M030 · 绳形与摩擦

绞盘与带摩擦

绳子绕在绞盘上，多小的拉力就能拉住重物？ 非常小。所需拉力随摩擦系数乘包角呈指数下降，绕几圈就能拉住很重的负载。不过这个最小值只在绳子即将滑动时才达到；静止的绳子，拉力可以落在两个滑动极限之间的任何位置。

绳子绕在固定绞盘上，拉动一端，找出能让负载不动的拉力范围。沿接触弧采集带噪声的张力读数，你会看到：静止的绳子实际用到的摩擦，可以比材料摩擦系数允许的少。

探针坐标 $0$

探针物理张力 $0\,\mathrm N$

接触弧长 $0\,\mathrm m$

模型边界 $\text{Static}$

已采张力位置 $0$

拟合已动用对数斜率 $\text{Need 3 stations}$

张力拟合均方根残差 $\text{Need 3 stations}$

大端与小端张力之比的最大值 $1$

保持静止最小拉力 $0\,\mathrm N$

反向滑动前最大拉力 $0\,\mathrm N$

所需有符号对数斜率 $0$

允许分布的单位弧长法向力 $0\,\mathrm{N/m}$

允许分布的单位弧长摩擦力 $0\,\mathrm{N/m}$

绞盘所需保持力矩 $0\,\mathrm{N\,m}$

静止物理功率 $0\,\mathrm W$

测量绳上各处的张力

绳子绕在绞盘上，多小的拉力就能拉住重物？

张力向量每次试验固定比例尺固定绞盘半径

R

0.35\,\mathrm m

接触包角

\beta

180.00\,{}^\circ

静摩擦系数

\mu_s

0.30\,

拉力端张力

F

30.00\,\mathrm N

负载端张力

W

60.00\,\mathrm N

接触弧上的探针比例

\xi

0.50\,

有界张力相对噪声

\varepsilon

0.00\,\%

还没到滑动极限时，静摩擦并不能唯一确定张力怎样分布。青色曲线是允许的一种平滑分布，对数斜率处处相同；两条虚线是界限。超出界限后，红色曲线只表示所需的分布，不再给出实际受力、采样和静止功率。模型不模拟滑动速度和动摩擦。

拟合出的对数斜率反映这条分布实际用到了多少摩擦，不是材料的静摩擦系数。切口处等大反向的箭头只是诊断用。半径变了，单位长度上的接触力和保持力矩都会变，理想张力比的极限却不变。绞盘固定；绳子没有质量、完全柔软，并在同一平面内与绞盘接触。

绳子无质量、柔软、扁平，静止搭在固定的圆柱绞盘上。库仑摩擦系数处处相同，绳子在一个平面内绕过绞盘的一部分，也没有 V 形槽增大摩擦。两端张力由拉力装置给定。图中的张力分布只是静止时可能的一种，单靠静摩擦定不出唯一分布。拉力越过任一极限，模型只报告会滑动，不模拟滑动之后的运动。

先抓重点

核心问题: 绳子静止时，用到的摩擦总是一样多吗？
一句话直觉: 静摩擦有个上限，只有绳子快要滑动时才会用满。

核心数学模型

每一小段弧上的摩擦上限

\left|\frac{\mathrm d\ln T}{\mathrm d\alpha}\right|\leq\mu_s

绳子压在每一小段弧上，这个法向力决定这段弧最多能提供多少摩擦。角度从拉力端量起，朝负载端增加。

拉得住的拉力范围

W e^{-\mu_s\beta}\leq F\leq W e^{\mu_s\beta}

拉力太小，负载一侧会滑；拉力太大，绳子就得反着滑。取等号时，绳子正好快要滑动。

一种可能的静止张力分布

T(\alpha)=F e^{k\alpha},\qquad k=\frac{\ln(W/F)}{\beta}

实验选了对数斜率恒定的分布。只要斜率不超过摩擦上限，这种分布就成立；但单靠静止接触，挑不出唯一一种分布。

半径改变每米受力和力矩

n=\frac TR,\qquad |f|=\frac{|k|T}{R},\qquad \tau_{\mathrm{hold}}=R(W-F)

法向力和摩擦力沿接触弧分布，单位是牛每米。绳子给固定绞盘一个正向力矩，正的保持力矩与它相抗。绞盘不动，功率为零。

拟合测的是用到的摩擦，不是材料系数

\ln T_i^{\mathrm{obs}}\approx b+\widehat k\alpha_i

只有另外确认绳子正要滑动时，拟合斜率才接近静摩擦系数。没到极限时，拟合得到的是所选分布实际用到的摩擦。

常见难点

静摩擦是上限，不是定值

容易误解绳子拉得住，就一定把摩擦用满了。

正确理解上限只规定摩擦不能超过多少。许多不同的张力分布都在上限以内，都能让绳子静止。

滑动有两个方向

容易误解负载不变时，拉力越大越拉得住。

正确理解拉力超过上限，拉力一端占了上风，绳子会反着滑。

用到的摩擦不等于材料系数

容易误解绳子没滑时拟合张力，就能测出材料的摩擦系数。

正确理解没到滑动极限时，拟合只给出所选静止分布的斜率。

动手实验

01
找出拉得住的范围
选“静止保持”，把拉力和上下两个极限比一比。
你会看到： 所选张力分布落在两条虚线极限之间。
02
越过两个极限
试试“拉力不足”和“反向滑动需求”两个预设。
你会看到： 红色曲线是你要求的平衡，可摩擦撑不住，所以实验不采集读数。
03
只改半径
包角、摩擦系数和两端张力都不动，只改绞盘半径。
你会看到： 拉得住的范围不变，力矩和每米受力变了。
04
拟合张力斜率
回到静止的试验，加入噪声，再扫描接触弧。
你会看到： 拟合斜率接近所选分布的斜率，而不是材料摩擦系数。