L3 · 第 5 章

加上摩擦后，剪切怎样让稀一些的颗粒堵住

Sandbox Physics · 2026-10-29

真实的沙粒有摩擦。摩擦让每个接触多了一个能承力的方向，于是用更少的接触也能站住。这带来一个无摩擦圆盘没有的现象：堆积分数明明低于无摩擦的堵塞点，只要沿一个方向剪切，颗粒就会排出各向异性的力链，开始承载。光弹圆盘实验把这一转变测了出来，并给出能被剪切堵住的最低堆积分数。

带摩擦的接触：法向弹簧、切向弹簧和一个上限

Silbert 等人的离散元模型在每个接触上放两根弹簧。法向那根和第一章一样，只推不拉，再加一个阻尼让碰撞损失能量。切向那根记录两个表面自接触以来累计滑过的距离，刚度取法向刚度的 2/7。

切向力不能无限增长。一旦超过摩擦系数 $\mu$ 乘法向力，就把切向弹簧截短，让切向力正好等于这个上限，这一步代表表面开始打滑。切向力还会对圆心产生力矩，所以圆盘会转动。

|f_t|\le\mu f_n,\qquad m\equiv\frac{|f_t|}{\mu f_n}\in[0,1]

Coulomb 条件。

m=1

的接触称为完全动员：摩擦已用尽，稍加切向载荷就会滑动。Shundyak 等人用

m

描述每个接触离打滑还有多远。

来源：L. E. Silbert · K. Shundyak

摩擦让更少的接触也能站住

第二章已经数过：有摩擦时每个接触两个未知量，每个圆盘三个方程，等静定接触数从无摩擦的 $2d=4$ 降到 $d+1=3$ 。接触少了还能平衡，所以带摩擦的颗粒可以在更低的堆积分数下承载。

但完全动员的接触不自由：它的切向力被钉在 $\mu f_n$ ，等于多了一个方程。Shundyak 等人据此把计数推广为 $n_m\le z-(d+1)$ ， $n_m$ 是每个颗粒平均的完全动员接触数。他们缓慢生成的二维摩擦堆积大致落在这条线上；压强和摩擦系数都小时，约一半接触处在完全动员状态。

n_m\;\le\;z-z_{\mathrm{iso}}^{\mu},\qquad z_{\mathrm{iso}}^{\mu}=d+1

Shundyak 等人式 (1)。取等号的堆积是“边缘稳定”的；低于这条线的堆积有富余的约束，更稳。

来源：K. Shundyak

剪切堵塞：脆弱态与剪切堵塞态

Bi 等人 2011 年在《自然》上报告：堆积分数低于各向同性堵塞密度的摩擦光弹圆盘，从无应力的状态出发，只靠剪切就能堵住。剪切先把颗粒推成只在某些方向上承力的脆弱态，继续剪切，力网络变得各向异性并连成整体，进入剪切堵塞态。我们只读了这篇论文的摘要。

Zhao 等人 2019 年给出一个可操作的区分办法。脆弱态只能承受与剪切方向相容的载荷；剪切堵塞态反过来剪也撑得住。检验办法是先正向剪切到某个应变，再反向剪切，看压强是否一直高于噪声。

来源：D. Bi · Y. Zhao

完整例题：从颗粒数算出 Zhao 实验的堆积分数

Zhao 等人的剪切台是一个环形区域，内半径 8.7 cm、外半径 35.5 cm，面积 $\pi(35.5^2-8.7^2)=3.72\times10^{3}\,\mathrm{cm^2}$ 。圆盘直径 1.59 cm 和 1.27 cm，大小数目比为 1:3，摩擦系数 0.9。

建模：每 4 个圆盘里 1 个大、3 个小，平均面积 $\big[\pi(0.795)^2+3\pi(0.635)^2\big]/4=1.446\,\mathrm{cm^2}$ 。堆积分数就是颗粒数乘平均面积再除以环的面积。

