热润滑与速率理论的边界

两个区域和分开它们的数

Vanossi 等人引入一个无量纲比 $\delta$：拖动的速率 $v/a$ 除以热激活跳过势垒的速率。$\delta\ll1$ 时，针尖有足够的时间在势垒两侧来回跳，摩擦按式 (4) 正比于速度；$\delta\gg1$ 时，热涨落只偶尔帮针尖提前越过势垒，就是上一章的黏滑区域。

他们写道，热润滑一般出现在极低速度或高温下，室温下典型地要求 $v<1\,\mathrm{nm\,s^{-1}}$。Sang 等人用他们的参数给出更严格的界：线性蠕变只在低于 0.1 nm/s 时出现。

判断针尖能否来回跳，要看两个谷能量相等时的势垒。这发生在扫描器位于两个格点中间，$X=a/2$。课程模型给出这个势垒 $\Delta E_{1/2}$，再用 Kramers 速率估算来回跳跃的速度尺度。

来源：A. Vanossi · Y. Sang

在 Lab 里看到热润滑

Lab 的“热润滑”预设把起伏降到 0.06 eV，以 10 nm/s 拖动。$\eta=2.55$，零温下仍会黏滑，准静态摩擦 0.046 nN，折点力 0.139 nN。但两个谷能量相等时，势垒只有 0.0385 eV，即 1.52 $k_BT$。

课程的模拟在 80 个周期里每 50 个时间步记一次针尖所在的谷：向前跨越 3288 次，向后 3208 次，平均每个周期往返约 40 次。平均摩擦是 $(0.2\pm3.5)\times10^{-4}\,\mathrm{nN}$，在统计误差内为零，比零温时小两个数量级以上。

速度提高，往返来不及完成，摩擦随之出现：100、300、1000 nm/s 时分别是 0.0044、0.0098、0.027 nN，误差约 0.001 nN。1000 nm/s 时它已经接近零温值的六成，针尖正在回到黏滑。

这里不能用 Kramers 公式求准确的跳跃速率：它要求势垒远大于 $k_BT$，而 1.52 $k_BT$ 的势垒下针尖在谷里还没达到平衡就跳出去了。公式给出约 $8\times10^{3}\,\mathrm{s^{-1}}$，只能当数量级看。

来源：A. Vanossi · Y. Sang

速率理论在哪里成立

阻尼。Sang 等人的式 (5) 是强阻尼形式，他们也指出它对应 $\gamma\gg\Omega$ 的极限。但他们的阻尼 $8.9\times10^{5}\,\mathrm{s^{-1}}$ 小于谷底的振动角频率 $1.15\times10^{6}\,\mathrm{s^{-1}}$。课程把阻尼加大十倍、速度降为十分之一，$v^{*}$ 保持不变：模拟摩擦 0.3437 nN，速率积分 0.3448 nN，相差 0.3%。在 Sang 的阻尼下，同一个 $v^{*}$ 的模拟是 0.362 nN，比速率积分高 5%，多出的部分来自惯性。

闭式结果。两种情形的闭式结果都是 0.358 nN，因为它只依赖 $v^{*}$。在强阻尼下它比准确的速率积分高 4%，这是只保留对数领头项的代价。上一章 1.1% 的符合，有一部分来自两项误差相互抵消。

滑移力的分布。用 Kolmogorov 距离比较：Sang 的阻尼下，30 nm/s 的 400 次滑移与式 (8) 相距 0.29，与速率积分相距 0.21，都远超 1% 显著性的临界值 0.08。阻尼加大十倍后，300 次滑移与速率积分相距 0.039，低于临界值 0.094；与式 (8) 相距 0.102，略高于临界值。Sang 等人说他们图 3 的分布符合得很好；我们没有数字化那张图，无法判断它对应的条件。

时间步。1000 nm/s 时，默认时间步给出 0.4125 nN，时间步减半给出 0.4115 nN，差别小于两者的统计误差。

适用速度的上限。Sang 等人的脚注 18 说，斜坡蠕变只在速度低于 $F_c/(M\gamma)$ 的量级时成立；用他们的参数约为每秒 70 微米。

来源：Y. Sang · A. Vanossi

完整例题：Sang 等人的针尖要多慢才会热润滑

题目。$U_0=0.27\,\mathrm{eV}$，$T=293\,\mathrm{K}$，其余参数同前。估算针尖开始来回跳的扫描速度，并与 Sang 等人和 Vanossi 等人给出的界比较。

第一步，对称点的势垒。扫描器位于 $X=a/2$ 时，课程模型给出 $\Delta E_{1/2}=0.433\,\mathrm{eV}=17.2\,k_BT$。

第二步，跳跃速率。指数前因子 $2.15\times10^{5}\,\mathrm{s^{-1}}$，$e^{-17.16}=3.5\times10^{-8}$，速率 $7.6\times10^{-3}\,\mathrm{s^{-1}}$。17 个 $k_BT$ 的势垒足够高，这里 Kramers 公式是可靠的。

第三步，速度尺度。$v_{\mathrm{hop}}\approx0.4\,\mathrm{nm}\times7.6\times10^{-3}\,\mathrm{s^{-1}}=3\times10^{-3}\,\mathrm{nm\,s^{-1}}$。

对照。这比 Sang 等人的界 0.1 nm/s 低约 30 倍，也远低于 Vanossi 等人说的典型值 1 nm/s；三者并不矛盾，因为后两者是上限或典型量级，不是这组参数的估算。Sang 等人模拟的速度从 5 nm/s 起，都远在这个尺度之上，所以他们的针尖处在黏滑区域。

解释。势垒每降低一个 $k_BT$，这个速度尺度就增大约 2.7 倍。把起伏降到 0.06 eV，势垒只剩 1.5 $k_BT$，同样的估算给出微米每秒的量级，所以 Lab 的 10 nm/s 已经深入热润滑区。

来源：Y. Sang · A. Vanossi