L2 · 第 3 章

把拱一路按下去，直到它突跳

刀片在设定的位置上按住拱的中点，它感到的力先升后降。浅拱保持对称，被一直压平；深拱一旦 $d/S>80.76$ ，就会在临界力 $129.53\,(d-80.76\,S)^{1/2}$ 处歪成 S 形，此后力与中点高度成正比地下降。两种情况下，中点回到两夹具连线时，力恰好降到零。刀片不能往回拉，于是薄条在那里离开刀片，跳成反向的拱。

Sandbox Physics · 2026-10-30

刀片控制的是位置，不是力

刀片按在中点 $x=0$ ，把那里的高度 $w_{0}$ 保持在设定值。它需要多大的力 $f$ （以 $B/L^{2}$ 为单位，向下推为负），是要求的答案之一。Pandey 等人（2014）把这叫作位移控制。挂一个重物是另一个极端： $f$ 固定， $w_{0}$ 随之变化。

刀片每到一个位置，薄条都处于平衡，所以第二章的静力梁方程依然成立，只是多了一个以 delta 函数表示的集中力。离开刀片处，解是 $1$ 、 $x$ 、 $\cos\tau x$ 、 $\sin\tau x$ 的组合；集中力体现为三阶导数在 $x=0$ 处跳变 $f$ 。

\frac{d^{4}w}{dx^{4}}+\tau^{2}\frac{d^{2}w}{dx^{2}}=f\,\delta(x),\qquad w\Bigl(\pm\tfrac12\Bigr)=w'\Bigl(\pm\tfrac12\Bigr)=0

对称分支

两侧相同的形状，只需在 $0<x<\tfrac12$ 上求解，条件是 $w'(0)=0$ 和 $w'''(0^{+})=f/2$ 。方程是线性的，所以形状等于 $f$ 乘一个只依赖 $\tau$ 的固定轮廓。把单位力对应的中点高度记作 $G(\tau)$ ，单位力平方对应的斜率积分记作 $J(\tau)$ 。

胡克定律于是写成 $S\tau^{2}=d-\tfrac12f^{2}J(\tau)$ ，每个载荷对应一个力。刀片往下走， $\tau$ 从欧拉值 $2\pi$ 一路升向平直受压薄条的载荷 $(d/S)^{1/2}$ ，到那里 $f$ 和 $w_{0}$ 同时为零。力从零升起又回到零，中间必有一个峰值。

f=-\Bigl[\frac{2\,(d-S\tau^{2})}{J(\tau)}\Bigr]^{1/2},\qquad w_{0}=f\,G(\tau),\qquad 2\pi<\tau<\Bigl(\frac{d}{S}\Bigr)^{1/2}

深拱的扭转分支

夹紧薄条还有第二个欧拉形状，关于中点反对称： $\sin\tau x-2x\sin(\tau/2)$ 。它在 $\tan(\tau/2)=\tau/2$ 时满足夹紧条件，第一个根是 $\tau_{\max}=8.9868$ ，即 $\tau_{\max}^{2}=80.76$ 。这个反对称形状不改变中点的位置，刀片拦不住它。

如果 $d/S$ 超过 80.76，载荷会在薄条被压平之前先到达 $\tau_{\max}$ 。此后，在同一载荷下可以叠加任意多的反对称形状，它吸收掉胡克定律不再允许对称部分保留的长度。载荷停在 $\tau_{\max}$ ，力就是 $w_{0}/G(\tau_{\max})$ ：一条过原点的直线。这里重新求解，得到斜率 207.745、系数 129.530 和 0.6235，与 Pandey 等人的 207.75、129.53、0.62 一致。

f=-207.75\,w_{0},\qquad f_{\mathrm{c}}=-129.53\,\bigl(d-80.76\,S\bigr)^{1/2}\quad\text{于}\quad w_{0}=0.62\,\bigl(d-80.76\,S\bigr)^{1/2}

为什么在力为零处跳过去

两条分支都终止于 $w_{0}=0$ 、 $f=0$ ：浅拱终止于平直的受压薄条，深拱终止于纯粹的反对称形状。再往夹具连线以下走，由对称性，就需要一个向上拉的力。刀片只能推，于是接触断开，附近再也没有平衡形状，薄条落进反向的拱。Pandey 等人正是用这一点解释：他们的拱在中点到达夹具连线时突跳，而不是在力的峰值处。

换成重物就不一样了：重物一旦超过峰值力，没有任何平衡形状撑得住，跳变从峰值处开始。Gomez、Moulton 和 Vella（2017）研究了第三种情况：一端以一定角度夹紧的拱，它的反向形状在折叠点直接消失，事先并不失稳。跳变从哪里开始，取决于结构怎样加载，而不只取决于材料。