代入论文给出的颗粒数范围 1447 到 2101： $1447\times1.446/3721=0.562$ ， $2101\times1.446/3721=0.817$ 。这与论文写的 $0.56<\phi<0.82$ 一致，说明我们读对了几何和配比。

论文的结论：在 $\phi=0.74$ 时，正向剪切再大也得不到剪切堵塞态；在 $\phi=0.75$ 时可以。能被剪切堵住的最低堆积分数就在两者之间， $\phi_{SJ}=0.745\pm0.005$ 。他们把达到稳态所需的应变对堆积分数作直线拟合，外推到零应变处得到 $\phi_0=0.84\pm0.02$ ，并指出它接近无摩擦各向同性堵塞的密度；第四章得到的值也在 0.84 附近。

来源：Y. Zhao

在模拟里核对计数，再剪切

我们按上面的模型写了带摩擦的二维圆盘，并像 Shundyak 等人那样，用同一个缓慢放大半径的方程把稀薄的圆盘气体吹胀到目标压强。128 个圆盘、8 个随机起点、三个压强，按 $p^{1/2}$ 外推到零压强：摩擦系数 0.001 时 $z=3.93\pm0.01$ ，摩擦系数 10 时 $z=3.03\pm0.01$ 。论文给出的是 $3.98\pm0.02$ 和 $3.00\pm0.02$ 。高摩擦一端吻合；低摩擦一端低了约 0.05，仍在我们事先定的 0.06 容差之内，128 个盘的有限尺寸修正本身就有约 0.03。松动盘比例从 4.6% 升到 11.9%，论文说的是约 4% 到 12%。

在每个测到的压强下，八个起点平均的 $n_m$ 都低于 $z-3$ ，计数上界成立；但在最低的压强 $10^{-4}k_{\mathrm n}$ 下，小摩擦的堆积离这条线还有约 0.17，没有论文里那么贴近。

同样的接触放进周期剪切单元，堆积分数取 0.81，低于这些圆盘无摩擦时约 0.84 的堵塞点。摩擦系数 0.5 时，四个起始压强都低于 $10^{-8}k_{\mathrm n}$ 的堆积都在 0.05 的剪切应变内让压强超过 $10^{-5}k_{\mathrm n}$ ，承载的接触偏向压缩对角线；没有摩擦，剪到 0.3 也一个都没有。把剪切在 0.15 处反过来，仍在承载的两个堆积压强都跌到阈值以下：按 Zhao 等人的判据，它们是脆弱态。

来源：K. Shundyak · Y. Zhao

这些数不能直接搬到别的系统

0.745 来自一种特定的二维光弹圆盘：特定的摩擦系数、大小比、底面摩擦和剪切步长。换一种颗粒或换成三维，数会变。课程的压缩实验没有摩擦和切向力，计数仍是 2d，它展示的是各向同性的堵塞；剪切堵塞实验有摩擦，但它的圆盘和光弹圆盘不同，所以那里出现承载的堆积分数也不该拿来和 0.745 对比。

来源：Y. Zhao · K. Shundyak

到实验里试一试

无摩擦圆盘作对照

先预测：如果给实验室里的圆盘加上摩擦系数 0.9，起点堆积分数会升高还是降低？用本章的计数说明理由。
播放默认预设，记下起点堆积分数和起点附近每个承力盘的接触数。
对照 Zhao 等人的 0.745 和本章的计数，说明为什么无摩擦圆盘的接触数要更多才能承载，以及为什么两个数不能直接比较。

只靠剪切让颗粒承载

先预测：堆积分数 0.81 低于无摩擦堵塞点。剪切时压强会不会离开零？摩擦系数是 0 和 0.5 时答案一样吗？
播放默认预设，记下压强第一次超过阈值时的应变，以及玫瑰图的长瓣指向哪条对角线。再选“无摩擦颗粒只会滑开”比较。
选“反向剪切：力链松开”，看反向后压强是否掉到阈值以下，用 Zhao 等人的判据说明这个状态属于哪一类。

