几何弹性 · 突跳

拱的突跳失稳

屈曲的薄条为什么会一下子跳到镜像形状？跳得多快由什么决定？ 两端夹紧、被推着靠拢的薄条会屈曲成拱，有向上拱和向下拱两个稳定形状。向下按中点，力先升后降；等到要拉住薄条才能让它停住时，附近已没有平衡形状，它便一下跳到反向的拱。深拱跳之前先扭成 S 形，浅拱则先被压平。

向下按一条两端夹紧、已经屈曲的薄条的中点。力先升后降；当刀片需要往回拉才能维持时，薄条突跳到反向的拱，随后振荡。力曲线与连续的 Föppl–von Kármán 解对照，突跳和振荡与线性稳定性分析对照。

刀片对薄条的最大推力 $16.5\,B/L^{2}$

突跳的增长率

\lambda

（测得） $21.1/t^{*}$

突跳后振荡的角频率

\omega

（测得） $43/t^{*}$

约束度：端部缩短量与可拉伸度之比 $d/S=300$

模型假设

薄条服从 Pandey、Moulton、Vella 与 Holmes（EPL，2014）含中线拉伸的动力学梁方程，采用他们的单位：长度以薄条长度计，力以弯曲刚度除以长度平方计，时间以薄条的弯曲时间计。薄条分成 48 段有限差分，两端夹紧且保持水平，端部缩短量固定。刀片是只能推、不能拉的无摩擦点接触。推压是准静态的：每一帧都是中点位于刀片处的平衡态；一旦刀片需要往回拉，薄条就被释放，交给动力学方程。均匀的黏性阻尼不在原文中，用来代表空气和材料损耗。模型不含重力、扭转、薄条宽度和塑性。画布上的挠度按图中标出的倍数在竖直方向放大。

橙色是从上方推、蓝色是从下方推，都在薄条模型上算出；米色虚线是连续解和预测的增长。

更多读数与保存的记录

连续解给出的最大推力

16.6\,B/L^{2}

从下方推时的最大推力

16.5\,B/L^{2}

线性稳定性给出的增长率（含阻尼）

21.2/t^{*}

拱的反对称振动（含阻尼）

44.1/t^{*}

拱的对称振动（含阻尼）

59.5/t^{*}

未加载时的拱高

0.0891\,L

薄条离开刀片时的中点挠度

-2.19\times10^{-4}\,L

无阻尼自由振动的相对能量漂移

5.05\times10^{-6}

动力学方程的时间步长

1.29\times10^{-4}\,t^{*}

JSON 记录包含参数、两次模拟推压及其释放、突跳和振荡数据，并单独列出连续力曲线、线性稳定性速率和文献参考值。

先抓重点

核心问题: 屈曲的薄条为什么会一下子跳到镜像形状？跳得多快由什么决定？
一句话直觉: 在位移控制下，薄条沿着一支平衡形状走，直到这支平衡失去稳定。这时最近的稳定形状就是反向的拱，薄条以它最后所处形状的不稳定模态决定的速率跌过去。

核心数学模型

含中线拉伸的动力学梁方程

\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}+\gamma\,\frac{\partial w}{\partial t}+\frac{\partial^{4}w}{\partial x^{4}}+\tau^{2}\,\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}=f\,\delta(x),\qquad -\tfrac{1}{2}<x<\tfrac{1}{2}

Pandey 等（2014）的式 1，另加了阻尼 $\gamma$ 。长度以 $L$ 计，力以 $B/L^{2}$ 计，时间以 $t^{*}=L^{2}(\rho_{\mathrm{s}}hb/B)^{1/2}$ 计。夹具在两端保持 $w=0$ 和 $\partial w/\partial x=0$ 。

端部缩短产生的压力

S\,\tau^{2}=d-\frac{1}{2}\int_{-1/2}^{1/2}\Bigl(\frac{\partial w}{\partial x}\Bigr)^{2}dx,\qquad S=\frac{h^{2}}{12L^{2}}

中线的胡克定律（Pandey 等，式 2）沿薄条积分。可拉伸度 $S$ 比较弯曲与拉伸；响应的形态只由比值 $d/S$ 决定。

约束度的三个区间

\Bigl(\frac{d}{S}\Bigr)_{\mathrm{Euler}}=4\pi^{2}\approx 39.48,\qquad \Bigl(\frac{d}{S}\Bigr)_{\mathrm{twist}}=\tau_{\max}^{2}\approx 80.76

