逐节读 Vanossi 等人 2013 年的摩擦建模综述

先弄清这是一篇什么样的论文

这是一篇 Colloquium，不是完整的文献综述。第 II 节讲最简模型，第 III 节讲分子动力学，第 IV 节讲多接触模型，第 V 节讲几种特殊的摩擦现象。作者在引言里说，他们会用自己的工作举例；第 III.D 节也写明，那里介绍的结果主要来自他们的研究组，远不足以代表整个领域。读的时候，把它当作一张模型地图，配上作者挑选的例子。

第 I 节给出了本课程反复回到的那个缺口：即使是研究得最多的纳米体系，例如原子力显微镜针尖在石墨或 NaCl 上滑动，摩擦的微观机制仍不清楚；实验看到的速度和温度依赖，目前是用带经验参数的简化模型来解释的。

来源：A. Vanossi

第 I 节之后：其余七节的阅读顺序

第 II.A 节（arXiv 版第 3 页）：Prandtl–Tomlinson 模型式 (1)、黏滑参数、滑移起点（折点）、折点附近按 $3/2$ 次方缩小的势垒、阻尼很小且参数大于 4.604 时出现的多重滑移，以及“低速摩擦等于能量落差”这条规则。课程第二、三章逐项复算了这些内容。

第 II.C 节（第 4 页）：带噪声的 Langevin 方程（式 2、3）、区分两个区域的无量纲比、热润滑（式 4）和对数规律（式 5）。这一节最后承认：最近的实验在低温下看到摩擦峰，与式 (4)、(5) 的预言强烈不符；Prandtl–Tomlinson 模型既重现不了实验里温度和速度依赖的特征，也重现不了原子分辨的力曲线。对应课程第四、五章。

第 II.D 和 II.E 节（第 5 至 8 页）：Frenkel–Kontorova 链、Aubry 转变、超润滑、对这个名称的批评、图 4 与图 5。对应课程第六、七章。

第 III.A 和 III.B 节（第 10 至 12 页）：热浴怎样带走焦耳热、阻尼怎样选，以及模拟能覆盖的时间和尺寸。最后读第 VI 节的结论（第 21 页）。其余各节，例如第 II.B、II.F、III.C、III.D 节和第 IV、V 节，本课程用不到，可以先跳过。

来源：A. Vanossi

边读边复算

能复算并且相符的。多重滑移的阈值 4.604：Sang 等人的针尖 $\eta=11.48$ ，零温下以 10 nm/s 拖动，把阻尼降到原来的 0.3 倍，单次滑移从跨 1 个谷变成跨 2 个谷，摩擦从 0.534 nN 降到 0.367 nN，与能量落差规则相差不到 0.2%。式 (5) 的对数规律：课程模拟在 10 到 3000 nm/s 之间与 Sang 等人的闭式结果相差 0.15% 到 3.5%。峰宽规则 $\tan\Delta\Phi=1/D$ ：它比圆盘的第一个零点小约 6%，是半高宽的约 1.6 倍（第七章）。

需要加条件的。综述说室温下热润滑典型地要求速度低于 1 nm/s。对 Sang 等人 0.27 eV 的针尖，课程估算在 293 K 时来回跳跃的速度尺度只有约 0.003 nm/s；把起伏降到 0.06 eV，10 nm/s 时针尖已经在两个谷之间来回跳（第五章）。这个界强烈依赖起伏的大小。

不能复算的。Aubry 转变的临界刚度 $K_c\approx1.0291926$ 课程没有计算。石墨薄片实验的 50 pN 和 250 pN 来自课程没有读过的原始论文。图 4 的模型曲线也无法重算：综述只说势能由碳原子之间的成对相互作用求和得到，没有给出参数。

来源：A. Vanossi · Y. Sang

完整例题：复算第 III.B 节的时间尺度估算

题目。第 III.B 节估算：一台中等规模的并行计算机每秒能完成的“原子数乘时间步数”约为 $10^{10}$ ；时间步为飞秒量级时， $10^{5}$ 个原子的模拟每秒推进 $10^{5}\,\mathrm{fs}$ ，即“一个模拟日约 $10^{9}\,\mathrm{fs}=1$ 微秒”。在摩擦力显微镜约每秒 1 微米的速度下，一次典型的模拟只能让针尖前进约 1 pm。检查这些数是否自洽，并判断结论是否成立。

第一步，每秒的时间步数。 $10^{10}/10^{5}=10^{5}$ 步，取 1 fs 一步，每秒推进 $10^{5}\,\mathrm{fs}$ ，与综述一致。

第二步，一天推进多少。一天 86 400 秒，乘起来是 $8.6\times10^{9}\,\mathrm{fs}$ ，约 8.6 微秒，比综述印出的 $10^{9}\,\mathrm{fs}$ 大约 9 倍。两个印出的数不能同时成立，原文没有说明哪一个是本意。

