圆盘在多厚时屈曲

两种价格，标度不同

Efrati、Sharon 和 Kupferman（2009）把薄非欧板的弹性能化成两个积分。 $E_{S}$ 衡量中面长度偏离目标度规多少， $E_{B}$ 衡量曲面弯了多少。两者都与厚度无关，厚度只决定它们的权重： $h$ 和 $h^{3}$ 。

两个极端很好定价。平盘不能弯，能量是 $hE_{S}^{\infty}$ ， $E_{S}^{\infty}$ 是最佳平面状态的拉伸量；实验圆盘在 $K=1$ 、 $\nu=0.5$ 时为 0.01434。第五章的球冠恰好具有目标长度，能量是 $h^{3}E_{B0}$ ， $E_{B0}=0.541$ 。

E=\int_{r_{0}}^{r_{1}}\bigl(h\,w_{S}+h^{3}\,w_{B}\bigr)\,\Phi\,dr=h\,E_{S}+h^{3}E_{B},\qquad E_{B0}=\tfrac{2}{3}(1+\nu)\bigl(\cos\sqrt{K}r_{0}-\cos\sqrt{K}r_{1}\bigr)

天真的交叉点

令两种价格相等，得 $h_{C}=(E_{S}^{\infty}/E_{B0})^{1/2}$ 。比它厚，平盘比球冠便宜；比它薄，球冠更便宜。代入实验的数值， $h_{C}=(0.01434/0.541)^{1/2}=0.163$ 。

两种价格都随曲率增长：生长较弱时 $E_{S}^{\infty}$ 正比于 $K^{2}$ （算出的比例系数为 0.0135）， $E_{B0}$ 正比于 $K$ 。两者一比， $h_{C}$ 随 $\sqrt{K}$ 增长：生长越强，越厚的圆盘也会弯。

h_{C}=\Bigl(\frac{E_{S}^{\infty}}{E_{B0}}\Bigr)^{1/2}=\Bigl(\frac{0.01434}{0.541}\Bigr)^{1/2}=0.163

平盘实际在哪里撑不住

平盘内部的应变并不均匀。Efrati 等人的凝胶边缘收缩得比中心多，偏短的外圈挤压圆盘内部。板内的压缩靠弯曲来抵抗，相对于应力，这种抵抗随 $h^{2}$ 增长。薄到一定程度，受挤的区域就弯出平面，和第二章的薄条一样。

把平盘的所有微小离面形状都试一遍，就得到这个临界。能量的二阶变分里，应力项正比于 $h$ 且为负，弯曲项正比于 $h^{3}$ 且为正，所以 $h$ 低于 $h_{B}$ 时平盘失稳。用 40、80、160 段网格分别得到 0.29905、0.29911、0.29912；Efrati 等人给出约 0.3，并指出它大于 $h_{C}$ 。和 $h_{C}$ 一样，它也随 $\sqrt{K}$ 变化： $K=0.5$ 时 $h_{B}/\sqrt{K}$ 为 0.297， $K=1$ 时为 0.299。

\delta^{2}E=h\,Q_{\sigma}[\zeta]+h^{3}Q_{B}[\zeta],\qquad h_{B}^{2}=\max_{\zeta}\frac{-Q_{\sigma}[\zeta]}{Q_{B}[\zeta]}\approx0.299^{2}\quad(K=1,\ \nu=0.5)

两个厚度之间的折中

厚度在 0.163 和 0.299 之间时，尽管完整的球冠更贵，平盘仍然不稳定。出路是一个浅穹顶：稍微弯一点，缓解最严重的压缩，其余部分仍以拉伸承受。它的能量比两个极端都低。

圆盘再变薄，穹顶就向球冠升去。仍会留下一些拉伸：在自由边缘附近，穹顶稍微拉伸一点来减少弯曲，这条边带随圆盘变薄而变窄。

能量并不平分

也许有人以为两种能量最后会差不多，就像许多物理系统里动能和势能平分那样。Efrati 等人发现并没有这种均分，实验也一样。从 $h=0.04$ 到 0.01，单位厚度的拉伸能下降 32 倍，从 $4.88\times10^{-5}$ 到 $1.50\times10^{-6}$ ；单位厚度的弯曲能下降 13 倍，从 $6.25\times10^{-4}$ 到 $4.66\times10^{-5}$ 。拉伸所占比例从 7.2% 降到 3.1%。

在对数坐标上，两者下降的斜率分别是 2.51 和 1.87。可见很薄的薄片几乎与目标几何等距：形状由几何选定，材料只决定价格。

漂浮薄膜上的同一笔账

Diamant 和 Witten（2011）研究了另一种必须在弯曲和另一种能量之间取舍的薄片：漂在液面上、从两端受推的薄膜。波数为 $q$ 的起伏，弯曲代价为 $Bq^{4}$ ，把液体抬高的重力代价为 $\rho g$ （都按振幅平方计），推力释放 $Pq^{2}$ 。

