堵住的堆积需要多少个接触

未知量是接触力，方程是受力平衡

先把松动盘去掉，剩下 $N'$ 个承力圆盘，它们之间有 $N_c$ 个接触。无摩擦时每个接触只有一个未知量：沿圆心连线的力的大小 $f_c\ge0$ 。

每个圆盘在 $x$ 、 $y$ 两个方向上都要受力平衡，所以一共 $2N'$ 个方程。把所有接触力排成一列 $\mathbf f$ ，这些方程可以写成一个矩阵乘这列力等于零。矩阵的每个元素只是某个接触方向的余弦或正弦。

\sum_{c\,\ni\, i} f_c\,\hat{\mathbf n}_{c,i}=\mathbf 0\quad(i=1,\dots,N'),\qquad\text{i.e.}\quad \mathsf A\,\mathbf f=\mathbf 0

\hat{\mathbf n}_{c,i}

是接触

c

推圆盘

i

的方向。周期性盒子里没有外力：压强完全来自这组彼此平衡的内力。

来源：C. P. Goodrich

推出 2N′ − 1

周期性盒子里，所有圆盘的受力加在一起恒为零：每个接触对两个圆盘的力大小相等、方向相反，相加就抵消了。可见 $2N'$ 个方程中有两个是多余的，独立方程至多 $2N'-2$ 个。

压强为正，要求接触力不全为零。齐次方程组要有非零解，未知量必须比独立方程多至少一个，因此 $N_c\ge2N'-1$ 。这就是 Goodrich、Liu 和 Nagel 的式 (3)，他们从“体积模量为正”出发得到同一个数。

有壁的盒子不同。壁固定不动，圆盘受到的合力不必为零， $2N'$ 个方程全都独立，于是需要 $N_c\ge2N'+1$ 。这里的接触包括圆盘和壁的接触。实验室显示的“超出等静定的接触数”就是 $N_c$ 减去这个最少值。

N_c^{\min}=2N'-1\ \ (\text{periodic}),\qquad N_c^{\min}=2N'+1\ \ (\text{walls}),\qquad Z=\frac{2N_c}{N'}\;\ge\;4-\frac{2}{N'}

最后一式只对周期性盒子成立。

N'

趋于无穷时下限趋于 4，即二维无摩擦的等静定接触数

2d

。

来源：C. P. Goodrich · C. S. O’Hern

松动盘为什么要先去掉

第一章的练习说明，一个圆盘少于三个承力接触就无法平衡一般的力。把它去掉后，它的邻居可能也只剩两个接触，于是要一层层反复去掉，直到剩下的每个圆盘都至少有三个接触。剩下的部分称为承力骨架。

O’Hern 等人报告，堵塞点附近约 5% 的颗粒是松动盘。我们在周期性盒子里求了 4 种盘数、每种 24 个阈值堆积，各组松动盘的平均比例在 4.0% 到 5.0% 之间。数接触时如果把松动盘算进去， $N'$ 就偏大，接触数也会显得不够。

来源：C. S. O’Hern

完整例题：128 个盘刚堵住时的接触数

周期性盒子里放 128 个双分散圆盘，用第四章的协议找到刚堵住的状态。假设其中 6 个是松动盘（约 4.7%，与上面的比例相符），剩 $N'=122$ 。

按最少接触数， $N_c=2\times122-1=243$ ，平均接触数 $Z=2\times243/122=3.984$ 。这里乘 2 是因为每个接触属于两个圆盘。

与文献比较。O’Hern 等人表 I 给出二维双分散系统的 $Z_c=3.98\pm0.02$ ，与这个数吻合。我们的基准测试对 32 和 64 个盘的每个种子都得到恰好 $2N'-1$ 个接触；128 和 256 个盘时至多多出 1 个，因为找阈值的步长有限，保留的是刚越过阈值的第一个堵住状态。

来源：C. S. O’Hern · C. P. Goodrich

加上摩擦，数法就变了

有摩擦时，每个接触多了一个切向力，未知量变成 $2N_c$ ；每个圆盘多了一个力矩平衡方程，方程变成 $3N'$ 。于是 $Z\ge3$ ，即 $d+1$ 。Shundyak 等人指出，这让摩擦堆积的接触数可以落在 3 到 4 之间的任何地方，具体取决于制备方式。

