怎样从接触力算出压强

二维里的应力和压强

二维里，力作用在线上而不是面上，所以应力的单位是力除以长度，即 $\varepsilon/d^2$。$\sigma_{xx}$ 是法向沿 $x$ 的那面壁上单位长度受到的推力，$\sigma_{yy}$ 同理。本课程取压应力为正，因为圆盘只会推。

压强取两个法向应力的平均：$p=(\sigma_{xx}+\sigma_{yy})/2$。若 $\sigma_{xx}\ne\sigma_{yy}$，或 $\sigma_{xy}\ne0$，堆积在不同方向上受力不同，第五章的剪切会用到这种各向异性。

来源：C. S. O’Hern

在堆积内部算应力

对每个接触，取分支矢量 $\mathbf b$：盘与盘接触时从圆心 $j$ 指向圆心 $i$，盘与壁接触时从壁上的接触点指向圆心。$\mathbf f$ 是这个接触推圆盘 $i$ 的力。接触只会推，$\mathbf f$ 与 $\mathbf b$ 同向，所以 $b_xf_x>0$，压应力自然为正。

Silbert 等人式 (12) 的应力还有一项速度涨落带来的动能部分。静止的堆积没有这一项，只剩接触部分。O’Hern 等人式 (2) 用同一个求和定义压强张量。

来源：L. E. Silbert · C. S. O’Hern

为什么它等于壁上的力

盒子宽 $L$、高 $H$，左壁在 $x=0$，右壁在 $x=L$。每个圆盘受力平衡，把它的 $x$ 方向平衡方程乘上它的坐标 $x_i$，再对所有圆盘求和，结果仍是零。

换个次序，按接触来加。盘与盘的接触在两个圆盘上各出现一次，力相反，合起来是 $(x_i-x_j)f_x=b_xf_x$。左壁的接触贡献 $x_if_x$，正好是 $b_xf_x$。右壁的接触贡献 $x_if_x=(x_i-L)f_x+Lf_x=b_xf_x+Lf_x$。

右壁上各接触的 $f_x$ 加起来，是右壁推圆盘的合力，等于 $-F_R$，$F_R$ 是圆盘推右壁的总力。于是所有接触的 $b_xf_x$ 之和等于 $LF_R$，除以面积 $LH$ 就得到 $F_R/H$：右壁单位长度上的力。

压强也是能量对面积的导数

把盒子和所有圆心按同一比例 $1+e$ 放大，面积变为 $A(1+e)^2$，增加 $dA=2Ae$。每个接触的圆心距离也乘 $1+e$，能量变化 $dU=\sum (dV/dr)\,r\,e=-\sum f\,r\,e$。

两式相除，$-dU/dA=\sum f r/(2A)$，正是上面的 $p$。这条关系让我们可以只看能量就检查压强：在 128 个圆盘的堆积上用中心差分算 $-dU/dA$，与接触应力的相对差不超过 $1.5\times10^{-7}$；接触应力与四面壁上的力相比，差别在 $10^{-12}$ 量级。

来源：C. S. O’Hern

完整例题：把三种算法对上

沿用第一章的两个圆盘：$R_1=0.5$，$R_2=0.7$，壁距 $L=2.39$，接触力 $f=4.59\times10^{-3}\,\varepsilon/d$。让盒子高 $H=1.5$，大盘碰不到上下壁。

壁上的力：$\sigma_{xx}=f/H=3.06\times10^{-3}\,\varepsilon/d^2$，$\sigma_{yy}=0$，所以 $p=1.53\times10^{-3}\,\varepsilon/d^2$。只在一个方向受压，压强只有 $\sigma_{xx}$ 的一半。

接触应力：三个分支矢量的 $x$ 分量依次是 $R_1-\delta_{1w}=0.4989$、$\sigma-\delta_{12}=1.1934$、$R_2-\delta_{2w}=0.6978$，加起来正好是 $L=2.39$。三个接触的力相同，所以 $\sum b_xf_x=fL$，除以 $LH$ 又得到 $f/H$。

能量导数：压缩时 $L$ 变小，三处重叠一起增加。用第一章的柔度，$U=\varepsilon(L_0-L)^2/(2\times2.18)$，其中 $L_0=2.4$。沿 $x$ 方向，$-dU/dL=f$，除以 $H$ 就是 $\sigma_{xx}$。