FR27 · 压缩与卸载

堵塞转变：挤压软圆盘

一盒松散的圆盘，挤到多密时会突然顶住？ 盒子里的松散软圆盘起初对壁毫无推力，直到某个堆积分数，它们突然锁成一张能平衡所有力的网。这发生在接触数刚好多过受力平衡方程数的时候。再往里挤，对弹簧型接触，压强与多挤的量成正比。128 个大小两种的圆盘在有壁的盒子里，这个起点约在堆积分数 0.79 到 0.81 之间。

在盒子里挤压 128 个软圆盘，看它们堵塞的一刻力链如何出现；压强、每盘接触数和壁面受力都来自同一个堆积。

堆积分数 $0.795$

壁面压强 $0\,\varepsilon/d^{2}$

每盘接触数 $0$

超出等静定的接触数 $0$

挤压盒子

最大堆积分数

0.86

\phi_{\max}

大小盘直径比

1.4

d_{\mathrm L}/d_{\mathrm S}

圆盘数

128

N

接触定律指数

2

\alpha

拖动亮色壁的角，亲手挤压或放松盒子。

随机初态

随机初态的种子

2727

模型、单位与来源

$d=1,\quad \varepsilon=1,\quad m=1,\quad [p]=\varepsilon/d^{2}$

压应力取正。每一步把盒子和所有圆心按同一比例缩放，再用 FIRE 弛豫，直到最大净力小于 $10^{-10}\,\varepsilon/d$ 。压强低于 $10^{-6}\,\varepsilon/d^{2}$ 视为无负载。

O’Hern, Silbert, Liu & Nagel (2003), Eq. 1, Table I · Goodrich, Liu & Nagel (2012), Eq. 3 · Guénolé et al. (2020), FIRE 2.0

推导堵塞从哪里开始、压强怎样增长

模型假设

模型是无摩擦的二维圆盘，一半直径为 1，一半为 1.4，只在重叠时按谐振或 Hertz 定律互相排斥。每次稍微改变盒子大小后，都让堆积弛豫到受力平衡，因此不含惯性、重力、摩擦和转动。承载接触少于三个的盘称为松动盘（rattler），不参与承载。有壁的盒子和较少的盘数会改变起点，所得数值不适用于真实的沙子。

循环中的壁面压强

每个承载盘的接触数

当前堆积中的接触力

更多数值与计算方法

接触应力与壁面压强之比: $0$
每盘储存的能量: $0$
松动盘: $0$
承载盘: $0$
平均局部六重序: $0$
本次循环的堵塞起点: $0$
整个循环中壁做的净功: $0$
整个循环中弛豫损失的能量: $0$
本步的弛豫迭代次数: $0$
圆盘数: $0$
种子: $0$

虚线是同一批承载盘在恰好有 $2N'+1$ 个接触（保留与壁的接触）时的接触数。壁的净功用每个仿射步上压强的梯形积分求得；在闭合循环上，它应与弛豫损失相差不过几个百分点。

物理教程

一堆学会顶回来的圆盘

背景盒子里的松散圆盘可以彼此滑开，壁上感觉不到力。再把盒子挤小一点，到某个堆积分数时，圆盘忽然锁成一张网，开始推所有的壁。

为什么值得理解沙子、玻璃珠和泡沫都会从能流动变成能承载。无摩擦圆盘是最干净的版本：只有一条接触定律，没有重力和摩擦。它能显示载荷怎样由稀疏的力链承担，以及这张网为何稀疏到受力平衡所允许的极限。

先抓重点

核心问题: 一盒松散的圆盘，挤到多密时会突然顶住？
一句话直觉: 当接触数刚好够平衡每个力时，堵塞发生。此刻压强从零起步，对谐振接触按线性增长；超出等静定数的接触也从零开始增加。卸载会把它解开，但堵住的具体状态取决于走过的路径。

核心数学模型

接触定律

V(r)=\frac{\varepsilon}{\alpha}\left(1-\frac{r}{\sigma_{ij}}\right)^{\alpha},\qquad r<\sigma_{ij}=R_i+R_j

圆盘只在重叠时互相排斥。 $\alpha=2$ 是谐振弹簧， $\alpha=5/2$ 是 O’Hern 等人（2003）使用的 Hertz 定律。

数接触

N_{\mathrm{iso}}=2N'+1\ \ (\text{walled box}),\qquad N_{\mathrm{iso}}=2N'-1\ \ (\text{periodic cell})

每个承载盘（共 $N'$ 个）有两个受力平衡方程。要承受正压强，接触数还得比需要确定的未知量多一个（Goodrich、Liu 与 Nagel，2012）。

由接触求应力

\sigma_{ab}=\frac{1}{A}\sum_{\text{contacts}} b_a f_b,\qquad p=\tfrac12\left(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}\right)

分支矢量 b 连接两个圆心，或从壁连到圆心。受力平衡时，这个内部估计等于每面壁上单位长度的力，实验室每一步都核对这一点。

堵塞之上的标度

p\propto(\phi-\phi_c)^{\alpha-1},\qquad Z-Z_c\propto(\phi-\phi_c)^{1/2}

O’Hern 等人（2003）在大的周期性堆积中给出这些指数。128 个盘时，压强定律能复现；接触数指数偏陡，这是有限尺寸效应。

常见难点

堵塞就是挤得很紧

容易误解堵住的堆积里已经没有空隙。

正确理解刚堵住时，盒子里仍有约五分之一的面积是空的，还有几个盘在笼子里晃。变化在于出现了一张连通的网，能平衡所有的力。

力会平均分摊

容易误解每个盘承担的载荷差不多。

正确理解力分得很不均匀。默认循环挤到最紧时，约四分之一的接触承受的力不到平均值的一半，最强的接触约为平均值的三倍。舞台下方的力直方图显示了这种分布。

动手实验

01
看起点
播放“穿过堵塞点”，看盒子的角向内移动。
你会看到： 直到第一批力链横跨盒子之前，壁上都没有力。之后压强曲线离开零点并持续上升。
02
数多余的接触
选“刚刚堵住”，再与“深度挤压”比较超出等静定的接触数。
你会看到： “刚刚堵住”挤到最紧时，只多出约十个接触，还有四个松动盘；“深度挤压”挤到最紧时多出约六十个，一个松动盘也没有。
03
亲手挤
把活动壁角上的把手向里拖，再拖回来。
你会看到： 你的路径以绿色画在压强图上。往回拖时，载荷消失的堆积分数通常比压进去时载荷出现的堆积分数高。