光学 078 · 偏振、各向异性与光学调制

光弹性应力观察器

偏振片之间的彩色条纹，怎样显示受力物体内部的主应力差？ 受力后，透明材料会出现双折射，强弱正比于两个主应力之差。放在偏振片之间，这个延迟显示为彩色条纹，每条条纹连起主应力差相同的点。圆偏振镜能去掉随应力方向出现的暗带，但条纹级次还得自己数。两个主应力相等时，比如均匀受压，根本不出条纹。

在三维偏振仪里给三种有解析应力解的试样加载。比较平面偏振和圆偏振下的条纹，用探针读取任一点的应力张量，并在 LED 照明下记录曝光。

探针主应力差

\Delta\sigma

$0.50$

探针绿光条纹级次

N_{550}

$50\%$

探针绿光透射

I_{550}/I_0

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

应力场按参考几何的线弹性解计算，应力光学系数取假定的常数。板的解从无限大板上截取，圆盘点接触处的区域不计算。LED 通道理想。不做白光色度计算，也不从条纹反推应力。

物理教程

检验光弹性应力观察器的物理过程

背景透明聚合物受力后，变成一块各处不同的延迟器。它的光学本征轴沿着两个主应力方向。应力光学定律为 $\delta=\frac{2\pi C t}{\lambda}\Delta\sigma$ 。厚度就是光垂直穿过试样走的路程，应力以兆帕为单位。材料系数是假定的常数，不是用真实试样标定的。所有试样都按未变形的参考形状显示。

为什么值得理解偏振片之间的彩色条纹，怎样显示受力物体内部的主应力差？

先抓重点

核心问题: 偏振片之间的彩色条纹，怎样显示受力物体内部的主应力差？
一句话直觉: 圆偏振暗场片组去掉了随方向变化的消光，只剩下 $I_{\rm circ}/I_0=\sin^2(\delta/2)$ 。平面正交片组还多一个方向因子：转动片组，暗的等倾线跟着移动，应力场却没有变。两种图像都不能直接给出静水应力，也给不出唯一的条纹级次。

核心数学模型

主应力与光学相位

\begin{aligned}\Delta\sigma&=\sqrt{(\sigma_{uu}-\sigma_{vv})^2+4\sigma_{uv}^2}\\N_\lambda&=\frac{Ct\Delta\sigma}{\lambda}\\C&=60\times10^{-12}\,\mathrm{m^2/N}\end{aligned}

这个系数是明确说明的教学假定。两个主应力相等时，主轴方向没有定义，实验不会在那里硬画一条水平轴。应力和厚度只换算一次，分别换成帕和米。

平面与圆偏振暗场

\begin{aligned}I_{\rm plane}/I_0&=\sin^2[2(\phi-\theta_P)]\sin^2(\pi N_\lambda)\\I_{\rm circ}/I_0&=\sin^2(\pi N_\lambda)\end{aligned}

强度以通过起偏片后的光为基准归一。圆偏振模式下，两片理想四分之一波片分别放在试样两侧，相对正交片组取相反的轴向。接收屏按几何光学一一接收法向光线，忽略衍射。

三种不同边界载荷

\begin{aligned}\text{beam:}\quad q&=\frac{6M}{th^2},\quad\sigma_{uu}=-\frac{2qv}{h}\\\text{hole:}\quad q&=\sigma_\infty,\quad\sigma_{\theta\theta}(a,\pi/2)=3q\\\text{disk:}\quad q&=\frac{F}{Dt},\quad\Delta\sigma(0)=\frac{8q}{\pi}\end{aligned}

梁两端受一对相反的力偶。孔板用无限大板的 Kirsch 解。圆盘用一对等大反向的点力，再加一个均匀修正，保证圆周是自由边界。奇异接触点周围两毫米以内不在模型范围内。没有有限元求解、变形、失效预测或应力反演。

常见难点

越亮就是应力越大？

容易误解亮像素能够唯一确定两个主应力。

正确理解强度随主应力差周期变化，每到整数条纹级次就会再暗一次。平面偏振光路里，本征轴与起偏方向对齐时也会消光。两个主应力同时加上相同的静水应力，两种图像都不变。这里的参考应力张量来自解析力学，不是从照片里恢复的。

动手实验

01
场景 1：纯弯曲梁
纯弯曲时，加大应力尺度，在中性轴上下探测。应力在两侧变号，主应力差和圆偏振强度却上下对称。
你会看到： 光沿正 X 方向传播。站在屏幕前朝下游看，右方为正 Z，上方为正 Y。试样坐标沿用这两个方向，正角从右向上转。
02
场景 2：无限板圆孔局部
选择圆孔窗口，把探针拖到孔顶。这里的环向应力是远处拉应力的三倍。矩形窗口的边只是裁切，不是板的自由边。
你会看到： 强度图只出现在实体接收屏上，空中没有悬浮的副本。试样厚度会真的变化，但不表示机械挠度。
03
场景 3：圆盘径向压缩
选择径向压缩，比较圆盘中心和两端被排除的接触区。这里用的是一对相对点力的解，不是 Hertz 接触计算。
你会看到： 三只互相独立的窄带 LED 分别进入理想的红、绿、蓝通道。这不是白光光谱，不是标定过的相机颜色，也不是真实的消色差波片设计。

光弹性应力观察器

检验光弹性应力观察器的物理过程

核心数学模型

主应力与光学相位

平面与圆偏振暗场

三种不同边界载荷

常见难点

越亮就是应力越大？

动手实验

场景 1：纯弯曲梁

场景 2：无限板圆孔局部

场景 3：圆盘径向压缩

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