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Sandbox Physics
颗粒与堵塞

L4 · 第 7 章

剪切下的堆积，下一次会在哪里滑移

Sandbox Physics ·

把一个堵塞堆积的顶部一点一点往旁边推，剪应力平稳上升，然后突然下跌，几个盘滑了出去。滑移之前，盘的位置看不出任何征兆，振动却有：滑移临近时，有一种集体运动的刚度按剩余应变的平方根一路降到零。在最软的几种运动里动得越多的盘，越可能滑出去，命中率接近随机挑的三倍。

慢慢剪：平稳加载，突然滑移

准静态剪切每一步把周期单元的顶部横移一个很小的应变，这里取 2×10−42\times10^{-4}，然后让圆盘弛豫到最近的能量极小值，再走下一步。没有惯性，也没有温度：堆积始终待在某个极小值里，剪切只是慢慢改变这个极小值的形状。只要它还在，应力就沿一条光滑曲线上升，这一步也能撤回：反向剪回去，每个承载盘都回到原位。

滑移就是这个极小值消失的时刻。圆盘落进另一个极小值，应力下跌，这一步再也撤不回来。在我们 64 个 Hertz 圆盘、ϕ=0.90\phi=0.90 的堆积里，平稳段的应变中位数是 0.0098，一次滑移中动得最多的盘中位跳动约 0.1 个小盘直径。为了把滑移定位到 10−910^{-9} 的应变以内，撤不回来的那一步会被一再对半切分，直到区间足够窄。

来源：C. E. Maloney and A. Lemaître

为什么总有一个模先变软

沿着即将失稳的那一种集体运动展开能量，坐标记为 ss。在滑移附近，起作用的最低阶项是 ss 的三次项，加上一项随剪切逐渐消失的倾斜。只留这两项，就得到这个模的刚度：

U(s)≈U0+b (γc−γ) s−a3 s3,λmin⁡=U′′(s∗)=2ab (γc−γ)1/2U(s)\approx U_0+b\,(\gamma_c-\gamma)\,s-\frac{a}{3}\,s^{3},\qquad \lambda_{\min}=U''(s_*)=2\sqrt{ab}\,(\gamma_c-\gamma)^{1/2}
当 γ<γc\gamma<\gamma_c 时，s∗=−b(γc−γ)/as_*=-\sqrt{b(\gamma_c-\gamma)/a} 处是极小值，+b(γc−γ)/a+\sqrt{b(\gamma_c-\gamma)/a} 处是鞍点。二者在 γ=γc\gamma=\gamma_c 相遇，极小值处的曲率，也就是这个模的刚度，按平方根趋于零。Maloney 与 Lemaître 把这种失稳称为折叠（fold）。

来源：C. E. Maloney and A. Lemaître

平方根在离滑移多近处成立

只有剩余应变很小时，才是平方根。在我们的 Hertz 堆积里，log⁡λmin⁡\log\lambda_{\min} 对 log⁡(γc−γ)\log(\gamma_c-\gamma) 的局部斜率，在 3×10−83\times10^{-8} 到 3×10−73\times10^{-7} 之间，288 次滑移的中位数是 0.475；在 10−510^{-5} 到 10−410^{-4} 之间只有 0.254，那里展开式的其他项还没有退场。

谐振接触不一样。谐振接触的刚度与重叠多少无关，接触张开的瞬间才一下子掉到零。换成谐振接触，最低刚度往往一直平稳，直到滑移才骤降：只有 12% 的滑移是逐渐变软的，Hertz 接触是 98%。

从振动里读出软点

每种集体运动的刚度来自动力学矩阵，即能量对圆盘位置的二阶导数。它的本征矢 em\mathbf e_m 是振动模，本征值 λm\lambda_m 是对应的刚度。先去掉没有承载接触的松动盘，否则每个松动盘都会多出一个刚度为零的模。

Manning 与 Liu（2011）剪切了 2500 个 Hertz 圆盘，ϕ=0.95\phi=0.95。他们从最软的 30 个模里，各取动得最多的 20 个颗粒，拼成一块块“软点”，约占全部颗粒的十分之一。每次重排都落在某一个软点上；他们图 2 的例子，重合分数是 0.64。软点处的接触数比其余部分少 6%，自由体积多 103%，可单凭这些局部量找不到这些软点。

