FR27 · 摩擦与剪切

剪切堵塞：不用挤压，带摩擦的颗粒也能锁住

不再挤压，只靠剪切，能让松散的摩擦颗粒承载吗？ 可以，只要颗粒有摩擦、又不太松。面积不变的剪切会沿一条对角线挤压颗粒；有了摩擦，那里合上的接触还能承受侧向力，每颗只需 3 个接触而不是 4 个。模型里 128 个圆盘、堆积分数 0.81、摩擦 0.5 时，四个测试堆积都在 0.05 应变内开始承载，无摩擦的剪到 0.3 也一个都没有；反向剪切又会让它们卸载。

在堵塞密度以下剪切 128 个带摩擦的圆盘，看力链沿压缩方向的对角线长出来；关掉摩擦，力链就不会出现。

剪切应变 $0.042$

压强 $0.00116\,k_{\mathrm n}$

每个承载盘的接触数 $3.38$

正在滑动的接触比例 $0.0299$

剪切松散的摩擦颗粒

堆积分数

0.81

\phi

摩擦系数

0.5

\mu

每秒播放的应变

0.03

\Delta\gamma/\Delta t

琥珀色线是接触力，越粗越强；紫圈标出摩擦已用尽、正在滑动的接触。拖动上板的把手，可以亲手剪切。

随机初态

随机初态的种子

1

模型、单位与来源

$d=1,\quad m=1,\quad k_{\mathrm n}=1,\quad k_{\mathrm t}=\tfrac{2}{7}k_{\mathrm n},\quad [p]=[\tau]=k_{\mathrm n}$

每个盘的质量与面积成正比，小盘取单位质量，转动惯量按均匀圆盘计算。法向阻尼取 $\gamma_{\mathrm n}=1$ ，时间步长 $0.04$ 。每个应变步弛豫到每个盘的净力和力矩除以半径都小于 $10^{-6}\,k_{\mathrm n}d$ ，速度都小于 $10^{-5}$ ，最多 40000 步；达到上限的步数列在数据区下面。承载不到平均力千分之一的接触不计入，计入接触少于两个的盘算作松动盘。

一旦某个弛豫好的步压强超过 $10^{-5}\,k_{\mathrm n}$ ，就算堵住了。压强低于这个值时，力线和力的玫瑰图逐渐变淡，降到它的十分之一就不再画出。Zhao 等人（2019）规定：只有反向剪切时压强一直高于噪声，才叫剪切堵塞态；否则是脆弱态。

Silbert et al. (2001), Eqs. 2–9 · Shundyak, van Hecke & van Saarloos (2007) · Zhao et al. (2019)

推导摩擦为什么能让剪切堵住更松的堆积

模型假设

模型是二维圆盘，一半直径为 1，一半为 1.4，装在周期性的剪切单元里，堆积分数低于同样的圆盘在无摩擦时的堵塞点（约 0.84）。接触采用 Silbert 等人（2001）的线性弹簧-阻尼模型：法向弹簧只推不拉、带阻尼；切向弹簧的刚度是法向的七分之二，一旦切向力要超过摩擦系数乘法向力，就把它截短，所以圆盘可以粘住、滑动和滚动。每一步把单元剪切 0.003，再在一个很小的数值阻力下让圆盘静止，所以剪切缓慢、准静态。每次运行都从无摩擦弛豫好的堆积出发，起始压强低于接触刚度的一亿分之一。用同样的接触按 Shundyak 等人（2007）的办法缓慢生成堆积，这些圆盘在摩擦很小时每盘有 3.93 个接触，摩擦很大时有 3.03 个，论文值是 3.98 和 3.00。光弹圆盘实验测得的剪切堵塞密度属于另一种颗粒，这里不复现。

压强只靠剪切就出现了

每盘接触数落在两个等静值之间

载荷沿压缩方向的对角线走

更多数值与计算方法

当前剪应力: $0$
剪应力与压强之比: $0$
接触组构的各向异性: $0$
接触偏好的方向: $0$
承载盘: $0$
松动盘比例: $0$
堵住时的应变: $0$
反向后的最低压强: $0$
已做的应变步: $0$
达到弛豫步数上限的步: $0$
种子: $0$

