FR40 · 连续互动课程
纳米摩擦：原子黏滑、热蠕变与超润滑薄片
把原子力显微镜的针尖拖过盐晶体，侧向力并不平稳：扫描器每走一个晶格间距，力就攀升一次，然后针尖跳到下一个格点，力骤然回落，周而复始。把石墨薄片放在石墨上转几度，同样的跳跃可以消失，摩擦降到五分之一以下。这门课从同一个模型推出这两件事：弹簧牵着的针尖划过起伏的表面；再加上热噪声，最后把模型对薄片里的每个原子求和。
从一个针尖到一片转角薄片
第一章定下尺度：零点几纳牛的力、0.4 nm 的晶格间距、零点几电子伏的能量，并追问课堂上的摩擦定律在单个接触点还剩下哪些。第二章搭起 Prandtl–Tomlinson 模型，找出针尖在哪里脱开。第三章追踪扫描器做的功怎样变成热，并检查模拟的能量账。第四章加上热噪声，推出摩擦为什么随速度的对数增长。第五章看极慢的情形：针尖来回跳跃，以及简单速率理论在哪里失效。第六章把模型对薄片里的原子求和。第七章转动薄片，找出黏滑消失得有多快，以及剩下的摩擦是什么。最后一章带读 Vanossi 等人 2013 年的综述。
需要会写带弹簧和阻尼力的牛顿第二定律，会做 Taylor 展开，知道 Boltzmann 因子，会读半对数坐标图。Langevin 方程、Kramers 速率和晶格结构因子在第一次用到时再介绍。 FR40
01 · L1
单个原子接触点上的摩擦有多大
定下原子摩擦的尺度：零点几纳牛、0.4 纳米、零点几电子伏，再看单个针尖会打破哪几条 Amontons 定律。
02 · L2
Tomlinson 模型如何解释黏滑
用弹簧牵着一个质点划过余弦能量曲线，推出黏滑参数、能量谷消失的折点和折点处的力，并与 Sang 等人的 NaCl 拟合对照。
03 · L2
摩擦等于每次滑移损失的能量
扫描器做的功在每次滑移时变成热。用折点到下一个能量谷的落差算出低速摩擦，看阻尼怎样决定跳一格还是两格，并核对模拟的能量账。
04 · L2
热激活为什么让摩擦随速度的对数增长
加上热噪声，针尖在能量谷消失之前就会跳过势垒。推出 Sang 等人的速度对数律，用 300 nm/s 的例子把预测与模拟逐项对照。
05 · L3
热润滑与速率理论的边界
扫得足够慢，针尖会在两个谷之间来回跳，摩擦正比于速度并趋于零。估算这在什么速度出现，再检查速率理论在哪里不再可靠。
06 · L3
一片晶体的摩擦怎样由各个原子相加而来
把单个针尖换成一串原子或一整片晶体。从 Frenkel–Kontorova 链和 Aubry 转变讲到刚性薄片的结构因子，看摩擦怎样随接触面积标度。
07 · L4
转角薄片与结构超润滑
把对齐的晶体薄片转过几度，黏滑消失，摩擦降到阻尼的水平。算出摩擦峰的宽度，找出它的旁瓣，再看“超润滑”这个说法漏掉了什么。
08 · L4
逐节读 Vanossi 等人 2013 年的摩擦建模综述
按顺序读这篇综述里与本课程有关的八节，边读边用课程模型复算其中的数字，并找出它明确留下的未解问题。
沿途的实验
三个实验运行的都是各章推出的模型，不拟合，也不重画发表的曲线。两个针尖实验用 Sang 等人的 NaCl 参数，并在模拟针尖旁边画出零温路径或速率理论的预测。薄片实验用约化单位，即单原子起伏和基底晶格间距，它们是模型参数；只有“石墨上的金”的晶格比取自 de Wijn 的论文。
日常物体之间的摩擦服从课堂上的定律，可以看 叠放的两块木块哪个先滑 和 绕在柱子上的绳子。
来源与复算范围
- A. Vanossi, N. Manini, M. Urbakh, S. Zapperi and E. Tosatti, Colloquium: Modeling friction: from nanoscale to mesoscale, arXiv:1112.3234v4; Reviews of Modern Physics 85, 529 (2013)
2013 年 4 月 3 日 v4。第 I 节：Coulomb–Amontons 摩擦定律。第 II.A 节：Prandtl–Tomlinson 模型（式 1）、黏滑参数、滑移开始的折点、在折点附近按二分之三次方缩小的势垒、该参数大于 4.604 时的多重滑移，以及低速摩擦等于能量落差的规则。第 II.C 节：带噪声的 Langevin 方程（式 2、3）、拉动速率与跳跃速率之比、热润滑（式 4）、对数规律（式 5），以及与低温实验的分歧。第 II.D 节：Frenkel–Kontorova 链（式 6）与 Aubry 转变。第 II.E 节：超润滑、对这个名称的批评、文中转述的石墨薄片实验（多数取向低于 50 pN，接近相称取向时约 250 pN，以及薄片转回相称取向），图 4 与图 5，以及“摩擦峰的角宽度约为薄片直径的倒数”这条规则。第 III.A 节：热浴，以及没有公认取法的阻尼率。第 III.B 节：模拟能达到的时间与尺寸，以及实验与模拟中黏滑消失速度之间最多六个数量级的差距；文中印出的“每个模拟日约 1 微秒”比它自己的算式小约 9 倍。第 VI 节：结论。我们用自己的模型复算了黏滑参数、折点力和角宽度，没有数字化任何图。
