FR27 · 准静态剪切

剪切堆积里的软点：预测下一次滑移的位置

堵塞堆积最软的振动模式，能否提前指出下一次滑移的盘？ 常常可以，但并非每次都准。缓慢剪切堵塞的堆积，每次突然滑移前，最软振动模的刚度都会降向零；在最软的几个模里动得最多的颗粒更可能滑移。64 个软圆盘中，最软两个模点名的 6 个盘平均有 26% 落在移动最大的 6 个盘里，随机猜测只有 9%；约每四次滑移有一次一个也没点中。

缓慢剪切 64 个软圆盘，抓住每次突然滑移，统计最软的几个振动模事先点中移动盘的比例，并与随机猜测比较。

剪切应变 $0.00693$

最软模的刚度 $0.0024\,\varepsilon/d^{2}$

软模命中率 $0.5$

随机命中率 $0.0938$

剪切堆积

堆积分数

0.9

\phi

用于预测的软模个数

2

N_{\mathrm m}

圆盘数

64

N

每秒播放的应变

0.004

\Delta\gamma/\Delta t

绿圈是每次滑移前预测的软点，琥珀色是真正移动的盘。拖动上板的把手，可以亲手剪切。

随机初态

随机初态的种子

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模型、单位与来源

$d=1,\quad \varepsilon=1,\quad m=1,\quad [\lambda]=[\sigma]=\varepsilon/d^{2}$

每一步把单元剪切 $\Delta\gamma=2\times10^{-4}$ ，再用 FIRE 弛豫，直到最大净力小于 $10^{-11}\,\varepsilon/d$ 。若反向剪回后，每个承载盘都回到原位 $10^{-3}\,d$ 以内，这一步就是可逆的；否则用二分法把事件夹到 $10^{-9}$ 的应变区间内。

刚度读数是承载盘动力学矩阵去掉两个整体平移后的最低本征值。一个盘的软点分数，是它在最低 $N_{\mathrm m}$ 个软模里位移平方之和；分数最高的 6 个盘就是预测。

Manning & Liu (2011), Fig. 2, Eq. 1 · Maloney & Lemaître (2006), Sec. IV, Fig. 5 · Guénolé et al. (2020), FIRE 2.0

推导最软的模为什么能预警滑移

模型假设

模型是无摩擦的二维圆盘，一半直径为 1，一半为 1.4，按 Hertz 定律接触，装在周期性的剪切单元里。每加一小步应变，就让堆积弛豫到受力平衡，所以剪切缓慢，不含惯性、热运动和摩擦。如果某一步反向剪回去却回不到原状，就算一次重排；再用二分法夹出它开始的应变。预测在每段平滑加载开始时读取，跳得最远的 6 个盘定义这次重排。64 个盘比 Manning 与 Liu（2011）用的 2500 个少得多，因此这里的命中率是用我们自己的流程重新计分，不是复现原文数值。

应力积累，每次重排时下跌

临近滑移时最软模的刚度趋于零

每种猜测点中移动盘的比例

更多数值与计算方法

已定位的重排: $0$
当前剪应力: $0$
“接触最少”猜测的命中率: $0$
“压强最低”猜测的命中率: $0$
最近一次重排的应变: $0$
最近一次重排的应力降: $0$
最近一次重排中最大的跳动: $0$
最近事件附近的刚度指数: $0$
临界模与移动盘的重合: $0$
承载盘: $0$
已做的能量最小化次数: $0$
种子: $0$

命中比例是预测的 6 个盘中，有多少落在非仿射跳动最大的 6 个盘里。随机命中率是从承载盘里随机抽 6 个的期望比例，约为 $0.094$ 。刚度指数是 $\ln\lambda_{\min}$ 对 $\ln(\gamma_c-\gamma)$ 在 $3\times10^{-8}$ 与 $3\times10^{-7}$ 之间的斜率；鞍结分岔给出 $1/2$ 。

