几何弹性 · 折纸力学

Kresling 折纸单元

一个扭转的折纸圆筒，为什么一压就咔嗒合上，而且合上后不再弹开？ Kresling 单元是折成斜三角形的纸筒，往下压时它也会扭转，折痕在途中被拉长。如果单元能到达另一个所有折痕都恢复原长的形状，它就会自己收进这个折叠形状并停在那里；没有这样的形状时，它会弹回原形，或者一直折到上下两板相碰。起始扭转角为直角的单元，最初几乎不抵抗压缩。

Kresling 单元是折成斜三角形的圆筒，往下压时它也会扭转。按下顶板：双稳态单元先抵抗，然后自己收进一个没有折痕被拉长的折叠状态；单稳态单元则弹回原形。静止高度和扭转角与解析给出的第二个状态对照。

没有折痕被拉长的形状数 $2$

被压过的单元最终静止的高度 $49.2\,\mathrm{mm}$

静止时顶板的扭转角 $100^{\circ}$

最初受压时的刚度 $0.853\,nk$

模型假设

单元采用 Yasuda、Tachi、Lee 与 Yang（Nat. Commun. 8, 962, 2017）的桁架模型：两个外接圆半径 90 mm 的正五边形由十条折痕相连，每条折痕是劲度为 k 的线性弹簧，能量取自他们方法部分的式 1 和式 2，不含校准角。面板不承受任何载荷，画出来只是为了看清折叠。顶板取单位质量、均匀圆盘的转动惯量和黏性阻尼，这些都是本实验的假设，所以时间以质量与 k 之比的平方根为单位；两块板相距 9 mm 时由硬接触挡住；能量随缩短一路下降的单元会停在这个接触上。论文给出的零刚度单元刚度是单稳态和双稳态单元的 0.26% 和 0.18%，本模型给出 0.11% 和 0.080%。论文的第四个原型会发生分岔，这里没有收入：不含校准角时，本模型中它的无扭转分支一直稳定。

越亮能量越高。绿色是能量谷，即每个压缩量下的最低能量；黄色是单元走过的路径，蓝色是你的按压；米色圆圈是解析给出的无应力状态。

更多读数与保存的记录

第二个无应力状态的高度（解析）

49.2\,\mathrm{mm}

第二个无应力状态的扭转角（解析）

100^{\circ}

夹具松手时的压缩量

0.233\,h_{0}

压入途中的最高储存能量

0.0221\,k h_{0}^{2}

扭转被固定时最初受压的刚度

1.65\,nk

谷折痕的原长

150\,\mathrm{mm}

峰折痕的原长

186\,\mathrm{mm}

顶板的阻尼比

0.1

JSON 记录包含参数、带夹具力的模拟路径、能量谷，并单独列出解析的第二个状态与刚度以及文献中的原型。

先抓重点

核心问题: 一个扭转的折纸圆筒，为什么一压就咔嗒合上，而且合上后不再弹开？
一句话直觉: 十条折痕只有两种长度，两个方程确定两个未知量：高度和扭转角。所以单元要么有第二个无应力形状，要么没有。如果有，储存的能量在压入途中先升后降、到那里回到零，单元就咔嗒一声收进去并停住；如果没有，单元会弹回，除非它的能量一路下降到两板相碰。第二个形状与第一个重合的地方，最初的按压几乎不受阻力。

核心数学模型

折痕长度与储存能量

a^{2}=H^{2}+4R^{2}\sin^{2}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}-\frac{\pi}{2n}\Bigr),\quad b^{2}=H^{2}+4R^{2}\sin^{2}\!\Bigl(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{2n}\Bigr),\quad U=\frac{nk}{2}\bigl[(a-a_{0})^{2}+(b-b_{0})^{2}\bigr]

设高度 $H=h_{0}-u$ 、扭转角 $\theta=\theta_{0}+\varphi$ ，谷折痕 $a$ 和峰折痕 $b$ 由两个外接圆半径为 $R$ 的多边形确定（Yasuda 等，方法部分式 1 和式 2，不含校准角）。 $2n$ 条折痕各是一根劲度为 $k$ 的弹簧。

第二个无应力状态

\varphi_{2}=\pi-2\theta_{0},\qquad H_{2}^{2}=h_{0}^{2}+4R^{2}\Bigl[\sin^{2}\!\Bigl(\frac{\theta_{0}}{2}-\frac{\pi}{2n}\Bigr)-\cos^{2}\!\Bigl(\frac{\theta_{0}}{2}+\frac{\pi}{2n}\Bigr)\Bigr]

由于 $b^{2}-a^{2}=4R^{2}\sin\theta\,\sin(\pi/n)$ ，两种折痕只有在 $\sin\theta=\sin\theta_{0}$ 时才能同时回到原长，由此得到第二个扭转角；再由 $a=a_{0}$ 得到高度。当 $H_{2}^{2}>0$ 时这个状态存在。对 $h_{0}=150\,\mathrm{mm}$ 、 $\theta_{0}=40^{\circ}$ ，它在 $H_{2}=49.2\,\mathrm{mm}$ 、 $\varphi_{2}=100^{\circ}$ 。

