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Sandbox Physics

M019 · 受力与测量

终端下落与阻力定律

释放同面积、不同质量的物体，对比线性与平方阻力，从超终速初态出发，并依据速率采样估计阻力。

交互模型终端下落与阻力定律
测量状态就绪\text{就绪}
选定时刻就绪\text{就绪}
A 模型向下速率就绪\text{就绪}
B 模型向下速率就绪\text{就绪}
A 参考终端速率就绪\text{就绪}
B 参考终端速率就绪\text{就绪}
终端速率比就绪\text{就绪}
A 向上阻力就绪\text{就绪}
A 向下加速度就绪\text{就绪}
原始记录拟合线性系数就绪\text{就绪}
原始记录拟合平方系数就绪\text{就绪}
线性力残差均方根就绪\text{就绪}
平方力残差均方根就绪\text{就绪}
可用推断力点数就绪\text{就绪}
A 全程采样功残差就绪\text{就绪}
传感器记录行数就绪\text{就绪}

物理教程

终端下落与阻力定律

背景重力与速度相关阻力产生不同的质量标度和松弛过程。

为什么值得理解释放同面积、不同质量的物体，对比线性与平方阻力，从超终速初态出发，并依据速率采样估计阻力。

先抓重点

核心问题
两个下落质量，能揭示阻力定律吗？
一句话直觉
终速时合力为零，超终速释放反而会减速。

核心数学模型

向下速率约定

mu˙=mg−D(u),u=−y˙≥0m\dot u=mg-D(u),\qquad u=-\dot y\geq0

两种阻力都反向作用，超终速时向下加速度可为负。

可比较的阻力定律

D1=bu,uT,1=mg/bD2=cu2,c=ρCDA/2uT,2=mg/c\begin{aligned}D_1&=bu,\quad u_{T,1}=mg/b\\D_2&=cu^2,\quad c=\rho C_D A/2\\u_{T,2}&=\sqrt{mg/c}\end{aligned}

线性系数独立指定，本模型平方系数恒定。

独立原始记录推断

D^i=m(g−u˙^i)\widehat D_i=m\left(g-\widehat{\dot u}_i\right)

局部速率斜率只使用原始时标与速率，不读取参考轨迹。

功与能

Δ(K+U)=−∫0TD(u)u dt\Delta(K+U)=-\int_0^T D(u)u\,\mathrm dt

独立采样积分保留有限间距误差。

常见难点

正确理解受力

容易误解终速平台能唯一决定整条阻力定律。

正确理解短平台可同时符合多种定律。质量标度与宽范围瞬态更有帮助，但速率噪声、微分窗口和常系数假设都会使估计偏离。

动手实验

  1. 01

    对比质量标度

    在相同质量比下切换线性、平方和真空。

    应该观察到： 终速具有不同标度，真空加速度一致。
  2. 02

    从平衡以上出发

    选择超终速释放并拖动金色时钟。

    应该观察到： 阻力超过重力，向下速率减小。
  3. 03

    先采集再推断

    采集宽范围瞬态，对比两种拟合残差。

    应该观察到： 受力散点来自对记录速率的微分。
  4. 04

    挑战估计

    选择带噪微分，增大微分窗口。

    应该观察到： 噪声减小，同时引入瞬态平滑偏差。