低于欧拉值时薄条保持平直。介于两个值之间时，拱先被压平再突跳；高于第二个值时，它先扭成 S 形。 $\tau_{\max}\approx 8.99$ 是 $\tan(\tau/2)=\tau/2$ 的根，对应两端夹紧时第一个反对称模态的载荷。

S 形分支上的力

f=-207.75\,w_{0},\qquad f_{\mathrm{c}}=-129.53\,\bigl(d-80.76\,S\bigr)^{1/2}

Pandey 等的式 3：薄条扭成 S 形后，力与中点挠度成正比地减小，中点回到零时力也为零。这里重新求解同一组方程，得到 207.745 和 129.530。

突跳增长得多快

\lambda=-\frac{\gamma}{2}+\sqrt{\frac{\gamma^{2}}{4}+\sigma^{2}},\qquad \sigma\approx 24.11\ \text{from the twisted state}

偏离刀片最后所维持形状的小扰动 $a\,e^{\lambda t}$ 满足 $\ddot{a}+\gamma\dot{a}=\sigma^{2}a$ 。Pandey 等对 S 形状态得到 $\sigma\approx 24.113$ ；这里 48 段的薄条给出 24.04。

常见难点

力最大处并不是突跳处

容易误解刀片推得最用力时，薄条就突跳。

正确理解刀片位置受控时，薄条越过力的峰值后仍然保持平衡形状。只有力降到零时它才突跳，因为再往前，刀片就得往回拉。如果改用固定的重物加载，突跳就会从力的峰值处开始。

速度不只是波速

容易误解突跳的速度就是声波穿过薄条的速度。

正确理解时间尺度是薄条的弯曲时间，而其中的速率由最后一个平衡形状的不稳定模态决定。接近屈曲临界时，这个模态很弱，跳变就慢。

模型省略了什么

容易误解真实的塑料薄条和这里完全一样。

正确理解薄条服从 Pandey、Moulton、Vella 与 Holmes（EPL，2014）含中线拉伸的动力学梁方程，采用他们的单位：长度以薄条长度计，力以弯曲刚度除以长度平方计，时间以薄条的弯曲时间计。薄条分成 48 段有限差分，两端夹紧且保持水平，端部缩短量固定。刀片是只能推、不能拉的无摩擦点接触。推压是准静态的：每一帧都是中点位于刀片处的平衡态；一旦刀片需要往回拉，薄条就被释放，交给动力学方程。均匀的黏性阻尼不在原文中，用来代表空气和材料损耗。模型不含重力、扭转、薄条宽度和塑性。画布上的挠度按图中标出的倍数在竖直方向放大。

动手实验

01
看深拱扭转
从“深拱先扭成 S 形再突跳”开始，看第一次推压。
你会看到： 力升到约 16.5，接着拱歪成 S 形，力沿直线降到零，同时中点回到夹具的高度。随后薄条突跳，增长率 21.1，线性稳定性给出 21.2。
02
把拱变浅
选“浅拱先被压平再突跳”，此时约束度为 60。
你会看到： 拱保持对称，被一直压平。最大推力只有 1.95，突跳从平直的薄条开始，增长率 13.9，预测为 14.0。
03
接近屈曲临界
选“刚刚屈曲：慢吞吞的突跳”，约束度 45，刚好高于约 39.5 的欧拉临界值。
你会看到： 跳变的增长率只有 7.18，约为深拱的三分之一。接近临界时，平直状态只是略微不稳定，薄条离开它的速度就慢。
04
让它振荡
选“阻尼很小：突跳后久久振荡”。
你会看到： 跳过去之后，反向的拱振荡很多个周期。测得的角频率 46.1，接近拱的第一个反对称振动模态的 44.2。
05
自己推
慢慢向下拖上方刀片，再快速向上拖下方刀片。
你会看到： 你的推压在算出的力曲线上画出自己的黄色曲线。不管推得快慢，力一降到零，薄条就离开刀片跳过去。

拱的突跳失稳

屈曲的薄条怎样突跳？

核心数学模型

含中线拉伸的动力学梁方程

端部缩短产生的压力

约束度的三个区间

S 形分支上的力

突跳增长得多快

常见难点

力最大处并不是突跳处

速度不只是波速

模型省略了什么

动手实验

看深拱扭转

把拱变浅

接近屈曲临界

让它振荡

自己推

相关实验与文章

几何弹性：薄结构怎样弯曲、屈曲和突跳