转角薄片与结构超润滑

实验：石墨上的一片石墨

Vanossi 等人综述了 Dienwiebel、Verhoeven 等人的实验：摩擦力显微镜针尖上附着一片石墨薄片，在原子级平整的石墨表面滑动，测量摩擦怎样随两者的相对转角变化。课程没有读这些原始论文，下面的数字都来自综述的转述。

在大多数取向下，两个表面处于不匹配的状态，摩擦低于 50 pN。只有在对应匹配接触的窄转角范围里，才出现黏滑，摩擦较高，典型值 250 pN。

综述图 4 把这些数据和一个推广的 Prandtl–Tomlinson 模型画在一起：石墨薄片当作刚性有限晶格，取一片对称的 96 原子薄片，并假设拖动时转角不变。算出的平均摩擦在匹配角附近有窄的高峰，峰之间是宽的超低摩擦区。课程的薄片 Lab 用的是同一类模型，只是把石墨换成第六章的三余弦势。

来源：A. Vanossi

摩擦峰有多宽

转角很小时，转动让每个原子的相位改变 $\theta|\mathbf G|$ 乘以它相对中心、沿垂直于 $\mathbf G$ 方向的坐标。把薄片看作连续圆盘，结构因子就是光学里圆孔衍射的 Airy 型函数，第一个零点在 $\theta_1=1.056/D$ 弧度， $D$ 是以基底晶格间距为单位的直径。

课程模型对直径 10、20、40 的格点圆盘算出第一个极小在 6.008°、3.008°、1.510°；连续圆盘给出 6.052°、3.026°、1.513°，差别小于 0.8%。峰的半高宽乘以直径，三种大小都是 0.61 弧度。

Vanossi 等人写道，摩擦峰的角宽度满足 $\tan\Delta\Phi=1/D$ ，因此可以用峰宽估计薄片直径。它给出 5.711°、2.862°、1.432°：比第一个零点小约 6%，是半高宽的约 1.6 倍。综述没有说明 $\Delta\Phi$ 指哪种宽度；如果把测得的半高宽代进这条规则，估出的直径会大 1.6 倍左右。

\frac{|S_l(\theta)|}{N}\approx\left|\frac{2J_1(u)}{u}\right|,\qquad u=\frac{|\mathbf G|D\theta}{2},\qquad \theta_1=\frac{2\times3.832}{|\mathbf G|D}=\frac{1.056}{D}

小转角下匹配晶格的结构因子。

J_1

是一阶 Bessel 函数，

|\mathbf G|=4\pi/(\sqrt3\,a_s)

。

\tan\Delta\Phi=\frac{1}{D}

Vanossi 等人第 II.E 节给出的峰宽规则，直径以晶格间距为单位。

直径为 10、20、40 个晶格间距的刚性晶格圆盘，在相同的六角晶格上，每个原子分到的起伏随转角的变化，由课程模型计算。横轴上的短刻线：连续圆盘的第一个零点

\theta_1=3.83/(|\mathbf G|D/2)

。薄片越大，失去对齐所需的转角越小。

来源：A. Vanossi · A. S. de Wijn

拖动一片转过角度的薄片

把第六章的 127 原子六边形转过不同角度，仍用刚度 $k=200\,V_0/a_s^{2}$ 的弹簧在零温下以约化速度 0.003、阻尼 3 拖动。平均摩擦（单位 $V_0/a_s$ ）和黏滑参数如下：0° 时 280.4（ $\eta=11.14$ ），2° 时 193.2（8.29），3° 时 108.2（5.43），4° 时 28.9（2.51），5° 时 1.155（0.16），7° 时 11.23（1.67），10° 和 30° 时都是 1.141。

7° 的回升来自结构因子的第一个旁瓣。课程按 0.02° 的步长扫描， $\eta>1$ 的转角有两段：0° 到 4.60°，5.76° 到 8.56°，后一段的峰值 $\eta=1.67$ 在 7°。可见有限薄片在主峰旁边还有弱的黏滑；转到 9° 以后才一直平滑地滑动。

10° 和 30° 时剩下的摩擦是同一速度下的黏性阻力 $N\gamma v=1.143$ ，两者相差不到 0.2%。阻尼 $\gamma$ 是课程选的模型参数，不是测量值；刚性的薄片和基底没有声子，模型里除了它没有别的耗散通道。“摩擦降到黏性阻力”只说明黏滑这条通道关掉了；真实薄片的摩擦还取决于模型里没有的耗散通道。