第三步，针尖前进多少。按 8.6 微秒算，针尖以每秒 1 微米前进 8.6 pm；按综述的 1 微秒算是 1 pm。Sang 等人用的晶格周期是 $a=0.4\,\mathrm{nm}$ ，走一个周期需要 $4\times10^{-4}\,\mathrm{s}$ 模拟时间：按我们的算术约 46 天，按综述的数约 400 天。

解释。印出的数差了约 9 倍，但结论不变：在实验速度下，一次全原子模拟连一次原子尺度的滑移都看不到。课程选用只有一个自由度的 Prandtl–Tomlinson 模型，正是为此：它能直接跑到实验速度，代价是丢掉基底和针尖内部的全部自由度。综述同一节还指出，实验里黏滑在约每秒 1 微米以上消失，而分子动力学里这个转变出现在每秒米的量级，相差多达 6 个数量级。

N\,N_{\mathrm{step}}\simeq10^{10}\ \mathrm{s^{-1}},\qquad N=10^{5}\;\Rightarrow\;N_{\mathrm{step}}\simeq10^{5}\ \mathrm{s^{-1}},\qquad 10^{5}\ \mathrm{fs\,s^{-1}}\times86\,400\ \mathrm{s}=8.6\times10^{9}\ \mathrm{fs}

第 III.B 节的计算链。最后一步按一天 86 400 秒计算，结果比原文的数大约 9 倍。

\Delta x=v\,t_{\mathrm{sim}}=10^{-6}\ \mathrm{m\,s^{-1}}\times8.6\times10^{-6}\ \mathrm{s}=8.6\ \mathrm{pm},\qquad \frac{a}{v}=\frac{0.4\ \mathrm{nm}}{10^{-6}\ \mathrm{m\,s^{-1}}}=4\times10^{-4}\ \mathrm{s}

按每秒 1 微米的扫描速度，一天模拟时间里针尖前进的距离，以及走完一个 0.4 nm 晶格周期所需的模拟时间。

来源：A. Vanossi · Y. Sang

综述明确留下的问题

阻尼怎么选。第 III.A 节说，在 Prandtl–Tomlinson 和 Frenkel–Kontorova 模型里，阻尼 $\gamma$ 会改变动力学和摩擦性质，但没有明确的办法选它的值；作者称这是所有分子动力学摩擦模拟都存在的遗憾状况。课程沿用 Sang 等人拟合得到的 $8.9\times10^{5}\,\mathrm{s^{-1}}$ 。上一节的多重滑移和第七章转角薄片剩下的摩擦，都直接取决于这个选择。

低温摩擦峰。第 II.C 节写到，对 Prandtl–Tomlinson 模型的分析表明，从低温的多重滑移转到较高温度的单次滑移时，摩擦可能出现峰值；但同一段也承认，这个模型重现不了实验观察到的温度和速度依赖。课程的模型在这个问题上同样无能为力。

还没有摩擦理论。第 VI 节的结论说，Prandtl–Tomlinson 模型看似简单却非常有用，但它的成功容易掩盖现象本身的复杂性；作者还写道，我们没有一个真正的摩擦理论，即在线性响应失效的情形下（而这类情形占多数）能定量计算而不只是模拟摩擦功的理论；分子动力学至今完全是经典的，量子效应的重要性还有待评估。

来源：A. Vanossi · Y. Sang

到实验里试一试

阻尼是人为的选择

先预测：零温下把阻尼降低，针尖每次滑移会跨几个谷？平均摩擦会变大还是变小？
选“低温针尖在折点滑移”，读出平均摩擦力和平均滑移长度。然后打开“高级：阻尼”，把阻尼率降到原来的约 0.3 倍，等几次滑移后再读一遍。
再选“长距离滑移”预设对照，用第三章的能量落差规则解释为什么滑移跨两个谷时摩擦变小，并说明第 III.A 节的担忧为什么在这里成立。

摩擦是否严格按对数增长

先预测：如果摩擦严格按 $\ln v$ 增长，速度每增大 10 倍，摩擦的增量应当怎样变化？
选“室温蠕变”，把扫描速度依次设为 10、100、1000 nm/s，每次等记录的滑移达到 30 次以上，读出模拟平均摩擦。
算出两个十倍速度区间各自的增量，和“摩擦随扫描速度的变化”图里的闭式曲线比较，看增量是否随速度变大，再对照综述“两种形式很难区分”这句话。

