 K 时，扫描速度 100 nm/s 的平均摩擦为 0.324 nN，3000 nm/s 时为 0.462 nN。如果第三条 Amontons 定律成立，3000 nm/s 时应该是多少？比值说明什么？
展开解答
定律预言仍是 0.324 nN。模型给出的比值 $0.462/0.324=1.43$ ：速度增大 30 倍，摩擦增大 43%。单个接触点的动摩擦依赖速度，“摩擦力除以载荷”也就不是一个材料常数。第四章会推出这种对数增长。

来源与复算范围

A. Vanossi, N. Manini, M. Urbakh, S. Zapperi and E. Tosatti, Colloquium: Modeling friction: from nanoscale to mesoscale, arXiv:1112.3234v4; Reviews of Modern Physics 85, 529 (2013)
2013 年 4 月 3 日 v4。第 I 节：Coulomb–Amontons 摩擦定律。第 II.A 节：Prandtl–Tomlinson 模型（式 1）、黏滑参数、滑移开始的折点、在折点附近按二分之三次方缩小的势垒、该参数大于 4.604 时的多重滑移，以及低速摩擦等于能量落差的规则。第 II.C 节：带噪声的 Langevin 方程（式 2、3）、拉动速率与跳跃速率之比、热润滑（式 4）、对数规律（式 5），以及与低温实验的分歧。第 II.D 节：Frenkel–Kontorova 链（式 6）与 Aubry 转变。第 II.E 节：超润滑、对这个名称的批评、文中转述的石墨薄片实验（多数取向低于 50 pN，接近相称取向时约 250 pN，以及薄片转回相称取向），图 4 与图 5，以及“摩擦峰的角宽度约为薄片直径的倒数”这条规则。第 III.A 节：热浴，以及没有公认取法的阻尼率。第 III.B 节：模拟能达到的时间与尺寸，以及实验与模拟中黏滑消失速度之间最多六个数量级的差距；文中印出的“每个模拟日约 1 微秒”比它自己的算式小约 9 倍。第 VI 节：结论。我们用自己的模型复算了黏滑参数、折点力和角宽度，没有数字化任何图。
Y. Sang, M. Dubé and M. Grant, Thermal effects on atomic friction, arXiv:cond-mat/0109168v1; Physical Review Letters 87, 174301 (2001)
2001 年 9 月 10 日 v1。式 (1)：斜坡蠕变：摩擦的下降量正比于温度的三分之二次方乘“速度与温度之比的对数”的三分之二次方。式 (2)、(3)：Langevin 方程，以及极小值落在晶格格点上的余弦针尖势。式 (4)：折点位置。拟合 Gnecco 等人 NaCl 数据得到的参数：晶格周期 0.4 nm，等效刚度 0.86 N/m，起伏 0.27 eV，阻尼率 8.9 乘 10 的 5 次方每秒，针尖质量 8.7 乘 10 的负 12 次方 kg；脚注 21 给出弹簧常数 0.93 N/m。正文把弹簧共振频率印成 52 MHz；用这里的质量和弹簧常数算是 52.0 kHz，所以我们把 MHz 看作笔误。式 (5)：Kramers 速率。式 (6)、(7)：折点附近的曲率与势垒。式 (8)：滑移位置分布。式 (9)：标度速度。式 (10) 至 (12)：平均摩擦的闭合式及其常数，文中给出理论值 0.55 nN，模拟与实验拟合为 0.54 nN，不确定度 0.01 nN。我们用自己的模型复算了标度速度、这些常数和平均摩擦，没有数字化图 1 至图 3。
E. Gnecco, R. Bennewitz, T. Gyalog, Ch. Loppacher, M. Bammerlin, E. Meyer and H.-J. Güntherodt, Velocity dependence of atomic friction, Physical Review Letters 84, 1172 (2000); abstract record in the University of Basel repository
只读了摘要，没有读全文。摘要说明：测量的是摩擦力显微镜针尖与 NaCl(100) 之间的滑动摩擦；低速时平均摩擦随速度按对数增长；数据用基于反应速率理论的改进 Tomlinson 模型解释。Sang 等人拟合的就是这组数据。我们没有引用这篇论文中的任何数值或图。