Tomlinson 模型如何解释黏滑

弹簧牵着的一个质点

Vanossi 等人这样描述 Prandtl–Tomlinson 模型：一个质量为 $m$ 的点状针尖在一维正弦势上被拖动，势代表针尖与晶体基底的相互作用；一根刚度为 $k$ 的弹簧把针尖连到以速度 $v$ 匀速移动的支架上。

总能量是两部分之和：基底的周期势，加上弹簧的弹性能。我们把余弦写成 $-U_0\cos(2\pi x/a)$，这样能量谷正好在格点 $x=na$ 上，与 Sang 等人的式 (3) 一致；Vanossi 等人的式 (1) 用 $+U_0$，只是坐标原点移了半个周期。

模型不描述能量怎样真正传进基底，所有耗散都用一个黏性力 $-m\gamma\dot x$ 代替。仪器读到的是弹簧力 $F=k(X-x)$，动摩擦力是它的时间平均。

来源：A. Vanossi · Y. Sang

黏滑参数：一个谷还是几个谷

针尖停在总能量的极小值处。极小值是否只有一个，要看曲率。基底势的曲率在 $\pm4\pi^2U_0/a^2$ 之间变化，弹簧的曲率恒为 $k$。两者之比就是黏滑参数 $\eta$。

如果 $\eta<1$，总曲率处处为正，对任何支架位置都只有一个极小值。针尖连续地跟着支架走，没有跳跃；速度趋于零时摩擦也趋于零。Vanossi 等人指出，实验上在低载荷下确实观察到了这种摩擦极低的平滑滑动。

如果 $\eta>1$，在一段位置上总曲率为负，能量曲线会同时出现两个或更多的谷。针尖停在一个谷里，直到这个谷消失，然后跳到下一个谷：这就是黏滑。$\eta=1$ 是从平滑滑动到每次滑一个格点的分界。

来源：A. Vanossi · Y. Sang

折点：能量谷在哪里消失

支架前进时，针尖所在的谷越来越浅、越来越斜。谷消失的那一刻，极小值和它前方的极大值合并，一阶导数和二阶导数同时为零。Vanossi 等人把这称为折点灾变；Sang 等人的式 (4) 给出同样的条件。

由二阶导数为零得到折点处的针尖位置 $x_c$；把它代入一阶导数为零，得到弹簧此时的力 $F_c$，以及支架位置 $X_c$。$\eta\gg1$ 时 $x_c\to a/4$，$F_c$ 趋于第一章的上限 $2\pi U_0/a$。

针尖粘住时，它在谷底附近随支架缓慢移动。弹簧与谷底的曲率 $k_s$ 串联，所以力–位移曲线的斜率比 $k$ 小。Sang 等人正是用这个斜率 0.86 N/m 作为实验输入。

来源：A. Vanossi · Y. Sang

完整例题：Sang 等人的针尖在哪里滑移

题目。$U_0=0.27\,\mathrm{eV}$，$a=0.4\,\mathrm{nm}$，$k=0.93\,\mathrm{N\,m^{-1}}$，零温。求 $\eta$、折点处的针尖位置、弹簧力、支架位置，以及粘住阶段的斜率。

计算。$\eta=4\pi^2\times4.33\times10^{-20}/(0.93\times1.6\times10^{-19})=11.48$。$\cos(2\pi x_c/a)=-0.0871$，$x_c=0.264\,a=0.106\,\mathrm{nm}$。$F_c=0.680\times\sqrt{1-0.0076}=0.677\,\mathrm{nN}$。$X_c=0.106+0.677/0.93=0.833\,\mathrm{nm}=2.08\,a$。粘住斜率 $0.93\times11.48/12.48=0.855\,\mathrm{N\,m^{-1}}$。

对照。Sang 等人从实验读出的斜率是 0.86 N/m，与 0.855 一致到两位有效数字；他们的脚注 21 也说明，用 $U_0=0.27\,\mathrm{eV}$ 时这个斜率对应 $k=0.93\,\mathrm{N\,m^{-1}}$。

检验。课程的零温模拟以 10 nm/s 拖动针尖，针尖越过两谷之间的中点时，支架在 $X=2.086\,a$，只比折点晚 0.0026 个周期。速度增到 100 nm/s 和 1000 nm/s，延迟变成 0.0125 和 0.059 个周期：针尖需要时间离开正在消失的谷，速度每增大十倍，延迟约增大 4.8 倍。这是我们模拟的观察结果，不是论文中的结论。

解释。从静止开始，支架要走 2.08 个周期才第一次滑移；此后每次滑移都在支架相对新谷走到同样位置时发生，所以锯齿的周期正好是 $a$。

来源：Y. Sang · A. Vanossi