练习与解答

一个二维摩擦堆积平均接触数 $z=3.4$ 。按 Shundyak 等人的推广计数，平均每个颗粒至多有多少个完全动员接触？
展开解答
$n_m\le z-(d+1)=3.4-3=0.4$ 。每个接触属于两个颗粒，所以完全动员接触数至多占全部接触的 $0.4/(3.4/2)\approx24\%$ 。
在 Zhao 等人的反向剪切测试中，某次反向剪切时压强最低降到 0.2 N/m。这个状态算剪切堵塞吗？
展开解答
不算。他们的判据是反向剪切期间压强始终高于噪声阈值 0.3 N/m。0.2 N/m 低于阈值，说明反向剪切时力网络松开了，这是脆弱态（或未堵塞）的表现。
保持颗粒种类不变，把 Zhao 实验中的颗粒数从 2000 增加到 2050，堆积分数变化多少？
展开解答
每个颗粒平均占 $1.446\,\mathrm{cm^2}$ ，多 50 个颗粒，堆积分数增加 $50\times1.446/3721\approx0.019$ 。这比 $\phi_{SJ}$ 的误差 0.005 大得多，所以实验要靠逐个调整颗粒数来扫描堆积分数。

来源与复算范围

L. E. Silbert, D. Ertaş, G. S. Grest, T. C. Halsey, D. Levine and S. J. Plimpton, Granular flow down an inclined plane: Bagnold scaling and rheology, arXiv:cond-mat/0105071v1; Physical Review E 64, 051302 (2001)
2001 年 5 月 3 日 v1。第 II 节：带摩擦的接触模型，法向是带阻尼的弹簧，切向是受 Coulomb 条件截断的弹簧，切向与法向刚度之比为 2/7。式 (12)：应力张量等于分支矢量乘接触力之和除以体积，再加动能项。静态堆积只用式 (12) 的接触部分。
K. Shundyak, M. van Hecke and W. van Saarloos, Force mobilization and generalized isostaticity in jammed packings of frictional grains, arXiv:cond-mat/0610205v1; Physical Review E 75, 010301(R) (2007)
2006 年 10 月 7 日 v1。开头几段：有摩擦时，等静定接触数从 2d 降到 d + 1。式 (1) 与图 1：摩擦力恰好达到 Coulomb 上限的“完全动员”接触，每个多出一个约束，所以每个颗粒上这类接触数至多为 z 减 d + 1。图 2：动员程度的分布分成上限处的一个峰和其下的一段平台。我们没有复算他们的模拟。
D. Bi, J. Zhang, B. Chakraborty and R. P. Behringer, Jamming by shear, Nature 480, 355–358 (2011)
只读了摘要。低于各向同性堵塞密度的带摩擦光弹圆盘，仅靠剪切形变就能经过脆弱态进入剪切堵塞态，力网络变得各向异性。课程只按摘要和 Zhao 等人（2019）的转述引用这一结论，没有读全文，也没有复算其数据。
Y. Zhao, J. Barés, H. Zheng, J. E. S. Socolar and R. P. Behringer, Shear-jammed, fragile, and steady states in homogeneously strained granular materials, arXiv:1904.10051v2; Physical Review Letters 123, 158001 (2019)
2019 年 8 月 14 日 v2。图 1(b)：21 个同心环组成的 Couette 剪切台，以每步 0.6% 的应变剪切 1447 到 2101 个双分散光弹圆盘（直径 1.59 cm 和 1.27 cm，摩擦系数 0.9）。图 2(d)、2(e)：用反向剪切区分脆弱态和剪切堵塞态，压强噪声阈值为 0.3 N/m。正文：能被剪切堵住的最小堆积分数为 0.745 ± 0.005，外推得到的无摩擦堵塞密度为 0.84 ± 0.02。这些是实验数据，我们只读图，没有复算。