练习与解答

按综述的 $N\,N_{\mathrm{step}}\simeq10^{10}\,\mathrm{s^{-1}}$ ，一个 $10^{6}$ 个原子、时间步 1 fs 的模拟，要多少墙钟时间才能让针尖以每秒 1 微米走完一个 0.4 nm 的周期？
展开解答
每秒 $10^{4}$ 步，即每秒推进 $10^{-11}\,\mathrm{s}$ 的模拟时间。需要 $4\times10^{-4}\,\mathrm{s}$ 的模拟时间，所以墙钟时间是 $4\times10^{7}\,\mathrm{s}$ ，约 460 天。
课程模拟在 10、100、1000 nm/s 下的平均摩擦是 0.2535、0.3240、0.4113 nN，标准误差分别约为 0.0014、0.0017、0.0033 nN。这组数能区分纯对数规律 $\ln v$ 和 $(\ln v)^{2/3}$ 型的规律吗？
展开解答
两个十倍区间的增量是 $0.0705\pm0.0022$ 和 $0.0873\pm0.0037\,\mathrm{nN}$ 。纯对数规律要求两者相等；实际相差 0.017 nN，约为不确定度 0.004 nN 的 4 倍。Sang 等人的闭式结果给出 0.0737 和 0.0890 nN，增量同样随速度增大。每个速度 400 次滑移的模拟能把两者分开；实验的滑移次数更少、还有标定误差，跨越的速度范围也有限，就难得多。
第 III.A 节说阻尼没有明确的取法。课程里哪些结果依赖这个选择，哪个量按综述的说法与它无关？
展开解答
依赖它的有：零温下的滑移长度和摩擦（阻尼降到 0.3 倍，摩擦从 0.534 降到 0.367 nN）；转角薄片在大角度下剩下的摩擦，正好等于 $N\gamma v$ ；以及强阻尼闭式结果是否适用（第五章）。综述在式 (4) 后写明，热润滑区域的系数 $\alpha(T)$ 是针尖感受到的平衡阻尼，与人为选的 $\gamma$ 无关。

来源与复算范围

A. Vanossi, N. Manini, M. Urbakh, S. Zapperi and E. Tosatti, Colloquium: Modeling friction: from nanoscale to mesoscale, arXiv:1112.3234v4; Reviews of Modern Physics 85, 529 (2013)
2013 年 4 月 3 日 v4。第 I 节：Coulomb–Amontons 摩擦定律。第 II.A 节：Prandtl–Tomlinson 模型（式 1）、黏滑参数、滑移开始的折点、在折点附近按二分之三次方缩小的势垒、该参数大于 4.604 时的多重滑移，以及低速摩擦等于能量落差的规则。第 II.C 节：带噪声的 Langevin 方程（式 2、3）、拉动速率与跳跃速率之比、热润滑（式 4）、对数规律（式 5），以及与低温实验的分歧。第 II.D 节：Frenkel–Kontorova 链（式 6）与 Aubry 转变。第 II.E 节：超润滑、对这个名称的批评、文中转述的石墨薄片实验（多数取向低于 50 pN，接近相称取向时约 250 pN，以及薄片转回相称取向），图 4 与图 5，以及“摩擦峰的角宽度约为薄片直径的倒数”这条规则。第 III.A 节：热浴，以及没有公认取法的阻尼率。第 III.B 节：模拟能达到的时间与尺寸，以及实验与模拟中黏滑消失速度之间最多六个数量级的差距；文中印出的“每个模拟日约 1 微秒”比它自己的算式小约 9 倍。第 VI 节：结论。我们用自己的模型复算了黏滑参数、折点力和角宽度，没有数字化任何图。
Y. Sang, M. Dubé and M. Grant, Thermal effects on atomic friction, arXiv:cond-mat/0109168v1; Physical Review Letters 87, 174301 (2001)
2001 年 9 月 10 日 v1。式 (1)：斜坡蠕变：摩擦的下降量正比于温度的三分之二次方乘“速度与温度之比的对数”的三分之二次方。式 (2)、(3)：Langevin 方程，以及极小值落在晶格格点上的余弦针尖势。式 (4)：折点位置。拟合 Gnecco 等人 NaCl 数据得到的参数：晶格周期 0.4 nm，等效刚度 0.86 N/m，起伏 0.27 eV，阻尼率 8.9 乘 10 的 5 次方每秒，针尖质量 8.7 乘 10 的负 12 次方 kg；脚注 21 给出弹簧常数 0.93 N/m。正文把弹簧共振频率印成 52 MHz；用这里的质量和弹簧常数算是 52.0 kHz，所以我们把 MHz 看作笔误。式 (5)：Kramers 速率。式 (6)、(7)：折点附近的曲率与势垒。式 (8)：滑移位置分布。式 (9)：标度速度。式 (10) 至 (12)：平均摩擦的闭合式及其常数，文中给出理论值 0.55 nN，模拟与实验拟合为 0.54 nN，不确定度 0.01 nN。我们用自己的模型复算了标度速度、这些常数和平均摩擦，没有数字化图 1 至图 3。