Hiα,jβ=∂2U∂riα ∂rjβ,Pi=∑m=1Nm∣em,i∣2H_{i\alpha,j\beta}=\frac{\partial^{2}U}{\partial r_{i\alpha}\,\partial r_{j\beta}},\qquad P_i=\sum_{m=1}^{N_{\mathrm m}}\left|\mathbf e_{m,i}\right|^{2}
PiP_i 衡量盘 ii 在最软的 NmN_{\mathrm m} 个模里动得有多厉害。PiP_i 最大的 kk 个盘就是预测。

来源：M. L. Manning and A. J. Liu

在没见过的堆积上盲测

我们在更小的堆积上用更简单的分数重做这件事。每个平稳段开始时，点名 PiP_i 最大的 k=6k=6 个盘。滑移之后，非仿射跳动最大的 6 个承载盘算作移动盘。命中比例 hh 是点名的盘里有多少是移动盘。另外两种简单猜法用同样的方式打分：承载接触最少的 6 个盘，和局部压强最低的 6 个盘。

模的个数只在 8 个训练堆积（96 次滑移）上选：1 个模和 2 个模得分 0.276 和 0.278，模越多得分越低，于是取 Nm=2N_{\mathrm m}=2。然后在另外 16 个堆积上跑出 192 次测试滑移。最软的两个模点中了 26% 的移动盘，“接触最少”18%，“压强最低”15%，随机 9%。逐次相减，软模比“接触最少”平均多 0.080，标准误 0.014。192 次里有 44 次，软模一个移动盘也没点中。

这些堆积很小：64 个盘，Manning 与 Liu 用的是 2500 个；我们的分数也不是他们的重合分数，两组百分比不能直接比。更密的堆积（ϕ=0.95\phi=0.95）得 28%，谐振接触也得 28%，随机始终是 9%。

h=∣P∩R∣k,⟨h⟩chance=∣R∣N′h=\frac{\left|\mathcal P\cap\mathcal R\right|}{k},\qquad \langle h\rangle_{\text{chance}}=\frac{\left|\mathcal R\right|}{N'}
在 N′N' 个承载盘里随机挑 kk 个，每个移动盘被挑中的概率是 k/N′k/N'，所以平均得分是 ∣R∣/N′\left|\mathcal R\right|/N'。

来源：M. L. Manning and A. J. Liu

完整例题：给一次滑移打分

打开实验室的默认预设，第一次滑移发生在 γc=0.006934\gamma_c=0.006934。64 个盘全部承载，所以 N′=64N'=64。平稳段开始时，最软的两个模点名了 62、36、26、22、23、12 号盘。跳动最大的 6 个盘是 36、10、62、28、60、26 号，最大跳动 0.291 个直径。剪应力从 2.49×10−42.49\times10^{-4} 跌到 −1.53×10−4 ε/d2-1.53\times10^{-4}\,\varepsilon/d^{2}。

第一步，命中比例：62、36、26 号同时出现在两张名单里，h=3/6=0.5h=3/6=0.5。“接触最少”（26、32、62、28、12、48）也中了 3 个，“压强最低”（26、12、1、25、32、39）只中 1 个。

第二步，随机基线：⟨h⟩=6/64=0.094\langle h\rangle=6/64=0.094。随机挑 6 个盘、至少中 3 个的概率按下式算出来不到 1%。单次滑移碰巧到这个程度很少见，但“接触最少”这次也中了 3 个，一次滑移排不出高下，所以测试要平均 192 次。

第三步，逼近过程：滑移前 3×10−83\times10^{-8} 处最低刚度是 1.44×10−61.44\times10^{-6}，3×10−73\times10^{-7} 处是 5.60×10−65.60\times10^{-6}，局部斜率 log⁡10(5.60/1.44)=0.59\log_{10}(5.60/1.44)=0.59。再往外一个十倍，到 3×10−63\times10^{-6} 处的 1.73×10−51.73\times10^{-5}，斜率是 0.49。两段都接近折叠给出的二分之一。

