一片晶体的摩擦怎样由各个原子相加而来

一串原子：Frenkel–Kontorova 模型

Vanossi 等人的式 (6) 是 Frenkel–Kontorova 模型：一串原子用弹簧 $K$ 相连，自然间距 $a_c$ ，放在周期为 $a_b$ 的正弦势上。

当原子数等于基底的谷数时，多放一个原子就形成一个扭结：链在局部被压缩。扭结比单个原子容易移动得多，它要越过的 Peierls–Nabarro 势垒总是小于、甚至远小于 $U_0$ 。扭结从链的一端跑到另一端，整条链就前进一个周期。

Vanossi 等人用它解释一个老问题：Frenkel 估算完美晶体的屈服应力与剪切模量同量级，但实验值小得多。原因是位错，即真实晶体里扮演扭结角色的缺陷，在小得多的应力下就会移动。

H=\sum_i\left[\frac{p_i^{2}}{2m}+\frac{K}{2}\left(x_{i+1}-x_i-a_c\right)^{2}+\frac{U_0}{2}\cos\frac{2\pi x_i}{a_b}\right]

第一项是动能，第二项是相邻原子之间的弹簧，第三项是基底势。拖动时给每个原子加一个缓慢增大的力，直到链开始滑动。

来源：A. Vanossi

不匹配的链与 Aubry 转变

$a_b/a_c$ 为无理数时，无限长链会形成台阶状形变：近似匹配的区域被规则排列的扭结隔开。Vanossi 等人写道：链的刚度 $K$ 超过临界值 $K_c$ 时，扭结可以自由移动，最小的力就能让链滑动，静摩擦为零；低于 $K_c$ 时扭结被钉住，会出现黏滑。

对黄金分割比， $K_c$ 取最小可能值，约 1.0291926，单位是 $2U_0(\pi/a_b)^{2}$ 。

这里有三个限制，后面两章都会用到。第一，即使静摩擦为零，动摩擦也不为零，因为有限速度的滑动会在链里激发声子。第二，有限长度的链在零温下总是被静态钉住，因为自由端会锁住。第三，这个模型只描述晶体接触开始滑动的过程，真实摩擦实验里的塑性形变在它的范围之外。

来源：A. Vanossi

刚性薄片是一组相位之和

de Wijn 把一个金原子在石墨上的能量写成三个余弦之和，前置系数 $2V_0/9$ ；单个金原子的起伏 $V_0$ 约为 50 meV。课程的薄片模型用同样的形式，以 $V_0$ 和基底晶格常数 $a_s$ 作单位；在课程里，这两个量都作为模型参数。

对刚性薄片，把所有原子的能量相加，可以精确地改写成三个结构因子 $S_l$ 。每个原子贡献一个单位长度的相位 $e^{i\mathbf G_l\cdot\mathbf r_j}$ 。晶格完全匹配且对齐时，所有相位相同， $|S_l|=N$ ，起伏是单原子的 $N$ 倍。转一个角度，相位在单位圆上散开，大部分互相抵消。

课程检验了两件事：结构因子的写法与逐个原子求和的差别不超过每个原子 $3\times10^{-15}\,V_0$ ；匹配晶格在 0° 和 60° 时，六边形、三角形和圆盘薄片的起伏都正好是每个原子 $1\,V_0$ 。

U(\mathbf R)=-\frac{2V_0}{9}\sum_{l=1}^{3}\operatorname{Re}\!\left[S_l\,e^{i\mathbf G_l\cdot\mathbf R}\right],\qquad S_l=\sum_{j=1}^{N}e^{i\mathbf G_l\cdot\mathbf r_j}

\mathbf R

是薄片中心，

\mathbf r_j

是各原子相对中心的位置，三个倒格矢

\mathbf G_l

的长度都是

4\pi/(\sqrt3\,a_s)

。

来源：A. S. de Wijn · A. Vanossi

摩擦怎样随接触面积标度

de Wijn 用起伏随薄片直径增长的指数 $C$ 给不匹配的程度分类。对完美晶体，他的式 (21) 给出三支： $A^{0}$ 、 $A^{1/2}$ 、 $A$ ，大多数取向属于不随尺寸增长的 $A^{0}$ 。