- Y. Sang, M. Dubé and M. Grant, Thermal effects on atomic friction, arXiv:cond-mat/0109168v1; Physical Review Letters 87, 174301 (2001)
2001 年 9 月 10 日 v1。式 (1)：斜坡蠕变：摩擦的下降量正比于温度的三分之二次方乘“速度与温度之比的对数”的三分之二次方。式 (2)、(3)：Langevin 方程，以及极小值落在晶格格点上的余弦针尖势。式 (4)：折点位置。拟合 Gnecco 等人 NaCl 数据得到的参数：晶格周期 0.4 nm，等效刚度 0.86 N/m，起伏 0.27 eV，阻尼率 8.9 乘 10 的 5 次方每秒，针尖质量 8.7 乘 10 的负 12 次方 kg；脚注 21 给出弹簧常数 0.93 N/m。正文把弹簧共振频率印成 52 MHz；用这里的质量和弹簧常数算是 52.0 kHz，所以我们把 MHz 看作笔误。式 (5)：Kramers 速率。式 (6)、(7)：折点附近的曲率与势垒。式 (8)：滑移位置分布。式 (9)：标度速度。式 (10) 至 (12)：平均摩擦的闭合式及其常数，文中给出理论值 0.55 nN，模拟与实验拟合为 0.54 nN，不确定度 0.01 nN。我们用自己的模型复算了标度速度、这些常数和平均摩擦，没有数字化图 1 至图 3。
- E. Gnecco, R. Bennewitz, T. Gyalog, Ch. Loppacher, M. Bammerlin, E. Meyer and H.-J. Güntherodt, Velocity dependence of atomic friction, Physical Review Letters 84, 1172 (2000); abstract record in the University of Basel repository
只读了摘要，没有读全文。摘要说明：测量的是摩擦力显微镜针尖与 NaCl(100) 之间的滑动摩擦；低速时平均摩擦随速度按对数增长；数据用基于反应速率理论的改进 Tomlinson 模型解释。Sang 等人拟合的就是这组数据。我们没有引用这篇论文中的任何数值或图。
- A. S. de Wijn, (In)commensurability, scaling and multiplicity of friction in nanocrystals and application to gold nanocrystals on graphite, arXiv:1208.1395v2; Physical Review B 86, 085429 (2012)
2012 年 8 月 15 日 v2。式 (1)：单个金原子在石墨上的六角势，三个余弦之和，前置系数九分之二，单原子起伏约 50 meV。第 II 节：石墨 C–C 键长 1.42 Å，Au(111) 原子间距 2.885 Å，在他的长度单位下比值为 1.354。第 IV 节：完整晶体的摩擦随接触面积按零次、二分之一次或一次方变化（式 21）。第 V 节：轮廓不规则时为四分之一、四分之三或一次方（式 31），非晶为二分之一次方。我们用这个势搭建刚性薄片并拟合了指数，没有数字化他的图。
- D. A. Sivak, J. D. Chodera and G. E. Crooks, Using nonequilibrium fluctuation theorems to understand and correct errors in equilibrium and nonequilibrium simulations of discrete Langevin dynamics, arXiv:1107.2967v5; Physical Review X 3, 011007 (2013)
2013 年 1 月 30 日 v5。式 (3)：把一个 Langevin 步拆成确定性子步和热浴子步。式 (5)：一步内的能量变化等于热、驱动功与“影子功”之和，影子功是有限时间步带来的误差。我们用这种拆分记录黏滑模拟的能量账，并检查了时间步减半时影子功缩小为四分之一。