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Sandbox Physics
几何弹性 · 边学边做实验

L3 · 第 4 章

突跳有多快

把惯性放回梁方程，时间的单位就成了 t∗=L2(12ρs/Eh2)1/2t^{*}=L^{2}(12\rho_{s}/Eh^{2})^{1/2}，也就是弯曲波“感觉到”薄条两端所需的时间。松开的那一刻，薄条处在一个不稳定的形状上，小扰动按 eσte^{\sigma t} 增长。深拱不论多深，σ≈24.113\sigma\approx24.113；越接近屈曲临界，σ\sigma 越趋近零。跳过去以后，反向的拱以同一单位下约 44 的角频率振荡。一条 240 mm 的塑料薄条，大约十毫秒跳完，振荡频率在 25 Hz 附近。

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把惯性放回来

密度为 ρs\rho_{s}、厚度为 hh 的薄条，单位面积质量是 ρsh\rho_{s}h。在第二章的梁方程里加上加速度项，再用 t∗t^{*} 作时间单位，方程里就一个材料常数都不剩。实验另加了阻尼项 γ ∂w/∂t\gamma\,\partial w/\partial t，让薄条每次突跳后能停下来。

Pandey 等人（2014）用声速 c=(E/ρs)1/2c=(E/\rho_{s})^{1/2} 写出这个时间单位，把它理解为薄条“感觉到”两端所需的时间。Gomez、Moulton 和 Vella（2017）让惯性与弯曲相平衡，得到同一个 t∗t^{*}。它与长度的平方成正比、与厚度成反比：又长又薄的条慢，又短又厚的条快。

∂2w∂t2+∂4w∂x4+τ2∂2w∂x2=0,t∗=L2(12ρsEh2)1/2=23 L2c h\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}+\frac{\partial^{4}w}{\partial x^{4}}+\tau^{2}\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}=0,\qquad t^{*}=L^{2}\Bigl(\frac{12\rho_{s}}{Eh^{2}}\Bigr)^{1/2}=\frac{2\sqrt{3}\,L^{2}}{c\,h}

松开瞬间的增长率

刀片失去接触时，薄条要么处在平直受压的形状（浅拱），要么处在纯粹的 S 形（深拱）。把形状写成这个状态加上一小份 ϵ wp(x) eσt\epsilon\,w_{p}(x)\,e^{\sigma t}，载荷也一并扰动，只保留 ϵ\epsilon 的一阶项，就得到关于 σ\sigma 的特征值问题，wpw_{p} 满足夹紧条件，即 Pandey 等人的式 4 和式 5。

从 S 形出发，只有一个增长模式，对任何 dd 和 SS 都有 σ≈24.113\sigma\approx24.113。从平直形状出发，σ\sigma 取决于 d/Sd/S 比 4π24\pi^{2} 高出多少。Pandey 等人在刚过临界处得到式 6：约束越强，增长率从零开始越大，d/Sd/S 超过 80.76 后停在 24.113。式 6 是极限公式：这里完整求解特征值问题，d/S=45d/S=45 时得 8.56，式 6 给 8.38；60 时得 16.67，式 6 给 15.55。

σ≈4π3/23[(dS)1/2−2π]1/2(d/S 略高于 4π2),σ≈24.113(d/S>80.76)\sigma\approx\frac{4\pi^{3/2}}{\sqrt{3}}\Bigl[\Bigl(\frac{d}{S}\Bigr)^{1/2}-2\pi\Bigr]^{1/2}\quad\bigl(d/S\ \text{略高于}\ 4\pi^{2}\bigr),\qquad\sigma\approx24.113\quad\bigl(d/S>80.76\bigr)

阻尼让起步变慢

加上阻尼项后，扰动 eλte^{\lambda t} 必须满足 λ2+γλ=σ2\lambda^{2}+\gamma\lambda=\sigma^{2}。正根就是实验从中点离开夹具连线的过程中测出的增长率。阻尼能把它压低，却挡不住它：只要 σ>0\sigma>0，不论 γ\gamma 多大，正根都存在。

深拱预设取 γ=6\gamma=6，配上 σ=24.113\sigma=24.113 得 21.30。实验的 48 段薄条上 σ=24.04\sigma=24.04，低 0.3%，对应 21.23；中点实测的增长率是 21.14，比它低 0.4%。