来源：A. S. de Wijn · A. Vanossi

超润滑不等于零摩擦

Vanossi 等人指出，“超润滑”这个名称受到批评，因为它容易让人联想到超导和超流那样的零阻力。不匹配只消除了一条耗散通道，即低速下的黏滑失稳；声波发射等其他耗散过程仍然存在，所以即使完全不匹配，净的动摩擦也不为零。不过他们仍然预期，与相似的匹配接触相比，摩擦会大幅减小。

低摩擦的状态也不一定能保持。综述提到 Filippov 等人的实验：薄片的超润滑会因为薄片转回匹配取向而消失。de Wijn 写道，不匹配取向的平均能量通常比匹配取向高，足够大的热涨落会破坏它们；在石墨上的小石墨薄片实验中，不匹配取向会衰变；理论上更大的晶体转得更慢，不匹配取向能保持下来。课程的 Lab 和综述里的模型一样锁住转角，看不到这种衰变。

缺陷也会带回摩擦。转角 10°、弹簧较软时，约 1000 个原子的完整薄片摩擦为黏性阻力的 0.97 倍；随机缺 10% 原子的薄片是 3.0 倍；边缘粗糙的薄片是 3.1 倍。第六章的尺寸标度说明，这类无序造成的起伏会随面积增长。

来源：A. Vanossi · A. S. de Wijn

完整例题：127 原子的六边形转多少度才不再黏滑

题目。第六章的对齐六边形， $N=127$ ， $\eta(0)=11.14$ 。只用连续圆盘公式，估算转角多大时黏滑消失、旁瓣会不会再次黏滑，并与课程模型比较。

第一步，黏滑参数随结构因子缩小。基底不动，转角只改变 $|S|$ 。六边形中心对称，三个结构因子相等，所以起伏和 $\eta$ 都按 $|S|/N$ 缩小。黏滑消失的条件是 $|S|/N<1/11.14=0.0898$ 。

第二步，换成等面积的圆盘。每个原子占 $(\sqrt3/2)\,a_s^{2}$ ，薄片面积 $110.0\,a_s^{2}$ ，等面积圆盘的直径 $D=11.83$ 。

第三步，解方程。 $2J_1(u)/u=0.0898$ 的第一个根是 $u_c=3.458$ ，对应 $\theta_c=2u_c/(|\mathbf G|D)=4.61^{\circ}$ ；第一个零点在 5.11°。

第四步，旁瓣。 $2J_1(u)/u$ 的第一个负极值是 $-0.132$ ，在 $u=5.136$ 。乘以 11.14 得到旁瓣的 $\eta=1.47$ ，大于 1，位置 6.85°； $\eta>1$ 的范围是 5.85° 到 8.05°。

与模型比较。课程模型的 $\eta$ 在 4.60° 降到 1，起伏的第一个极小在 5.09°；旁瓣的 $\eta$ 最大 1.67，在 7.0°，范围 5.76° 到 8.56°。主峰用圆盘公式就能估到 1% 以内；旁瓣对形状更敏感，因为六边形不是圆盘。结论：这片薄片转过 4.6° 就不再黏滑，但在 7° 附近会再次出现弱的黏滑。

\eta(\theta)=\eta(0)\,\frac{|S(\theta)|}{N},\qquad \frac{2J_1(u_c)}{u_c}=\frac{1}{\eta(0)}

转角薄片的黏滑参数，以及黏滑消失时

u

满足的方程。

来源：A. S. de Wijn · A. Vanossi

到实验里试一试

找出黏滑消失的角度和旁瓣

先预测：127 原子的六边形大约转到几度不再黏滑？7° 附近会发生什么？
选“对齐薄片粘住”，把转角一步步加到 4°、5°、7°、10°，每一步看“薄片受到的拖动力”是否还有锯齿，并读出摩擦与黏性阻力之比。
在“势垒随转角的变化”图里找出第一个极小和旁瓣，对照本章的 5.09° 和 7°，再读 7° 处的 $\eta$ 。