最初受压时的刚度

k_{\mathrm{ax}}=nk\,\frac{\bigl(a_{u}b_{\varphi}-a_{\varphi}b_{u}\bigr)^{2}}{a_{\varphi}^{2}+b_{\varphi}^{2}},\qquad k_{\mathrm{ax}}=0\iff\theta_{0}=\frac{\pi}{2}

让扭转角自由放松时，刚度等于能量 Hessian 的行列式除以其扭转分量；下标表示在静止状态处求导。当 $\sin 2\alpha_{0}=\sin 2\beta_{0}$ ，即 $\theta_{0}=\pi/2$ 时，括号为零，与高度、半径、边数和 $k$ 都无关，和论文的结论一致。此时第二个状态与第一个重合，能量随压缩量的四次方增长。

常见难点

没有任何锁扣

容易误解折叠后的单元合着不开，是因为折痕卡住了或摩擦力在撑着。

正确理解这个模型里没有锁扣，也没有摩擦。折叠状态是另一种让所有折痕都处于自然长度的几何，没有剩余的储存能量把单元顶开。

零刚度不等于没有强度

容易误解初始刚度为零的单元会直接塌下去。

正确理解只是力的最初斜率为零。在起点附近，能量随压缩量的四次方而不是平方增长；再往里压，能量迅速上升，所以单元被压进去之后仍能承载。

模型省略了什么

容易误解真实的纸质单元和这个桁架完全一样。

正确理解单元采用 Yasuda、Tachi、Lee 与 Yang（Nat. Commun. 8, 962, 2017）的桁架模型：两个外接圆半径 90 mm 的正五边形由十条折痕相连，每条折痕是劲度为 k 的线性弹簧，能量取自他们方法部分的式 1 和式 2，不含校准角。面板不承受任何载荷，画出来只是为了看清折叠。顶板取单位质量、均匀圆盘的转动惯量和黏性阻尼，这些都是本实验的假设，所以时间以质量与 k 之比的平方根为单位；两块板相距 9 mm 时由硬接触挡住；能量随缩短一路下降的单元会停在这个接触上。论文给出的零刚度单元刚度是单稳态和双稳态单元的 0.26% 和 0.18%，本模型给出 0.11% 和 0.080%。论文的第四个原型会发生分岔，这里没有收入：不含校准角时，本模型中它的无扭转分支一直稳定。

动手实验

01
看单元咔嗒合上
从“双稳态单元咔嗒合上”开始，看一个完整过程。
你会看到： 夹具缓慢下压，顶板随之扭转。压缩到 $0.233\,h_{0}$ 时，要保持住就得往上拉，于是夹具松手，单元自己收进去，停在 49.2 mm、100° 处，正是解析给出的第二个状态，所有折痕都回到自然长度。
02
换一个合不住的单元
选“单稳态单元弹回原形”，高 90 mm，起始扭转角 46°。
你会看到： 夹具一直压到 $0.4\,h_{0}$ ，单元始终没有自己往里收。松开后弹回 90 mm：不存在第二个无应力形状，所以沿能量谷能量只升不降。
03
找到柔软的起点
选“起初几乎没有刚度”，起始扭转角 92°。
你会看到： 最初的按压只遇到 $6.86\times10^{-4}\,nk$ 的刚度，是双稳态单元的 0.080%。第二个无应力状态只比起点高 3.2 mm、相差 4°；起始扭转角为 90° 时两者重合。
04
把它几乎折平
选“勉强双稳：几乎折平”，高 145 mm。
你会看到： 高度只少了 5 mm，第二个状态就从 49.2 mm 降到 30.7 mm。单元仍然咔嗒合上并停住，只是扁了许多。
05
找到第三种结局
选“一路压扁到底”，高 140 mm，起始扭转角 30°。
你会看到： 这个单元没有第二个无应力形状，却也不弹回。它越短能量越低，于是一路塌到两板相距 9 mm 处相碰，并被压在那里，峰折痕仍被拉长 5.3%。
06
亲手按压
把顶板上的黄色把手往下拖，然后松手。
你会看到： 松手太早，单元会弹回去；压过能量谷的最高点，它就自己收进去。你的路径以蓝色画在能量图上。

Kresling 折纸单元

一个折纸圆筒怎么会有两个静止形状？

核心数学模型

折痕长度与储存能量

第二个无应力状态

最初受压时的刚度

常见难点

没有任何锁扣

零刚度不等于没有强度

模型省略了什么

动手实验

看单元咔嗒合上

换一个合不住的单元

找到柔软的起点

把它几乎折平

找到第三种结局

亲手按压

相关实验与文章

几何弹性：薄结构怎样弯曲、屈曲和突跳