λ=−γ2+γ24+σ2\lambda=-\frac{\gamma}{2}+\sqrt{\frac{\gamma^{2}}{4}+\sigma^{2}}

突跳之后的振荡

反向的拱是稳定的。在它附近线性化，得到 σ2<0\sigma^{2}<0，于是薄条以 ω=(−σ2)1/2\omega=(-\sigma^{2})^{1/2} 振动。刚过临界时，这就是 Pandey 等人的式 7。他们用允许大斜率的 Kirchhoff 方程计算，ω\omega 一直升到 d/S=122.4d/S=122.4，此后停在 42.38，最低模式也开始带有明显的横向运动。补充材料给出本课程所用小倾角模型里的平台值 44.36，对应的模式是反对称的。

振荡周期 tr=(2π/ω) t∗t_{r}=(2\pi/\omega)\,t^{*}，取 42.38 时为 0.148 t∗0.148\,t^{*}。对突跳的球冠，同一篇论文预测 0.133 t∗0.133\,t^{*}，长度取球冠底面直径；其图 5 显示，实测的拱和球壳（包括玩具跳跳碗）各自落在自己的那条线上。实验里，深拱实测振荡 43.0，弱阻尼预设 46.1：头几下摆幅很大，大振幅的振荡频率与小振幅略有不同。

ω≈23/2π31/2(dS−4π2)1/2(d/S 略高于 4π2),tr=2πω t∗\omega\approx\frac{2^{3/2}\pi}{3^{1/2}}\Bigl(\frac{d}{S}-4\pi^{2}\Bigr)^{1/2}\quad\bigl(d/S\ \text{略高于}\ 4\pi^{2}\bigr),\qquad t_{r}=\frac{2\pi}{\omega}\,t^{*}

在临界附近变慢的突跳

Gomez、Moulton 和 Vella（2017）把薄条一端以角度 α\alpha 夹紧，用 μ=α (ΔL/L)−1/2\mu=\alpha\,(\Delta L/L)^{-1/2} 衡量约束。反向形状只在 μ<1.782\mu<1.782 时存在。刚越过这个折叠点，薄条从静止出发，起点附近的形状已经不是平衡态，也没有增长模式。它的中点随时间按平方离开，而不是按指数。

离开所需的时间随着接近折叠点而变长，以 t∗t^{*} 为单位约为 Tb≈0.179 Δμ−1/4T_{b}\approx0.179\,\Delta\mu^{-1/4}，其中 Δμ=μ−1.782\Delta\mu=\mu-1.782。这是没有任何耗散的临界慢化。Pandey 等人的薄条从真正不稳定的形状上松开，起步是指数式的，时间由 1/σ1/\sigma 决定，对所有深拱都是有限值。

Tb≈0.179 Δμ−1/4,Δμ=μ−1.782T_{b}\approx0.179\,\Delta\mu^{-1/4},\qquad\Delta\mu=\mu-1.782

完整例题

一条 240 mm 的塑料薄条

Gomez 等人用的 PET 薄膜 E=5.707 GPaE=5.707\ \mathrm{GPa}、ρs=1337 kg m−3\rho_{s}=1337\ \mathrm{kg\,m^{-3}}、h=0.35 mmh=0.35\ \mathrm{mm}，长度之一是 240 mm。声速 c=(5.707×109/1337)1/2=2066 m s−1c=(5.707\times10^{9}/1337)^{1/2}=2066\ \mathrm{m\,s^{-1}}，于是 t∗=23×0.2402/(2066×3.5×10−4)=0.276 st^{*}=2\sqrt{3}\times0.240^{2}/(2066\times3.5\times10^{-4})=0.276\ \mathrm{s}。

它的可拉伸度 S=(h/L)2/12=1.77×10−7S=(h/L)^{2}/12=1.77\times10^{-7}，只要拱比 80.76 S80.76\,S（端部缩短 0.0014%）更深，就属于深拱。无阻尼时，突跳每过 t∗/24.113=11.4 mst^{*}/24.113=11.4\ \mathrm{ms} 放大 ee 倍。反向的拱振荡周期为 (2π/44.36) t∗=39.1 ms(2\pi/44.36)\,t^{*}=39.1\ \mathrm{ms}，约 25.6 Hz；用 Kirchhoff 的 42.38 则是 40.9 ms。若改成一端斜夹、取 Δμ=0.1\Delta\mu=0.1，同一条薄条需要 0.179×0.1−1/4 t∗=0.318 t∗=87.8 ms0.179\times0.1^{-1/4}\,t^{*}=0.318\,t^{*}=87.8\ \mathrm{ms}。

t∗=0.276 s,t∗24.113=11.4 ms,2π44.36 t∗=39.1 mst^{*}=0.276\ \mathrm{s},\qquad \frac{t^{*}}{24.113}=11.4\ \mathrm{ms},\qquad \frac{2\pi}{44.36}\,t^{*}=39.1\ \mathrm{ms}