物理教程

听出下一次滑移

背景缓慢剪切一个堵塞的堆积，它会平稳地积累应力一段时间，然后几颗颗粒突然滑移，应力随之下跌。两次滑移之间，堆积待在同一个能量极小值里，剪切只是慢慢改变这个极小值的形状。

为什么值得理解玻璃、泡沫和沙子都通过这种局部滑移而屈服。如果能在失效之前找到薄弱处，无序固体的破坏就有一部分可以预测。最软的振动模是一个候选：它只由当前堆积算出，在任何颗粒移动之前就已确定。

先抓重点

核心问题: 堵塞堆积最软的振动模式，能否提前指出下一次滑移的盘？
一句话直觉: 当堆积所在的能量极小值消失时，滑移就发生了。在此之前，有一个振动模的刚度先降到零，所以在最软的几个模里动得最多的盘最可能滑移。在这些小堆积里，这个预测比随机猜测好将近三倍，但大约每四次滑移仍有一次一个也没点中。

核心数学模型

每个模的刚度

H_{i\alpha,j\beta}=\frac{\partial^{2}U}{\partial r_{i\alpha}\,\partial r_{j\beta}},\qquad H\,\mathbf e_{m}=\lambda_{m}\,\mathbf e_{m}

承载盘的动力学矩阵（取单位质量）。每个本征值 $\lambda_m$ 是一种集体运动 $\mathbf e_m$ 的刚度；周期单元的两个整体平移刚度为零，不计入。

逼近滑移

\lambda_{\min}\propto(\gamma_c-\gamma)^{1/2}

当应变逼近临界值、极小值与鞍点合并时，最软的刚度按平方根趋于零（Maloney 与 Lemaître，2006）。实验室在每次滑移前，从百万分之一到一亿分之一的剩余应变上取样检验。

软点分数

P_i=\sum_{m=1}^{N_{\mathrm m}}\left|\mathbf e_{m,i}\right|^{2}

盘 i 在最软的几个模里动得有多厉害，做法参照 Manning 与 Liu（2011）。分数最高的 6 个盘就是预测，在平滑加载段开始时读取。

给预测打分

h=\frac{\left|\mathcal P\cap\mathcal R\right|}{k},\qquad \langle h\rangle_{\text{chance}}=\frac{\left|\mathcal R\right|}{N'}

预测的 $k=6$ 个盘中，落在跳动最大的 6 个盘里的比例。在 $N'$ 个承载盘中随机猜，平均得分约 $0.094$ 。

常见难点

最弱的盘就是接触最少的盘

容易误解接触少或压强低的盘，就是会滑移的盘。

正确理解这些简单的局部猜测确实好于随机，但在 192 次测试滑移上，最软的两个模点中了 26% 的移动盘，“接触最少”是 18%，“压强最低”是 15%。滑移是集体运动，而振动模看的是整张网络。

滑移毫无征兆

容易误解颗粒动起来之前，没有任何可测的变化。

正确理解对 Hertz 接触，几乎每次滑移前，最软刚度都会在最后万分之一的应变里降掉一半以上。对弹簧型接触，它往往保持不变，直到某个接触张开才骤降；“弹簧接触不预警”预设展示的就是这种情况。

动手实验

01
看一次滑移
打开“软点先垮”，看第一次重排。
你会看到： 六个绿圈盘里有三个也带上了琥珀色圈：一半的预测移动了。应力图显示了下跌，刚度图显示最软模随滑移临近而下降，斜率接近一半。
02
记分
让它跑十几次滑移，看命中率柱。
你会看到： 软模柱稳定在随机柱之上，接近测试种子记录的白线；而单次滑移的命中从零到大多数都有。
03
比较接触定律
选“弹簧接触不预警”，看每次滑移前的刚度图。
你会看到： 最软刚度几乎一直不变，直到滑移发生，因为谐振接触在张开之前一直保持全部刚度。