M030 · 绳形与摩擦

绞盘与带摩擦

沿切线施力的固定绞盘显示双向保持范围。检查一种允许静态张力分布，采集带噪声探针读数，区分已动用摩擦与材料系数。

探针坐标 $0$

探针物理张力 $0\,\mathrm N$

接触弧长 $0\,\mathrm m$

模型边界 $\text{Static}$

已采张力位置 $0$

拟合已动用对数斜率 $\text{Need 3 stations}$

张力拟合均方根残差 $\text{Need 3 stations}$

最大大端与小端张力比 $1$

保持静止最小拉力 $0\,\mathrm N$

反向滑动前最大拉力 $0\,\mathrm N$

所需有符号对数斜率 $0$

允许分布的单位弧长法向力 $0\,\mathrm{N/m}$

允许分布的单位弧长摩擦力 $0\,\mathrm{N/m}$

绞盘所需保持力矩 $0\,\mathrm{N\,m}$

静止物理功率 $0\,\mathrm W$

绳形 / 探针 / 核对

多小的拉力能保持这个负载？

张力向量每次试验固定比例尺固定绞盘半径

R

0.35\,\mathrm m

接触包角

\beta

180.00\,{}^\circ

静摩擦系数

\mu_s

0.30\,

拉力端张力

F

30.00\,\mathrm N

负载端张力

W

60.00\,\mathrm N

接触弧上的探针比例

\xi

0.50\,

有界张力相对噪声

\varepsilon

0.00\,\%

低于滑动极限时，静摩擦不能唯一确定张力分布。青色曲线是对数斜率恒定的一种允许平滑分布；两条虚线为界限。越界后红色曲线仅为所需分布：不提供物理受力、采样及静止功率。未模拟滑动速度与动摩擦。

拟合对数斜率测量所选分布中已动用的摩擦，并非材料静摩擦系数。等大反向切口箭头是诊断图；半径改变接触力密度和保持力矩，理想张力比极限不变。绞盘固定，绳无质量、柔软且在同一平面接触。

固定圆柱绞盘上的无质量柔性平绳。库仑系数均匀，平面部分包绕，无 V 槽放大。两端张力由施力装置指定。静态分布是一种允许选择，并非唯一解。越过边界声明将滑动，不虚构滑动后运动。

先抓重点

核心问题: 每次静止保持都动用相同摩擦吗？
一句话直觉: 静摩擦给出界限，只有即将滑动才达到极限。

核心数学模型

局部摩擦约束

\left|\frac{\mathrm d\ln T}{\mathrm d\alpha}\right|\leq\mu_s

微小接触弧上的法向力给出库仑上界；角度从拉力端向负载端增加。

双向保持范围

W e^{-\mu_s\beta}\leq F\leq W e^{\mu_s\beta}

拉力太小导致负载侧将滑动；太大要求反向滑动；等号表示即将滑动。

一种允许静态分布

T(\alpha)=F e^{k\alpha},\qquad k=\frac{\ln(W/F)}{\beta}

当其大小在摩擦界内时，恒定对数斜率给出一种允许分布；静态接触不能选出唯一分布。

半径改变力密度与力矩

n=\frac TR,\qquad |f|=\frac{|k|T}{R},\qquad \tau_{\mathrm{hold}}=R(W-F)

法向和摩擦力密度单位是牛每米；正保持力矩抵抗固定绞盘上正向绳驱动力矩；静止功率为零。

拟合不是材料标定

\ln T_i^{\mathrm{obs}}\approx b+\widehat k\alpha_i

只有独立确认即将滑动时，其大小才接近静摩擦系数；未达极限时拟合恢复所选分布中已动用摩擦。

常见难点

静摩擦是一个不等式

容易误解每根静止绳都用满可用摩擦。

正确理解极限约束许多允许静态分布。

滑动有两个方向

容易误解固定负载下拉力越大越能静止。

正确理解越过拉力上界要求反向滑动。

已动用摩擦不是材料系数

容易误解未达极限的拟合标定了材料系数。

正确理解它只恢复所选静态分布的斜率。

动手实验

01
找到保持范围
选择静止保持，比较拉力与上下界。
应该观察到： 所选静态分布在上下界之间。
02
越过两个边界
尝试拉力不足与反向滑动需求。
应该观察到： 红色表示无法实现的静止需求；不提供物理采样。
03
独立改变半径
固定包角、摩擦及两端力，仅改变半径。
应该观察到： 保持范围不变，力矩和力密度改变。
04
拟合已动用斜率
恢复静止试验，加入噪声并扫描接触弧。
应该观察到： 拟合斜率接近所选已动用值，而不是材料系数。