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

  1. 把“深拱先扭成 S 形再突跳”“刚刚屈曲：慢吞吞的突跳”和“阻尼很小：突跳后久久振荡”三个预设按实测增长率 λ\lambda 排个序。哪个最大？
  2. 在拱实验里依次播放这三个预设，每次突跳后读出增长率和振荡频率。再在深拱上把阻尼调到 0，重新比较。
  3. 用 λ=−γ/2+(γ2/4+σ2)1/2\lambda=-\gamma/2+(\gamma^{2}/4+\sigma^{2})^{1/2}、σ=24.113\sigma=24.113 和式 6 解释每个实测值，并说明刚刚屈曲的薄条为什么离开平直形状那么慢。
压一道夹紧的拱，直到它突跳

拱实验在 48 段网格上求解含中线拉伸的夹紧梁方程，由一片只能压、不能拉的刀片在中点推压。

试着自己解释

1. 把 PET 薄条剪成 120 mm。t∗t^{*}、e 倍增长时间和振荡频率各变成多少？

展开答案与解释

t∗t^{*} 与 L2L^{2} 成正比，缩小到四分之一，即 0.069 s。e 倍增长时间变为 2.86 ms，振荡频率提高四倍，约 102 Hz。

2. Gomez 等人的不锈钢片 E=203.8 GPaE=203.8\ \mathrm{GPa}、ρs=7881 kg m−3\rho_{s}=7881\ \mathrm{kg\,m^{-3}}、h=0.1 mmh=0.1\ \mathrm{mm}。对 140 mm 长的钢条，求 t∗t^{*} 和深拱突跳的 e 倍增长时间。

展开答案与解释

c=(203.8×109/7881)1/2=5085 m s−1c=(203.8\times10^{9}/7881)^{1/2}=5085\ \mathrm{m\,s^{-1}}，t∗=23×0.142/(5085×10−4)=0.134 st^{*}=2\sqrt{3}\times0.14^{2}/(5085\times10^{-4})=0.134\ \mathrm{s}，所以 t∗/24.113=5.5 mst^{*}/24.113=5.5\ \mathrm{ms}。钢的声速快，但片更薄，抵消了一部分。

3. “刚刚屈曲”预设取 d/S=45d/S=45、γ=3\gamma=3。式 6 加上阻尼预测的增长率是多少？实验为什么测得稍大一些？

展开答案与解释

式 6 给出 σ=8.38\sigma=8.38，于是 λ=−1.5+(2.25+8.382)1/2=7.02\lambda=-1.5+(2.25+8.38^{2})^{1/2}=7.02。实验测得 7.18，因为式 6 是只在 d/Sd/S 趋近 4π24\pi^{2} 时成立的极限公式；在 45 处完整特征值高出 2.1%，实验在自己网格上的线性分析预测 7.22。

4. 在 Gomez 等人的装置里，Δμ=0.001\Delta\mu=0.001 时的突跳比 Δμ=0.1\Delta\mu=0.1 时慢多少？

展开答案与解释

两者之比为 (0.1/0.001)1/4=1001/4=3.16(0.1/0.001)^{1/4}=100^{1/4}=3.16：从 0.318 t∗0.318\,t^{*} 变成 1.01 t∗1.01\,t^{*}。四分之一次方让慢化很温和，离临界近一百倍，时间也只变成三倍。

可以放在旁边读的来源

  1. Pandey, Moulton, Vella & Holmes, Dynamics of snapping beams and jumping poppers, EPL 105, 24001 (2014), arXiv:1310.3703v2

    连同补充材料完整读过：动力学梁方程与积分形式的胡克定律（式 1、2），d/S 的三个区间与 S 形分支上的力（式 3），线性稳定性问题（式 4、5），增长率 24.113 与临界附近的近似式（式 6、7），振荡频率 42.38 和 44.36，弹跳玩具的壳方程（式 9），以及图 1 至图 5。

  2. Gomez, Moulton & Vella, Critical slowing down in purely elastic “snap-through” instabilities, Nature Physics (2017), arXiv:1609.03809v2

    读过正文和方法部分：弹性时间尺度（式 2），反向拱不复存在的折叠点，振幅方程（式 7）及其起初按时间平方增长的解，突跳时间随与折叠点距离的负四分之一次方增长（式 9、图 4），以及 PET 和不锈钢薄条的材料参数。附带的补充推导没有细读。

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