完整例题

实验里的深拱和浅拱

深拱： $S=7.5\times10^{-5}$ ， $d=0.0225$ ， $d/S=300>80.76$ ，所以会扭转。 $d-80.76\,S=0.01644$ ，平方根是 0.1282。扭转从 $|f_{\mathrm{c}}|=129.53\times0.1282=16.61$ 开始，此时中点在 $0.6235\times0.1282=0.0800$ ，刀片只把它从 0.0890 往下按了 0.0090。走到直线的一半，即 $w_{0}=0.04$ 时，力为 $207.75\times0.04=8.31$ 。

实验用 48 段网格，记录的峰值是 16.47，比 16.61 低 0.8%；换成 96 段，差距缩小到 0.44%。浅拱： $d/S=60<80.76$ ，保持对称。沿对称分支算出的峰值只有 1.95，薄条被压平之后才突跳。

|f_{\mathrm{c}}|=129.53\,(0.0225-80.76\times7.5\times10^{-5})^{1/2}=16.61,\qquad w_{0}=0.0800

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

先别看：浅拱预设（ $d/S=60$ ）的力曲线会不会出现一段直线？两个预设各自在中点多高时离开刀片？
在拱实验里先播放“深拱先扭成 S 形再突跳”，再播放“浅拱先被压平再突跳”，盯住力曲线。然后打开 Kresling 实验，选“双稳态单元咔嗒合上”，记下夹具在哪里松手。
用 $\tau_{\max}^{2}=80.76$ 解释两条力曲线的形状，并解释薄条和 Kresling 单元为什么都在保持力降到零的地方离开推压它们的东西。

压一道夹紧的拱，直到它突跳按压一个 Kresling 折纸圆筒

拱实验在 48 段网格上求解含中线拉伸的夹紧梁方程，由一片只能压、不能拉的刀片在中点推压。Kresling 实验采用 Yasuda 等人的桁架模型，把每条折痕当成线性弹簧，两块板相距 9 mm 时由接触挡住。

试着自己解释

1. $h/L=0.03$ 时，端部缩短量至少多大，被按压的拱才会扭转？

展开答案与解释

$d=80.76\,S=80.76\times7.5\times10^{-5}=6.06\times10^{-3}$ ，约为长度的 0.61%。低于这个值，拱会被压平。

2. 取 $h/L=0.03$ 、 $d=0.03$ ，求扭转开始时的临界力和中点高度。

展开答案与解释

$d-80.76\,S=0.02394$ ，平方根为 0.1547，得 $|f_{\mathrm{c}}|=129.53\times0.1547=20.0$ ，中点高度 $w_{0}=0.6235\times0.1547=0.0965$ 。未加载时的拱高是 $\tfrac{2}{\pi}(0.03-0.00296)^{1/2}=0.105$ 。

3. 不用刀片，改在深拱上挂一个大小为 17 的重物。它在哪里突跳？

展开答案与解释

重物超过了 16.61，也就是拱在稳定形状下能承受的最大力。再往下的对称形状虽然能承受更大的力，但每一个都会被扭转模式推翻，所以没有地方可停，拱立刻跳过去。如果重物略小于 16.61，拱会停在 $w_{0}=0.080$ 附近，在那里再加一点点就会跳：挂重物时，跳变从力的峰值处开始；用刀片按时，则从 $w_{0}=0$ 处开始。

可以放在旁边读的来源

Pandey, Moulton, Vella & Holmes, Dynamics of snapping beams and jumping poppers, EPL 105, 24001 (2014), arXiv:1310.3703v2
连同补充材料完整读过：动力学梁方程与积分形式的胡克定律（式 1、2），d/S 的三个区间与 S 形分支上的力（式 3），线性稳定性问题（式 4、5），增长率 24.113 与临界附近的近似式（式 6、7），振荡频率 42.38 和 44.36，弹跳玩具的壳方程（式 9），以及图 1 至图 5。
Gomez, Moulton & Vella, Critical slowing down in purely elastic “snap-through” instabilities, Nature Physics (2017), arXiv:1609.03809v2
读过正文和方法部分：弹性时间尺度（式 2），反向拱不复存在的折叠点，振幅方程（式 7）及其起初按时间平方增长的解，突跳时间随与折叠点距离的负四分之一次方增长（式 9、图 4），以及 PET 和不锈钢薄条的材料参数。附带的补充推导没有细读。

刀片控制的是位置，不是力

对称分支

深拱的扭转分支

为什么在力为零处跳过去

实验里的深拱和浅拱

先预测，再改变，最后解释

试着自己解释

1. h/L=0.03h/L=0.03h/L=0.03 时，端部缩短量至少多大，被按压的拱才会扭转？

2. 取 h/L=0.03h/L=0.03h/L=0.03、d=0.03d=0.03d=0.03，求扭转开始时的临界力和中点高度。

3. 不用刀片，改在深拱上挂一个大小为 17 的重物。它在哪里突跳？

可以放在旁边读的来源

1. $h/L=0.03$ 时，端部缩短量至少多大，被按压的拱才会扭转？

2. 取 $h/L=0.03$ 、 $d=0.03$ ，求扭转开始时的临界力和中点高度。