应力是接触求和 $\sigma_{\alpha\beta}=\frac{1}{A}\sum_{c} b_{\alpha}f_{\beta}$ ，取对称部分，压为正；压强是迹的一半，剪应力是抵抗所加剪切的那个分量。组构张量为 $R=\langle\mathbf n\mathbf n\rangle$ ，对承载接触取平均；各向异性是两个本征值之差，角度是主轴方向， $-45^{\circ}$ 就是这种剪切的压缩对角线。

先抓重点

核心问题: 不再挤压，只靠剪切，能让松散的摩擦颗粒承载吗？
一句话直觉: 有了摩擦，一个接触能承受侧向载荷，所以堆积每盘只要 3 个接触就能站住，而不是 4 个。剪切沿一条对角线挤压颗粒、沿另一条把它们拉开，沿挤压方向合上的接触就足以撑住。没有摩擦，同样的颗粒在这个密度下只会滑开，永远不承载。

核心数学模型

每个接触的库仑上限

|f_{t}|\le\mu f_{n},\qquad f_{t}=-k_{\mathrm t}u_{t}

切向弹簧 $u_t$ 记录两个表面自接触以来滑过的距离。一旦 $k_{\mathrm t}|u_t|$ 要超过 $\mu f_n$ ，就把弹簧截短到上限，接触开始滑动（Silbert 等人，2001）。

多少个接触能站住

z_{\mathrm{iso}}^{0}=2d=4,\qquad z_{\mathrm{iso}}^{\mu}=d+1=3,\qquad n_{m}\le z-(d+1)

无摩擦时每个接触只有一个力，每个盘有两个平衡方程；有摩擦时每个接触有两个力，每个盘有三个方程。滑到上限的接触又多出一个方程，所以每盘的完全动员接触数 $n_m$ 有上界（Shundyak 等人，2007）。

由接触求应力

\sigma_{\alpha\beta}=\frac{1}{A}\sum_{c}b_{\alpha}f_{\beta},\qquad p=\tfrac12\left(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}\right)

求和遍及所有接触， $\mathbf b$ 是两圆心之间的矢量， $\mathbf f$ 是包括法向与切向的完整接触力。上方向右剪切时，压缩对角线在 $-45^{\circ}$ 。

常见难点

剪切只会让颗粒互相滑过

容易误解面积不变的剪切挤不紧堆积，所以堵不住它。

正确理解面积不变的简单剪切，仍沿一条对角线压缩。在堆积分数 0.81、摩擦 0.5 时，四个测试堆积都在 0.05 应变内越过了堵住的阈值；关掉摩擦，剪到 0.3 也一个都没有。

剪切堵住了就一直堵住

容易误解剪切后能承载的堆积，从此在各个方向都是固体。

正确理解反向剪切，沿一条对角线建起的力网就会卸载。在应变 0.15 时仍承载的两个测试堆积里，反向剪切过程中压强都掉到了阈值以下，按 Zhao 等人的判据，这些是脆弱态，不是剪切堵塞态。

动手实验

01
看载荷出现
打开“剪切长出力链”，看压强图和玫瑰图。
你会看到： 压强从零开始，随剪切增加而上升；玫瑰图沿左上到右下那条虚线长出一个长瓣：载荷沿被挤压的对角线走。
02
拿掉摩擦
选“无摩擦颗粒只会滑开”。
你会看到： 圆盘剪切得一样远，但压强一直接近零，也看不到力链。
03
反向剪切
选“反向剪切：力链松开”。
你会看到： 反向剪切约 0.06，压强就掉到阈值以下，玫瑰图变空；剪到约 0.22，新的长瓣沿另一条对角线长出来。

剪切堵塞：不用挤压，带摩擦的颗粒也能锁住

只靠剪切的堵塞

核心数学模型

每个接触的库仑上限

多少个接触能站住

由接触求应力

常见难点

剪切只会让颗粒互相滑过

剪切堵住了就一直堵住

动手实验

看载荷出现

拿掉摩擦

反向剪切

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从两个圆盘到堵塞点和它的记忆