真实的颗粒边缘不规整。de Wijn 把不规则形状写成许多规则形状之和，各项相位随机，得到式 (31)：指数变为 $1/4$ 、 $3/4$ 和 1。他还指出，无定形晶体的摩擦无论形状如何都按 $A^{1/2}$ 增长。

课程在 10° 转角下拟合起伏随原子数 $N\propto A$ 的指数：对齐薄片 1.000；转角的规则六边形 $0.12\pm0.25$ ，与 0 相容，起伏在 0.5 到 9.3 $V_0$ 之间无规律地跳；边缘粗糙的薄片 $0.21\pm0.03$ ，de Wijn 的值是 0.25；随机缺失 10% 原子的薄片 $0.43\pm0.04$ 。最后一项没有 de Wijn 的直接预言；随机空位的相位也随机；按他论证无定形晶体时用的思路，指数应趋于 0.5。拟合只用 357 个原子以上的薄片。

石墨上的金。de Wijn 给出金与石墨的晶格比 1.354（以他的长度单位），换到课程的单位是 1.1726。在 0° 时，课程模型的起伏随原子数从 19 到 4921 在 0.97 到 26.4 $V_0$ 之间无规律地变化。de Wijn 也指出，这组晶格比接近 $4/3$ ，晶格形变的一阶修正可能和领头项一样大；课程的刚性模型没有包含这一项。

F_{\mathrm{fric}}\propto A^{C/2}\quad(C=0,1,2),\qquad F'_{\mathrm{fric}}\propto A^{\min\left((2C+1)/4,\,1\right)}

de Wijn 的式 (21) 与式 (31)，

F'_{\mathrm{fric}}

是边缘不规则的薄片。

A

是接触面积，与原子数成正比。

来源：A. S. de Wijn

完整例题：一片对齐的 127 原子薄片

题目。匹配晶格上的六边形薄片，6 圈原子，对齐（0°），用刚度 $k=200\,V_0/a_s^{2}$ 的弹簧沿 $x$ 方向拖动，零温。求原子数、起伏、黏滑参数和准静态摩擦，并与模拟和黏性阻力比较。

第一步，原子数与起伏。六边形 $s$ 圈共有 $3s(s+1)+1$ 个原子， $s=6$ 时 $N=127$ 。对齐时每个原子的相位相同，起伏为 $127\,V_0$ 。

第二步，化成一维问题。沿 $y=0$ 的直线，三个余弦中有一个恒为 1，另两个相等，能量变成周期为 $a_s$ 、幅度 $U_0=4N V_0/9=56.4\,V_0$ 的余弦：这正是第二章的 Tomlinson 模型。

第三步，黏滑参数。 $\eta=4\pi^{2}\times56.4/200=11.14$ ，与 Sang 等人针尖的 11.48 相近。要让 $\eta>1$ ，需要 $N>9k/(16\pi^{2})=11.4$ ：在这根弹簧上，只有 1 圈（7 个原子）的对齐薄片不会黏滑。

第四步，摩擦。用第三章的能量落差方法，准静态摩擦是 $276.2\,V_0/a_s$ 。课程模拟以 0.003 的约化速度、阻尼 3 拖动，得到 $280.4\,V_0/a_s$ ，高 1.5%。

解释。同一速度下的黏性阻力是 $N\gamma v=127\times3\times0.003=1.143\,V_0/a_s$ ，黏滑摩擦是它的约 245 倍。下一章转动这片薄片，看这个比值怎样掉下来。

U(X,0)=-\frac{2V_0N}{9}\left[1+2\cos\frac{2\pi X}{a_s}\right],\qquad \eta_{\mathrm{flake}}=\frac{4\pi^{2}}{k a_s^{2}}\cdot\frac{4NV_0}{9}

对齐薄片沿

x

轴的能量，以及由它得到的黏滑参数。

来源：A. S. de Wijn · A. Vanossi

到实验里试一试

多大的对齐薄片才会黏滑

先预测：把薄片缩到 2 圈（19 个原子）， $\eta$ 是多少？要让黏滑消失，拉动弹簧至少要多硬？
选“对齐薄片粘住”，把薄片大小拖到最小，读出 $\eta$ 和摩擦与黏性阻力之比，看“薄片受到的拖动力”是否还有锯齿。
慢慢加大拉动弹簧，找出锯齿消失时的弹簧值，用 $\eta=N|\mathbf G|^{2}V_0/(3k)$ 检查它。