摩擦力达到 Coulomb 上限的接触，切向力和法向力不再独立，又多了一个约束。第五章会用这条规则讨论剪切堵塞。

来源：K. Shundyak

到实验里试一试

数多出来的接触

先预测：刚过堵塞点和挤得很深时，“超出等静定的接触数”哪个更接近零？
选“刚刚堵住”，在挤得最紧的一帧读出超出的接触数和松动盘数；再选“深度挤压”读同样两个数。
打开“更多数值”，读出承力盘数 $N'$ ，自己算出 $2N'+1$ ，核对实验室显示的超出量。

练习与解答

有壁的盒子里有 $N'=100$ 个承力盘，其中 20 个接触在壁上。若接触数恰为最少值，盘与盘之间有多少个接触？按实验室的定义 $Z=(2N_{\mathrm{pair}}+N_{\mathrm{wall}})/N'$ ，平均接触数是多少？
展开解答
最少值 $2N'+1=201$ ，扣掉 20 个壁接触，盘与盘之间 181 个。 $Z=(362+20)/100=3.82$ ，低于 4：壁承担了一部分约束。
周期性盒子里 $N'=30$ 和 $N'=1000$ 时，刚堵住的平均接触数各是多少？
展开解答
分别是 $4-2/30=3.933$ 和 $4-2/1000=3.998$ 。小系统的接触数明显低于 4，这是 Goodrich 等人强调的有限尺寸修正。
三维无摩擦球和三维有摩擦球的等静定平均接触数各是多少？
展开解答
无摩擦时每个接触一个未知量、每个球三个方程， $Z=2d=6$ 。有摩擦时每个接触三个未知量（一个法向、两个切向），每个球六个方程（三个力、三个力矩）， $3N_c\ge6N$ ， $Z=2N_c/N\ge4=d+1$ 。

来源与复算范围

C. S. O’Hern, L. E. Silbert, A. J. Liu and S. R. Nagel, Jamming at zero temperature and zero applied stress: the epitome of disorder, arXiv:cond-mat/0304421v1; Physical Review E 68, 011306 (2003)
2003 年 4 月 17 日 v1。式 (1)：软球之间有限程的排斥势。第 II 节：从无穷高温的随机构型出发，在周期性盒子里用共轭梯度法求能量极小，并用能量判断是否未堵塞。图 5 至图 7 与式 (3)：堵住构型所占比例、堵塞阈值的分布，以及分布宽度随粒子数按 −0.55 次方减小。表 I：压强与接触数的指数和系数。图 20：二维堆积的力网络。我们用自己的程序复算了阈值宽度、压强指数和接触数指数；接触数指数在 128 个盘时没有复现。
C. P. Goodrich, A. J. Liu and S. R. Nagel, Finite-size scaling at the jamming transition, arXiv:1204.4915v3; Physical Review Letters 109, 095704 (2012)
2012 年 6 月 6 日 v3。式 (2)：除整体平移外不留任何零模所需的接触数。式 (3)：要有正的体积模量，还得再多一个接触，所以二维周期性盒子里 N 个盘至少要 2N − 1 个接触。式 (4)、(5)：相应的最少接触数。正文讨论低压时常见幂律失效的有限尺寸交叉。我们在自己生成的阈值堆积上核对了 2N − 1。
K. Shundyak, M. van Hecke and W. van Saarloos, Force mobilization and generalized isostaticity in jammed packings of frictional grains, arXiv:cond-mat/0610205v1; Physical Review E 75, 010301(R) (2007)
2006 年 10 月 7 日 v1。开头几段：有摩擦时，等静定接触数从 2d 降到 d + 1。式 (1) 与图 1：摩擦力恰好达到 Coulomb 上限的“完全动员”接触，每个多出一个约束，所以每个颗粒上这类接触数至多为 z 减 d + 1。图 2：动员程度的分布分成上限处的一个峰和其下的一段平台。我们没有复算他们的模拟。