$P(q)=Bq^{2}+\rho g/q^{2}$ 在某个 $q$ 处最小，薄膜就在那里最先屈曲，给出他们的波长 $\lambda=2\pi(B/\rho g)^{1/4}$ 和临界推力 $P=2(B\rho g)^{1/2}$ 。和圆盘一样，临界来自弯曲代价与另一种能量的较量，单看哪一种都定不下答案。

P(q)=Bq^{2}+\frac{\rho g}{q^{2}}\ \Rightarrow\ q^{4}=\frac{\rho g}{B},\qquad \lambda=2\pi\Bigl(\frac{B}{\rho g}\Bigr)^{1/4},\qquad P_{\min}=2\,(B\rho g)^{1/2}

完整例题

刚越过临界的那张圆盘

取预设“刚刚越过屈曲临界”： $h=0.26$ 、 $K=1$ 、 $\nu=0.5$ 。保持平坦要花 $0.26\times0.01434=3.73\times10^{-3}$ ；弯成完整球冠要花 $0.26^{3}\times0.541=9.52\times10^{-3}$ ，是前者的 2.55 倍。可由于 $0.26<h_{B}=0.299$ ，平盘照样不稳定。

实验求得的平衡态拉伸量 0.00801、弯曲量 0.0800，能量 $0.26\times0.00801+0.26^{3}\times0.0800=3.49\times10^{-3}$ ，比平盘低 6.5%。拉伸占其中 59.7%，穹顶升高 0.313，是球冠的 0.577。生长过程中，这张圆盘直到 $K_{B}=0.760$ 才离开平面，那时 $h_{B}(K)$ 刚好涨到 0.26。

E_{\mathrm{flat}}=3.73\times10^{-3},\qquad E_{\mathrm{cap}}=9.52\times10^{-3},\qquad E_{\mathrm{dome}}=3.49\times10^{-3}

圆盘在多厚时屈曲

两种价格，标度不同

天真的交叉点

平盘实际在哪里撑不住

两个厚度之间的折中

能量并不平分

漂浮薄膜上的同一笔账

刚越过临界的那张圆盘

先预测，再改变，最后解释

试着自己解释

1. 用 $h_{B}\approx0.299\sqrt{K}$ 估计厚度 0.15 的圆盘在多大生长量时离开平面。

2. 把泊松比调到 0， $h_{B}$ 升到 0.368。圆盘是更愿意弯了，还是更不愿意？球冠的弯曲量变了吗？

3. 假设有一个与实验形状相同的凝胶圆环， $K=0.11\ \mathrm{cm^{-2}}$ ，宽 $1/\sqrt{K}=3.02\ \mathrm{cm}$ 。屈曲临界厚度是多少？Efrati 等人 0.6 到 0.75 mm 的凝胶处在哪里？

可以放在旁边读的来源

两种价格，标度不同

天真的交叉点

平盘实际在哪里撑不住

两个厚度之间的折中

能量并不平分

漂浮薄膜上的同一笔账

刚越过临界的那张圆盘

先预测，再改变，最后解释

试着自己解释

1. 用 hB≈0.299Kh_{B}\approx0.299\sqrt{K}hB​≈0.299K​ 估计厚度 0.15 的圆盘在多大生长量时离开平面。

2. 把泊松比调到 0，hBh_{B}hB​ 升到 0.368。圆盘是更愿意弯了，还是更不愿意？球冠的弯曲量变了吗？

3. 假设有一个与实验形状相同的凝胶圆环，K=0.11 cm−2K=0.11\ \mathrm{cm^{-2}}K=0.11 cm−2，宽 1/K=3.02 cm1/\sqrt{K}=3.02\ \mathrm{cm}1/K​=3.02 cm。屈曲临界厚度是多少？Efrati 等人 0.6 到 0.75 mm 的凝胶处在哪里？

可以放在旁边读的来源

1. 用 $h_{B}\approx0.299\sqrt{K}$ 估计厚度 0.15 的圆盘在多大生长量时离开平面。

2. 把泊松比调到 0， $h_{B}$ 升到 0.368。圆盘是更愿意弯了，还是更不愿意？球冠的弯曲量变了吗？

3. 假设有一个与实验形状相同的凝胶圆环， $K=0.11\ \mathrm{cm^{-2}}$ ，宽 $1/\sqrt{K}=3.02\ \mathrm{cm}$ 。屈曲临界厚度是多少？Efrati 等人 0.6 到 0.75 mm 的凝胶处在哪里？