M019 · 受力与测量

终端下落与阻力定律

两个下落质量，能揭示阻力定律吗？ 能。让大小形状相同、质量不同的两个物体下落，各自达到阻力与重力平衡的终端速度。阻力与速度成正比时，质量加倍，终端速度也加倍；阻力与速度平方成正比时，只增加到约 1.4 倍。

释放两个截面积相同、质量不同的物体，对比线性阻力和平方阻力。让物体从超过终速的状态出发，再根据采样到的速率估计阻力。

测量状态 $\text{就绪}$

选定时刻 $\text{就绪}$

A 模型向下速率 $\text{就绪}$

B 模型向下速率 $\text{就绪}$

A 参考终端速率 $\text{就绪}$

B 参考终端速率 $\text{就绪}$

终端速率比 $\text{就绪}$

A 向上阻力 $\text{就绪}$

A 向下加速度 $\text{就绪}$

原始记录拟合线性系数 $\text{就绪}$

原始记录拟合平方系数 $\text{就绪}$

线性力残差均方根 $\text{就绪}$

平方力残差均方根 $\text{就绪}$

可用推断力点数 $\text{就绪}$

A 全程采样功残差 $\text{就绪}$

传感器记录行数 $\text{就绪}$

先释放、记录，再推断阻力

检验阻力定律

A 质量

m_A

1.00\,kg

B 与 A 质量比

\gamma

2.00\,

记录时长

T

12.00\,s

初始向下速率

u_0

0.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

阻力：真空／线性／平方

L

2.00\,

共同横截面积

A

0.20\,\mathrm m^2

空气密度

\rho

1.23\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm m^3}

平方阻力系数

C_D

1.00\,

独立线性系数

b

0.50\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s}

速率误差上界

\epsilon_u

0.02\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

奇数微分窗口

n_w

5.00\,

重力加速度大小

g

9.80\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}

传感器采样率

f_s

10.00\,Hz

确定性误差种子

s

17.00\,

回放比例

\tau

0.40\,

两个球的横截面积相同，第二个球的质量是第一个的若干倍，倍数由你设定。下落没有终点，全程重力均匀，空气静止、密度不变。不考虑落地、浮力、密度变化、自旋和开伞。

阻力可以选真空、给定系数的线性阻力，或系数不变的平方阻力。线性系数与面积和密度无关。这几种是拿来互相对比的经验定律，不按雷诺数求解，也不表示一个系数在所有速率下都适用。两个球用同一条定律、同一个系数。

金色和绿色的速率虚线是解析模型给出的参考。采集只存时间和两个球的向下速率，并叠加有界的确定性误差；记录里没有加速度或阻力。这些误差不是经过校准的随机不确定度。真实速率接近零时，带噪声的读数可能是负的。

推断只用原始速率、已知质量和重力。加速度用对称的局部斜率来估计，端点和缺口处不外推。线性定律和平方定律各做一次过原点的最小二乘拟合，两个球的数据合在一起拟合，推断出的力保留正负号；噪声或窗口偏差可能让系数变成负数。残差较小只用来比较两条定律，不能说明定律被唯一确定，也不等于真实实验的验证。

改微分窗口或拖动回放时钟，记录都保留；改运动或传感器设置，记录会清空。窗口越宽，真实的瞬态也越容易被抹平。全程功残差拿阻力功和精确的机械能变化相比，阻力功另用 600 个区间的梯形积分独立算出。导出的是原始的模拟速率数据。页面不会自动播放。

力学过程是理想化的。接触怎样处理、传感器测的是什么，页面上都写明了。

先抓重点

核心问题: 两个下落质量，能揭示阻力定律吗？
一句话直觉: 到达终速时合力为零；以超过终速的速度释放，物体反而会减速。

核心数学模型

以向下为正的运动方程

m\dot u=mg-D(u),\qquad u=-\dot y\geq0

两种阻力都与向下的速度方向相反。速度超过终速时，向下加速度可以为负。

两种可比较的阻力定律

\begin{aligned}D_1&=bu,\quad u_{T,1}=mg/b\\D_2&=cu^2,\quad c=\rho C_D A/2\\u_{T,2}&=\sqrt{mg/c}\end{aligned}

线性系数单独指定；本模型里，平方系数是常数。

由原始记录推断阻力

\widehat D_i=m\left(g-\widehat{\dot u}_i\right)

局部速率斜率只用原始时间和速率，不读取参考轨迹。

功与能

\Delta(K+U)=-\int_0^T D(u)u\,\mathrm dt

这个积分单独采样计算，保留了有限间距带来的误差。

常见难点

一段平台定不了阻力定律

容易误解看到终速平台，就能确定整条阻力定律。

正确理解一小段平台可能同时符合几种定律。比较两个质量、记录宽范围的瞬态，会更有帮助；但速率噪声、微分窗口和常系数假设，都可能让估出的系数偏掉。

动手实验

01
比较质量的影响
在相同质量比下，切换线性、平方和真空。
你会看到： 不同阻力定律下，终速随质量变化的方式不同；真空中两者加速度相同。
02
从终速以上出发
选择超终速释放，再拖动球回看下落。
你会看到： 阻力大于重力，向下速率逐渐减小。
03
先采集，再推断
采集一段宽范围瞬态，比较两种拟合的残差。
你会看到： 受力散点来自对记录速率求导。
04
检验估计
选择带噪微分，在“质量、时序与传感器设置”里加大微分窗口。
你会看到： 噪声变小了，但对瞬态的平滑会带来偏差。

核心数学模型

以向下为正的运动方程

两种可比较的阻力定律

由原始记录推断阻力

功与能

常见难点

一段平台定不了阻力定律

动手实验

比较质量的影响

从终速以上出发

先采集，再推断

检验估计