夹紧的薄条在欧拉载荷下屈曲成拱

多出来的长度去了哪里

长度以薄条长度 $L$ 为单位，夹具位于 $x=\pm\tfrac12$，在那里保持 $w=0$ 和 $w'=0$。两端推近 $d$，$w(x)$ 是横向挠度，向上为正。

弯过的薄条比两端之间的直线长。斜率很小时，一小段的长度是 $\sqrt{1+w'^{2}}\,dx\approx(1+\tfrac12w'^{2})\,dx$。光是形状就用掉了 $\tfrac12\int w'^{2}dx$ 的缩短量，剩下的才压缩中面。胡克定律把这部分剩余应变换成压力，以 $B/L^{2}$ 为单位记作 $\tau^{2}$。这就是 Pandey 等人（2014）的式 2 沿薄条积分的结果。

平直薄条在什么载荷下撑不住

受压静止的薄条满足静力梁方程：四阶导数来自弯曲，二阶导数来自压力作用在倾斜的小段上。它就是 Pandey 等人的式 1 去掉时间导数和压头之后的样子。

试一试夹紧形状 $w=\tfrac12w_{0}(1+\cos2\pi x)$。它在 $x=\pm\tfrac12$ 处满足 $w=w'=0$；代入方程得 $\tfrac12w_{0}\cos2\pi x\,[(2\pi)^{4}-\tau^{2}(2\pi)^{2}]=0$。只有当 $\tau^{2}=4\pi^{2}$ 时才可能有非零的拱，这就是夹紧薄条的欧拉载荷，换成普通单位是 $4\pi^{2}B/L^{2}$。

薄条平直时，全部缩短量都用来压缩，$\tau^{2}=d/S$。只要 $d/S<4\pi^{2}$，它就保持平直。Pandey 等人把 $d-4\pi^{2}S$ 解释为压缩尽了力之后还剩下的缩短量。

拱有多高

越过临界点后，压力停在欧拉值，胡克定律就把压缩量固定在 $4\pi^{2}S$，其余都要由拱来消化。拱形满足 $\tfrac12\int w'^{2}dx=\pi^{2}w_{0}^{2}/4$，由 $4\pi^{2}S=d-\pi^{2}w_{0}^{2}/4$ 得到下面的拱高。

第一章的能量给出同样的结论。以 $B/L$ 为单位，拱的能量是 $4\pi^{2}d-8\pi^{4}S$，平直薄条是 $d^{2}/2S$。两者之差是一个完全平方除以 $2S$：只要拱存在，它就更便宜，两者在临界点相等。

水面上的薄片屈曲方式不同

夹紧薄条屈曲的载荷由它自己的长度决定，屈曲后载荷不再变化。漂在液面上的薄片则不管多长，都在由弯曲刚度和液体决定的载荷下屈曲：单位宽度上是 $2(BK)^{1/2}$，其中 $K=\rho g$。Diamant 和 Witten（2011）证明，此后褶皱汇聚成一道折痕，压力按 $P=2-\Delta^{2}/16$ 精确下降（用他们的单位）。

本章用的是小斜率梁方程。Pandey 等人拿实验去比较的是允许大斜率的 Kirchhoff 杆模型；实验室用小斜率形式，只要拱高远小于长度就足够准确，三个预设都满足这一点。