缺陷让起伏随尺寸增长

先预测：同样转 10°，一片完美的六边形和一片缺了 10% 原子的薄片，哪个的起伏会随尺寸增长？
依次选“转角薄片滑行”和“空位带回摩擦”，读出每个原子分到的起伏，并在“10° 时势垒随薄片大小的变化”图里比较“转角，完整”和“转角，10% 空位”两条线的走势。
再选“粗糙边缘带回摩擦”，比较三种薄片的走势，用“随机相位之和按平方根增长”解释差别。

练习与解答

为什么转角的完美六边形薄片的起伏不随原子数增长？
展开解答
转角后各原子的相位 $\mathbf G_l\cdot\mathbf r_j$ 在薄片内部均匀地扫过单位圆，相邻几行的贡献互相抵消，只剩边缘附近没有配对的部分。这部分不随面积增长，并随尺寸振荡，所以起伏在一个有限范围里跳动，属于 de Wijn 的 $C=0$ 支。
用 de Wijn 的随机相位论证推出边缘不规则、取向不匹配（ $C=0$ ）的薄片的面积指数。
展开解答
每段台阶边缘贡献量级为 $V_0$ 的能量，相位随机。台阶数 $M$ 与直径 $d$ 成正比，随机相位之和按 $\sqrt M\propto d^{1/2}$ 增长。 $d\propto A^{1/2}$ ，所以起伏按 $A^{1/4}$ 增长，与式 (31) 中 $(2C+1)/4$ 在 $C=0$ 时一致。
有限长的 Frenkel–Kontorova 链在零温下总会被静态钉住。这对“不匹配就没有摩擦”的说法意味着什么？
展开解答
仅凭“相位抵消”，不能断言摩擦为零。不匹配消除的只是无限大接触中各原子力的系统性叠加；有限接触的边缘、自由端和缺陷仍会留下未抵消的部分，把它钉住。即使静摩擦为零，有限速度的滑动也仍会激发声子。

来源与复算范围

A. Vanossi, N. Manini, M. Urbakh, S. Zapperi and E. Tosatti, Colloquium: Modeling friction: from nanoscale to mesoscale, arXiv:1112.3234v4; Reviews of Modern Physics 85, 529 (2013)
2013 年 4 月 3 日 v4。第 I 节：Coulomb–Amontons 摩擦定律。第 II.A 节：Prandtl–Tomlinson 模型（式 1）、黏滑参数、滑移开始的折点、在折点附近按二分之三次方缩小的势垒、该参数大于 4.604 时的多重滑移，以及低速摩擦等于能量落差的规则。第 II.C 节：带噪声的 Langevin 方程（式 2、3）、拉动速率与跳跃速率之比、热润滑（式 4）、对数规律（式 5），以及与低温实验的分歧。第 II.D 节：Frenkel–Kontorova 链（式 6）与 Aubry 转变。第 II.E 节：超润滑、对这个名称的批评、文中转述的石墨薄片实验（多数取向低于 50 pN，接近相称取向时约 250 pN，以及薄片转回相称取向），图 4 与图 5，以及“摩擦峰的角宽度约为薄片直径的倒数”这条规则。第 III.A 节：热浴，以及没有公认取法的阻尼率。第 III.B 节：模拟能达到的时间与尺寸，以及实验与模拟中黏滑消失速度之间最多六个数量级的差距；文中印出的“每个模拟日约 1 微秒”比它自己的算式小约 9 倍。第 VI 节：结论。我们用自己的模型复算了黏滑参数、折点力和角宽度，没有数字化任何图。
A. S. de Wijn, (In)commensurability, scaling and multiplicity of friction in nanocrystals and application to gold nanocrystals on graphite, arXiv:1208.1395v2; Physical Review B 86, 085429 (2012)
2012 年 8 月 15 日 v2。式 (1)：单个金原子在石墨上的六角势，三个余弦之和，前置系数九分之二，单原子起伏约 50 meV。第 II 节：石墨 C–C 键长 1.42 Å，Au(111) 原子间距 2.885 Å，在他的长度单位下比值为 1.354。第 IV 节：完整晶体的摩擦随接触面积按零次、二分之一次或一次方变化（式 21）。第 V 节：轮廓不规则时为四分之一、四分之三或一次方（式 31），非晶为二分之一次方。我们用这个势搭建刚性薄片并拟合了指数，没有数字化他的图。