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Sandbox Physics
颗粒与堵塞

L3 · 第 6 章

压进去再放出来，堆积记住了什么

Sandbox Physics ·

把盒子压紧再放松，回到原来的堆积分数，圆盘却不在原来的位置。卸载时载荷消失的堆积分数，比压缩时载荷出现的位置高。再压一次，载荷恰好在上次消失的地方出现；几轮之后，许多堆积每一轮都回到完全相同的构型。堆积记住的是它被压过的路径。

载荷出现和消失在不同的位置

实验室的默认循环用 128 个圆盘，从 0.775 压到 0.86 再放回，分 42 步，每步约 0.002。压缩时，第一个有载荷的步在堆积分数 0.789；卸载时，直到 0.805 还有载荷，下一步才消失。我们用同一协议跑了 6 个种子，每个种子都是卸载时载荷消失得更晚：第一轮第一个有载荷的步在 0.789 到 0.805 之间，卸载时最后一个有载荷的步在 0.805 到 0.813 之间。

第四章说过，阈值属于具体的构型。随机初态是一个排得很差的构型，所以很早就堵住；压紧的过程中圆盘重新排列，变成另一个阈值更高的构型。卸载时测到的，是这个新构型的阈值。

来源：C. S. O’Hern

壁做的功去了哪里

每一步分两半。先把盒子和所有圆心按比例缩放，这一步没有任何圆盘重新调整，能量的增加就是壁做的功。再让堆积弛豫，能量下降，这部分在模型里被弛豫算法拿走，代表真实材料中的阻尼。

一轮循环从未堵塞出发、回到未堵塞，储存的能量起止都是零，所以壁做的净功等于整轮的弛豫损失。我们在 128 个圆盘、从 0.80 到 0.86 的循环上用 Simpson 积分计算，壁的净功为 1.48×10−2 ε1.48\times10^{-2}\,\varepsilon，与损失之差为 −1.2×10−8 ε-1.2\times10^{-8}\,\varepsilon。

损失的具体数值依赖步长：步长越小，每步平滑弹性变形造成的损失越小。这个数只能在同一步长下比较。

Wwalls=∑stepsΔUaffine=ΔUstored+∑stepsΔUrelax,Wwalls=−∮p dA    over a closed cycleW_{\mathrm{walls}}=\sum_{\text{steps}}\Delta U_{\mathrm{affine}}=\Delta U_{\mathrm{stored}}+\sum_{\text{steps}}\Delta U_{\mathrm{relax}},\qquad W_{\mathrm{walls}}=-\oint p\,dA\;\;\text{over a closed cycle}
右式就是压强—面积图上回线围出的面积。弛豫只会降低能量，所以损失非负，一整轮循环里壁做的净功也非负。

来源：J. Guénolé

反复压几轮，堆积落进一个固定的循环

把同一个堆积在 0.775 和 0.86 之间来回压 5 轮。每个种子的第二轮，载荷都恰好在第一轮卸载时消失的那一步出现。

6 个种子里有 4 个，分别从第 2、2、3、4 轮起，压到 0.86 时圆盘位置与上一轮的均方根差小于事先定好的 10−610^{-6} 个小盘直径，多数只有 10−1310^{-13} 量级，就是浮点误差：堆积每一轮都回到同一个构型。另外 2 个，起点、消失点和最高压强已经逐轮相同，损失在 3 位有效数字内重复，但第 5 轮的位置仍比第 4 轮移动了 1.3×10−41.3\times10^{-4} 和 5.2×10−45.2\times10^{-4} 个直径，5 轮内没有停下。

进入重复循环后，每轮的损失从第一轮的 7.7×10−37.7\times10^{-3} 到 2.0×10−2 ε2.0\times10^{-2}\,\varepsilon 降到 3.0×10−33.0\times10^{-3} 到 4.9×10−3 ε4.9\times10^{-3}\,\varepsilon。这些损失有一部分来自有限步长，我们没有把它和重新排列的损失分开。这是本课程自己的数值结果，只适用于这个协议和这几个种子。

剪切的记忆：反过来剪还撑得住吗

Zhao 等人用同样的“走回头路”检验剪切堵塞。图 2(d) 是 ϕ=0.781\phi=0.781 的一次测试：先正向剪切到最大应变 γmax⁡\gamma_{\max}，再反向剪切，记录压强。图 2(e) 把反向剪切中的最低压强画成 γmax⁡\gamma_{\max} 的函数。

正向剪切不够时，反向一剪，压强就掉到 0.3 N/m 的噪声阈值以下：力网络只记得原来的方向，是脆弱态。正向剪切超过某个最小应变 γSJ\gamma_{SJ} 后，反向剪切时压强一直高于阈值，这才算剪切堵塞。最小应变随堆积分数降低而增大。在 0.74 时，剪到稳态也得不到剪切堵塞；在 0.75 时，所需应变约等于到达稳态的应变，作者用一个在下限处发散的公式拟合，同时写明数据里看不清这个发散；下限定在 ϕSJ=0.745±0.005\phi_{SJ}=0.745\pm0.005。

来源：Y. Zhao · D. Bi

完整例题：读一份重复循环的记录

种子 2732 的 5 轮记录如下（堆积分数、压强以 ε/d2\varepsilon/d^2 计，损失以 ε\varepsilon 计）。这里的起点和消失点指第一个和最后一个有载荷的步。第 1 轮：起点 0.8054，消失点 0.8094，最高压强 0.01742，损失 8.98×10−38.98\times10^{-3}。第 2 轮：起点 0.8094，消失点 0.8114，最高压强 0.01613，损失 9.74×10−39.74\times10^{-3}，峰值构型相对上一轮移动 0.173 个直径。第 3 轮起：起点、消失点都是 0.8114，最高压强 0.01613，损失 4.85×10−34.85\times10^{-3}，峰值构型移动 5.5×10−145.5\times10^{-14} 个直径。

