M015 · 两处接触，哪一处先滑？

叠放物块与摩擦约束

叠放的两块物块，推其中一块时，哪个接触面先滑？ 先算每个接触面不滑所需的摩擦，再与静摩擦上限比较。推哪一块会改变这个需求；层间摩擦也能把另一块带着加速。

推上层或下层，看哪个接触面先滑。可以单看一块，也可以把两块当成整体：取整体时，两块之间的摩擦力互相抵消；推力做的功，等于增加的动能加上摩擦生的热。

哪处在滑？ $\text{整体滑动}$

上层加速度 $2.83\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

下层加速度 $2.83\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

上层相对下层位移 $0\,\mathrm{m}$

两处接触，分别判断

哪一块带着另一块走？

带符号的水平推力

F

28.00\,N

上层质量

m_1

2.00\,kg

下层质量

m_2

4.00\,kg

层间静摩擦系数

\mu_{s,1}

0.45\,

支撑面静摩擦系数

\mu_{s,0}

0.25\,

斜面角度

\theta

25.00\,{}^\circ

弹簧初始伸长

e_0

0.80\,m

弹簧劲度系数

k

16.00\,N\,m^{-1}

动静摩擦系数比

r

0.75\,

重力加速度

g

9.81\,m\,s^{-2}

装置

q

0.00\,

施力物块

b

0.00\,

每次改参数，都重新从静止释放。静摩擦在上限内取保持不滑所需的值，恰好达到上限时仍粘住；动摩擦系数等于对应的静摩擦系数乘以所选比值。

物块沿理想导轨平动，不发生转动。上层宽 0.8 米，下层宽 2.4 米；相对位移达到 0.8 米、下层走过 2.4 米或经过两秒时，叠块回放结束。模型不计算翻倒、部分支撑和掉落。

层间支持力平衡上层重力，地面支持力平衡两块的总重力。摩擦生热取决于接触面的相对滑动。

装置长度共用比例。力箭头像受力图一样平移到所选系统中心，同一次释放共用固定增益，上限为每牛顿 0.03 米；箭头表示力矢量，不表示压强分布或力矩作用点。

九个带方向的候选都保留各自所需的力，分别检查静摩擦上限与滑动方向，并标出当前采用的响应。曲线和 CSV 保存模型计算值。

模型假设

物块从静止开始，沿导轨滑动。任何一块快要伸出边缘时模拟就停下，不考虑翻倒和掉落。

先抓重点

核心问题: 逐渐增大释放时的推力，哪处接触会最先滑？
一句话直觉: 先假设接触面不滑，算出需要的静摩擦，再与上限比较。若发生滑动，就改用动摩擦，还要检查算出的相对运动方向是否符合假设。

核心数学模型

分别给两块列方程

\begin{aligned}m_1a_1&=F_1+f_{21},\\ m_2a_2&=F_2-f_{21}+f_0.\end{aligned}

层间摩擦在两个物块上符号相反。外加推力一次只作用在一块上。

两处独立的静摩擦上限

\begin{aligned}|f_{21}|&\leq\mu_{s,1}m_1g,\\ |f_0|&\leq\mu_{s,0}(m_1+m_2)g.\end{aligned}

接触面不滑时才使用相应不等式；滑动的接触面要改用动摩擦系数。

刚离开全静止状态的门槛

\begin{aligned}C_1&=\mu_{s,1}m_1g,\\ C_0&=\mu_{s,0}(m_1+m_2)g,\\ F_{\mathrm{crit,upper}}&=\min(C_1,C_0),\\ F_{\mathrm{crit,lower}}&=C_0.\end{aligned}

这里逐次比较从静止释放的结果，推力大小依次增加。跨过门槛后，哪些接触滑动、该取多大动摩擦，还需要重新求解。

相对滑动才产生摩擦热

\begin{aligned}E_{\mathrm{diss}}={}&|f_{21}|\,|\Delta x_1-\Delta x_2|\\ &+|f_0|\,|\Delta x_2|.\end{aligned}

每段展示的运动都保持单向。接触面粘住时，相对位移为零，这里不生摩擦热；两块之间仍可以通过摩擦力传递能量。

常见难点

一起走，也需要摩擦

容易误解两块没有相对滑动，层间摩擦就应该为零。

正确理解没被直接推的那一块仍需要水平力才能加速。静摩擦提供这个力，两侧接触点一起移动，能量随之传递，而这个接触面没有摩擦生热。

动手实验

01
看摩擦把上层带走
先看“摩擦带动上层”，分别选择上层、下层和整体。
你会看到： 层间摩擦带着上层加速，在下层上方向相反。合成整体后，这对内部力抵消。
02
换一块推
切到“推上层”，拖动这块改变施力，再调整两处摩擦系数。
你会看到： 可以出现上层滑而下层不动，也可以两处都滑。接触条分别显示实际摩擦与静摩擦上限。
03
逐项看假设为什么不成立
展开“接触检验、功与能量”，再展开“逐项检验接触假设”。
你会看到： 九个带方向的候选都保留了所需力。假设可能因为静摩擦超过上限而失败，也可能算出了与假设相反的滑动方向。

物理模型、近似边界与来源

位置用米、时间用秒、力用牛顿。向右、向上为正，斜面位移以上坡为正。理想导轨阻止转动，模型只计算平动，不计算接触压强分布或翻倒。

每次改参数都定义一次从静止开始的新释放。静摩擦不超过上限时，接触可以不滑；比较力时采用十亿分之一牛顿的数值容差，等号处优先保持粘住。动摩擦系数由对应静摩擦系数乘所选比值得到。

四类接触假设展开为九个带方向的候选。静摩擦候选保留维持该假设所需的力，滑动候选还须满足假设的方向；采用的响应遵循上述优先粘住的规则。扫描曲线的每个力值都是单独释放，不代表连续加载的运动历史。

两块宽度分别为 0.8 米和 2.4 米。叠块记录在相对位移 0.8 米、下层行程 2.4 米或两秒时结束，不延伸到部分支撑、越过边缘或碰撞。卷扬机在改变绳长时保持非负张力，缆绳记录的行程为一米。

装置长度共用比例。力矢量平移到所选系统中心，同次释放及切换系统边界时共用固定显示增益，上限为每牛顿 0.03 米；独立受力图使用自己的共同绘图比例。CSV 保存 101 个模型采样，保留残差中的浮点误差。这些是模拟数值，不是实测数据或拟合的材料参数。