断裂力学 · 相场模型

相场断裂模型里的裂纹扩展

一片连续的损伤场，能自己决定裂纹往哪里走吗？ 在模型范围内可以。相场裂纹是一条窄损伤带，哪里能让储能加表面代价变小，它就往哪里长，所以不需要路径规则也能拐向圆孔或在剪切下转弯。在这个带缺口的方块里，尖锐裂纹预测的起裂载荷，落在载荷峰值和损伤带长出两倍带宽时的载荷之间。

拉伸或剪切带缺口的方块，看损伤带怎样长出来、拐向圆孔，或在没有记忆时愈合。再与尖锐裂纹的起裂预测对比。

模型假设

二维准静态 AT2 相场模型，平面应变，泊松比 0.3，网格 40 乘 40。拉伸能分解让受压区不会开裂，但这一步不再严格来自同一个能量。页面每个加载步只交替求解三次，快速扩展的裂纹会分摊到几个加载步；基准记录每步都迭代到收敛。带宽、网格和韧性都是无量纲模型选择。

夹头位移 / 边长

0.0367

夹头反力（模型单位）

0.0247

裂尖前进距离 / 边长

0

新表面能占做功比例

0\%

金色曲线是模拟的夹头反力，虚线是对同一缺口单独计算的尖锐裂纹起裂位移。

保存这次运行，查看模型

JSON 列出设置、模型版本、尖锐裂纹起裂位移，以及每个载荷步的反力、能量和裂尖前进距离。

强度公式和带损伤缺口的比较参照 Tanné 等人 2018 年的论文。阅读原文

先抓重点

E_{\ell}(u,d)=\int_{\Omega}g(d)\,\psi(\varepsilon(u))\,dx+\frac{G_c}{2}\int_{\Omega}\left(\frac{d^{2}}{\ell}+\ell\,|\nabla d|^{2}\right)dx

第一项是被损伤削弱的弹性储能，第二项是损伤带的表面代价。网格足够细时，一条直带的第二项等于韧性乘裂纹长度。

g(d)=(1-d)^{2}+k,\qquad \mathcal H(x,t)=\max_{s\le t}\psi^{+}(x,s)

小的残余刚度让断开区的方程仍可求解。历史场用迄今最大的拉伸能驱动损伤，载荷下降时损伤不会愈合。

\sigma_c=\frac{3}{16}\sqrt{\frac{3G_cE'}{\ell}}

没有缺口时，均匀杆的最大应力就是这个值。带越窄材料越强，所以长度尺度同时也是强度参数，Tanné 等人强调过这一点。

容易误解损伤带的宽度就是裂纹张开的宽度。

正确理解带宽由长度尺度和网格决定，与载荷无关。裂纹张开量是位移在带两侧的跳跃。

容易误解这里的起裂、路径和载荷曲线与网格无关。

正确理解二维准静态 AT2 相场模型，平面应变，泊松比 0.3，网格 40 乘 40。拉伸能分解让受压区不会开裂，但这一步不再严格来自同一个能量。页面每个加载步只交替求解三次，快速扩展的裂纹会分摊到几个加载步；基准记录每步都迭代到收敛。带宽、网格和韧性都是无量纲模型选择。

01
拉一个带缺口的方块
选“拉伸长出直裂纹”，在数据区看反力随夹头位移的变化。
你会看到： 反力先升到峰值，损伤带穿过方块时下降。虚线是尖锐裂纹的起裂预测。
02
换一种加载
选“剪切让裂纹转弯”，再选“圆孔吸引裂纹”。
你会看到： 这里没有路径规则。剪切下损伤带向角落转弯；靠近圆孔时它拐向圆孔。
03
去掉记忆
选“没有记忆，裂纹会愈合”。载荷先升再降。
你会看到： 没有历史场，载荷下降时损伤带缩回去，真实裂纹不会这样。

让损伤场自己找裂纹路径