第一步，看起点是否等于上一轮的消失点：第 2、3 轮都是，说明卸载留下的构型就是下一轮的起点。第二步，看峰值构型的移动：第 2 轮还移动了 0.173 个直径，说明压紧过程中仍有圆盘换位；第 3 轮只有 10−1410^{-14} 的量级，是浮点误差，构型已经重复。第三步，看损失：重复后每轮 4.85×10−3 ε4.85\times10^{-3}\,\varepsilon，平均每个圆盘 3.8×10−5 ε3.8\times10^{-5}\,\varepsilon。

结论：这个堆积在第 3 轮进入固定循环，判据是峰值构型的移动低于事先定好的百万分之一个直径。种子 2728 的起点、消失点和最高压强逐轮相同，构型却还在漂移，所以判据要比较位置，而不只比较压强。

到实验里试一试

比较载荷出现和消失的位置

  1. 先预测：卸载时载荷消失的堆积分数，比压缩时出现的高还是低？
  2. 播放默认预设，在“更多数值与计算方法”里读出本次循环的起点；再看压强图上卸载曲线回到零的位置，比较两者。
  3. 暂停后拖动盒角的把手，把盒子往里压过起点再拉回来，重复两次。看压强图上标着“你的路径”的曲线：第二次载荷出现的位置，与第一次消失的位置相比如何？

练习与解答

  1. 一轮循环从未堵塞出发，又回到未堵塞。为什么壁做的净功不可能为负？

    展开解答

    起止时储存的能量都是零，所以壁的净功等于整轮的弛豫损失。弛豫只沿能量下降的方向走，每一步的损失都不小于零，加起来也不小于零。

  2. 种子 2732 的记录显示，压缩时最后一个无载荷的步在 0.8033，第一个有载荷的步在 0.8054。真实的起点在哪个范围内？

    展开解答

    在 0.8033 和 0.8054 之间。要知道得更准，就在这个区间里减小步长重做。实验室给出的起点，是把这一步和下一步的压强连成直线外推到零，并且不低于上一步。

  3. Zhao 等人的反向剪切测试中，如果正向剪切的最大应变小于 γSJ\gamma_{SJ}，反向剪切时会看到什么？

    展开解答

    反向剪切过程中压强会在某处掉到 0.3 N/m 的噪声阈值以下：正向剪切形成的力网络只能承受同方向的载荷，反过来就松开了。如果正向剪切时压强已经高于阈值，论文把它叫作脆弱态；如果连正向剪切都没把压强建立起来，就是未堵塞态。

来源与复算范围

  1. C. S. O’Hern, L. E. Silbert, A. J. Liu and S. R. Nagel, Jamming at zero temperature and zero applied stress: the epitome of disorder, arXiv:cond-mat/0304421v1; Physical Review E 68, 011306 (2003)

    2003 年 4 月 17 日 v1。式 (1)：软球之间有限程的排斥势。第 II 节：从无穷高温的随机构型出发，在周期性盒子里用共轭梯度法求能量极小，并用能量判断是否未堵塞。图 5 至图 7 与式 (3)：堵住构型所占比例、堵塞阈值的分布，以及分布宽度随粒子数按 −0.55 次方减小。表 I：压强与接触数的指数和系数。图 20：二维堆积的力网络。我们用自己的程序复算了阈值宽度、压强指数和接触数指数；接触数指数在 128 个盘时没有复现。

  2. J. Guénolé, W. G. Nöhring, A. Vaid, F. Houllé, Z. Xie, A. Prakash and E. Bitzek, Assessment and optimization of the fast inertial relaxation engine (FIRE) for energy minimization in atomistic simulations and its implementation in LAMMPS, arXiv:1908.02038v4 (2020)

    2020 年 1 月 30 日 v4。算法 2：FIRE 2.0，含半隐式 Euler 积分，以及走上坡后退回半步的修正。表 1：本课程使用的默认参数。这篇只提供弛豫方法，与堵塞本身无关。

  3. D. Bi, J. Zhang, B. Chakraborty and R. P. Behringer, Jamming by shear, Nature 480, 355–358 (2011)

    只读了摘要。低于各向同性堵塞密度的带摩擦光弹圆盘，仅靠剪切形变就能经过脆弱态进入剪切堵塞态，力网络变得各向异性。课程只按摘要和 Zhao 等人（2019）的转述引用这一结论，没有读全文，也没有复算其数据。

  4. Y. Zhao, J. Barés, H. Zheng, J. E. S. Socolar and R. P. Behringer, Shear-jammed, fragile, and steady states in homogeneously strained granular materials, arXiv:1904.10051v2; Physical Review Letters 123, 158001 (2019)

    2019 年 8 月 14 日 v2。图 1(b)：21 个同心环组成的 Couette 剪切台，以每步 0.6% 的应变剪切 1447 到 2101 个双分散光弹圆盘（直径 1.59 cm 和 1.27 cm，摩擦系数 0.9）。图 2(d)、2(e)：用反向剪切区分脆弱态和剪切堵塞态，压强噪声阈值为 0.3 N/m。正文：能被剪切堵住的最小堆积分数为 0.745 ± 0.005，外推得到的无摩擦堵塞密度为 0.84 ± 0.02。这些是实验数据，我们只读图，没有复算。

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