Pr⁡ ⁣(h≥12)=∑j=36(6j)(586−j)(646)=642 26474 974 368≈0.0086\Pr\!\left(h\ge\tfrac12\right)=\frac{\sum_{j=3}^{6}\binom{6}{j}\binom{58}{6-j}}{\binom{64}{6}}=\frac{642\,264}{74\,974\,368}\approx 0.0086
超几何分布：64 个盘里有 6 个移动盘，随机抽 6 个，中 jj 个的组合数是 (6j)(586−j)\binom{6}{j}\binom{58}{6-j}。

到实验里试一试

自己给软模打分

  1. 先预测：带绿圈的 6 个盘，会不会就是滑出去的那几个？
  2. 播放“软点先垮”。第一次滑移时，数一数有几个绿圈盘同时带上了琥珀色圈，再把刚度图上的曲线和虚线参考线比一比。
  3. 让它跑十几次滑移，比较软模柱、随机柱和测试堆积记录下来的白线。再把“用于预测的软模个数”调到 16，重跑一遍。
  4. 选“弹簧接触不预警”，看滑移前的刚度图有什么不同。

练习与解答

  1. 例题中，滑移前 3×10−63\times10^{-6} 处的最低刚度是 1.73×10−51.73\times10^{-5}。如果严格按平方根下降，3×10−83\times10^{-8} 处应是多少？和实测的 1.44×10−61.44\times10^{-6} 比一比。

    展开解答

    剩余应变小 100 倍，刚度小 10 倍，应为 1.73×10−61.73\times10^{-6}。实测值低约 17%，与最后一个十倍里略陡的局部斜率 0.59 一致。

  2. 一个 64 盘的堆积有 4 个松动盘，6 个移动盘都承载。随机挑 6 个承载盘，平均命中比例是多少？为什么基线不按 64 个盘算？

    展开解答

    6/60 = 0.1。预测和移动盘都只在承载盘里选，基线也必须在同一个集合里算；按 64 个盘算会把基线压到 6/64≈0.0946/64\approx0.094，让每种猜法都显得更好。

  3. 为什么换成谐振接触，最低刚度几乎不给逐渐变软的预警？

    展开解答

    谐振接触的二阶导数 V′′=ε/σ2V''=\varepsilon/\sigma^{2} 与重叠多少无关，一对盘直到重叠为零都保持全部法向刚度，然后一下子什么也不贡献。滑移若由接触张开触发，刚度就是骤降而不是平方根。Hertz 接触的刚度随重叠的平方根增长，接触张开时它是平滑地淡出的。

  4. 模的个数在训练堆积上选，在别的堆积上打分。如果直接在测试滑移上挑，会出什么问题？

    展开解答

    在同一批滑移上从 6 个候选里挑最好的，会偏向碰巧在这批滑移上走运的那个，报出的分数系统偏高。分开的测试堆积给出公平的估计。这里 1 个模和 2 个模在训练集上几乎打平，所以挑哪个本身影响不大。

来源与复算范围

  1. C. E. Maloney and A. Lemaître, Amorphous systems in athermal, quasistatic shear, arXiv:cond-mat/0510677v2; Physical Review E 74, 016118 (2006)

    2005 年 10 月 28 日 v2。第 IV 节：能量极小值与鞍点合并时，弹性段就到了尽头。式 (9)、(10)：沿临界模的位移按剩余应变的平方根增长。图 5(b)：动力学矩阵的最低本征值随事件前剩余应变按平方根减小。我们在自己的剪切堆积上检验了这个平方根趋近。

  2. M. L. Manning and A. J. Liu, Vibrational modes identify soft spots in a sheared disordered packing, arXiv:1012.4822v1; Physical Review Letters 107, 108302 (2011)

    2010 年 12 月 21 日 v1。2500 个 Hertz 圆盘，堆积分数 0.95，准静态剪切。图 2：取最低 30 个振动模中各自位移最大的 20 个颗粒，拼成“软点”。式 (1)：软点与下一次重排的重合分数；图 2 的例子得分 0.64。图 4(a)：最佳软点的得分随事件前剩余应变的变化。正文：软点处接触数少 6%，自由体积多 103%，但单靠这些局部量找不到它们。课程的盲测用更小的堆积和自己选定的阈值。

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