薄片越大，峰越窄

先预测：把薄片从 6 圈（127 个原子）加大到 12 圈（469 个原子），第一个极小会移到大约几度？
选“转角扫描”，看转角自动扫过 0° 到 30° 时摩擦在哪里升高；然后把薄片大小调到 469 个原子，再看“势垒随转角的变化”图里第一个极小的位置。
用 $\theta_1=1.056/D$ 和等面积直径检查读数，再算出 $\tan\Delta\Phi=1/D$ 给出的宽度，说明它更接近第一个零点还是半高宽。

练习与解答

一片直径 40 个晶格间距的圆盘，摩擦峰的第一个零点在几度？课程模型给出的半高宽是 0.874°；把它代入 $\tan\Delta\Phi=1/D$ ，估出的直径是多少？
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$\theta_1=1.056/40=0.0264$ 弧度，即 1.51°。 $D=1/\tan(0.874^{\circ})=65.6$ ，比真实直径大 1.64 倍。用峰宽估直径时，必须先说清量的是哪种宽度。
为什么课程模型在 10° 和 30° 的摩擦几乎正好等于黏性阻力？这能用来预言真实薄片在这些角度的摩擦吗？
展开解答
这两个角度的起伏只有约 $0.5\,V_0$ ， $\eta\approx0.04$ ，薄片几乎匀速地跟着支架走。基底势每走一个周期回到原值，它的平均作用几乎为零，剩下的只有模型里放进去的阻尼 $N\gamma v$ 。真实薄片还有声子、声波发射、转动和边缘效应， $\gamma$ 也是假设的，所以不能。
课程的 Lab 锁住了薄片的转角。列出两个因此看不到的现象，并说明出处。
展开解答
一是薄片转回匹配取向，超润滑因此失效，这是 Vanossi 等人转述的 Filippov 等人的实验结果。二是热涨落破坏不匹配取向：de Wijn 指出不匹配取向的平均能量通常更高，足够大的热涨落会让薄片转到匹配取向，摩擦随之升高。

来源与复算范围

A. Vanossi, N. Manini, M. Urbakh, S. Zapperi and E. Tosatti, Colloquium: Modeling friction: from nanoscale to mesoscale, arXiv:1112.3234v4; Reviews of Modern Physics 85, 529 (2013)
2013 年 4 月 3 日 v4。第 I 节：Coulomb–Amontons 摩擦定律。第 II.A 节：Prandtl–Tomlinson 模型（式 1）、黏滑参数、滑移开始的折点、在折点附近按二分之三次方缩小的势垒、该参数大于 4.604 时的多重滑移，以及低速摩擦等于能量落差的规则。第 II.C 节：带噪声的 Langevin 方程（式 2、3）、拉动速率与跳跃速率之比、热润滑（式 4）、对数规律（式 5），以及与低温实验的分歧。第 II.D 节：Frenkel–Kontorova 链（式 6）与 Aubry 转变。第 II.E 节：超润滑、对这个名称的批评、文中转述的石墨薄片实验（多数取向低于 50 pN，接近相称取向时约 250 pN，以及薄片转回相称取向），图 4 与图 5，以及“摩擦峰的角宽度约为薄片直径的倒数”这条规则。第 III.A 节：热浴，以及没有公认取法的阻尼率。第 III.B 节：模拟能达到的时间与尺寸，以及实验与模拟中黏滑消失速度之间最多六个数量级的差距；文中印出的“每个模拟日约 1 微秒”比它自己的算式小约 9 倍。第 VI 节：结论。我们用自己的模型复算了黏滑参数、折点力和角宽度，没有数字化任何图。
A. S. de Wijn, (In)commensurability, scaling and multiplicity of friction in nanocrystals and application to gold nanocrystals on graphite, arXiv:1208.1395v2; Physical Review B 86, 085429 (2012)
2012 年 8 月 15 日 v2。式 (1)：单个金原子在石墨上的六角势，三个余弦之和，前置系数九分之二，单原子起伏约 50 meV。第 II 节：石墨 C–C 键长 1.42 Å，Au(111) 原子间距 2.885 Å，在他的长度单位下比值为 1.354。第 IV 节：完整晶体的摩擦随接触面积按零次、二分之一次或一次方变化（式 21）。第 V 节：轮廓不规则时为四分之一、四分之三或一次方（式 31），非晶为二分之一次方。我们用这个势搭建刚性薄片并拟合了指数，没有数字化他的图。