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Sandbox Physics
几何弹性 · 边学边做实验

L2 · 第 5 章

平面容不下的生长

各处不均匀的生长，告诉每一小块该有多长，而不是该放在哪里。假如生长让圆盘每一圈都短于 2πr2\pi r，半径却保持不变，这正是球面上的长度。高斯证明，曲面的弯曲程度单凭长度就能读出来。平面不弯，所以平的圆盘不可能具有这些长度：它要么在面内拉伸，要么弯出平面，变成恰好具有这些长度的一块球面。实验中要求 K=1K=1 的圆盘，可选的球冠高 0.541。

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生长给的是长度，不是形状

Efrati、Sharon 和 Kupferman（2009）从一块凝胶圆盘讲起：它边缘收缩得多，中心收缩得少。每一小块沿厚度方向收缩得一样，所以凝胶没有理由向上或向下弯。它得到的是相邻点之间一套新的“理想距离”，即目标度规。

如果空间中有某个曲面具有这些距离，薄片就能取那个形状，中面没有应变。如果没有这样的曲面，薄片无论取什么形状，总有地方受应变。Efrati 等人把这种薄片叫作非欧板，把它的弹性能写成两项：相对目标度规的拉伸能，加上弯曲能。

从圆周长读出曲率

设想一个圆盘，沿半径的距离不变，但半径 rr 处那一圈的周长应为 2πΦ(r)2\pi\Phi(r)。目标度规就是 dsˉ2=dr2+Φ2dθ2d\bar{s}^{2}=dr^{2}+\Phi^{2}d\theta^{2}，即 Efrati 等人的式 4.1，它的高斯曲率为 K=−Φ′′/ΦK=-\Phi''/\Phi。平的薄片上 Φ=r\Phi=r，K=0K=0。

实验取 Φ=sin⁡(K r)/K\Phi=\sin(\sqrt{K}\,r)/\sqrt{K}，各处 KK 相同。rr 较小时，每一圈比 2πr2\pi r 短 Kr2/6Kr^{2}/6 的比例。在薄片上拿直尺和卷尺量一量，就能求出 KK。

dsˉ2=dr2+Φ(r)2 dθ2,K=−Φ′′Φ,Φ=sin⁡(K r)K≈r(1−Kr26)d\bar{s}^{2}=dr^{2}+\Phi(r)^{2}\,d\theta^{2},\qquad K=-\frac{\Phi''}{\Phi},\qquad \Phi=\frac{\sin(\sqrt{K}\,r)}{\sqrt{K}}\approx r\Bigl(1-\frac{Kr^{2}}{6}\Bigr)

平的薄片为什么做不到

高斯证明：曲面只弯不拉时，高斯曲率不会改变，因为它完全由曲面内量出的长度决定。平的薄片 K=0K=0，只弯不拉，怎么也弯不出 K=1K=1。如果躺平，它就必须拉伸。

半径为 1/K1/\sqrt{K} 的球面恰好具有目标长度：沿球面离极点 rr 的那一圈，半径正是 sin⁡(K r)/K\sin(\sqrt{K}\,r)/\sqrt{K}。圆盘只要变成这个球面上的一个环带，也就是球冠，就不必拉伸。球冠仍是弯的，仍然储存能量：Efrati 等人强调，非欧板不存在无应力的状态。它的镜像，即翻过来的球冠，长度相同、弯曲相同，是同样好的选择。

弯曲的薄片不肯被压平

薄片一旦弯起来，同样的道理让它变得很硬。把半径为 RR 的球壳向内推 ww，每一圈都缩短 w/Rw/R 的比例。这就是拉伸，代价与 Eh (w/R)2Eh\,(w/R)^{2} 成正比，远大于把平板弯同样多。

Pandey 等人（2014）在描述球冠振动的式 9 里用的正是这一项，研究对象是能从桌上跳起来的跳跳碗。实验里把球冠翻面时，能量先升到球冠的约六倍，因为中间的形状保不住目标长度。

ρsh ∂2w∂t2+B ∇4w+EhR2 w=0\rho_{s}h\,\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}+B\,\nabla^{4}w+\frac{Eh}{R^{2}}\,w=0

完整例题

长足之后的实验圆盘

实验的圆盘是 0.1≤r≤1.10.1\le r\le1.1 的圆环，要求 K=1K=1。外缘应长 2πsin⁡1.1=5.6002\pi\sin1.1=5.600，平的外缘在半径 1.1 处长 2π×1.1=6.9122\pi\times1.1=6.912，目标短了 19.0%，与小曲率估计 Kr2/6=20.2 %Kr^{2}/6=20.2\,\% 相近。目标面积 2π(cos⁡0.1−cos⁡1.1)=3.4022\pi(\cos0.1-\cos1.1)=3.402，比平圆环的 3.770 少 9.8%。

无拉伸的选择，是单位球面上离极点 0.1 到 1.1 之间的环带，高 H0=cos⁡0.1−cos⁡1.1=0.541H_{0}=\cos0.1-\cos1.1=0.541。实验里，薄圆盘预设最终的穹顶高度是这个球冠的 0.999。Efrati 等人凝胶的 K=0.11 cm−2K=0.11\ \mathrm{cm^{-2}}，相当于半径 1/0.11=3.02 cm1/\sqrt{0.11}=3.02\ \mathrm{cm} 的球面。

2πsin⁡1.12π×1.1=5.6006.912=0.810,H0=cos⁡0.1−cos⁡1.1=0.541\frac{2\pi\sin1.1}{2\pi\times1.1}=\frac{5.600}{6.912}=0.810,\qquad H_{0}=\cos0.1-\cos1.1=0.541

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

  1. 播放“薄圆盘长成球冠”之前先猜：圆盘会升到球冠的全高 H0=0.541H_{0}=0.541，还是远低于它？翻过来的球冠能量更高、更低，还是一样？
  2. 在非欧板实验里先播放“薄圆盘长成球冠”，再播放“球冠一下翻面”。比较最后的穹顶高度，以及翻面前后的能量读数。
  3. 用高斯的结论和球面上圆圈的半径 sin⁡(K r)/K\sin(\sqrt{K}\,r)/\sqrt{K}，解释薄圆盘为什么几乎正好停在球冠上，镜像球冠的能量又为什么相同。
让平的圆盘长成穹顶

圆盘实验在 80 个径向单元上，随给定的生长逐帧求 Efrati、Sharon 与 Kupferman 轴对称能量的平衡形状。

试着自己解释

1. Efrati 等人的凝胶 K=0.11 cm−2K=0.11\ \mathrm{cm^{-2}}。沿薄片量，离中心 2 cm 的那一圈有多长？

展开答案与解释

2πsin⁡(0.3317×2)/0.3317=11.66 cm2\pi\sin(0.3317\times2)/0.3317=11.66\ \mathrm{cm}，平的薄片上是 4π=12.57 cm4\pi=12.57\ \mathrm{cm}，短了 7.2%。估计值 Kr2/6=7.3 %Kr^{2}/6=7.3\,\% 很接近，因为 K r=0.66\sqrt{K}\,r=0.66 仍然不大。

2. 预设“轻微生长，浅浅的球冠”要求 K=0.3K=0.3。无拉伸球冠多高？外缘短了多少？

展开答案与解释

H0=(cos⁡0.0548−cos⁡0.6025)/0.5477=0.319H_{0}=(\cos0.0548-\cos0.6025)/0.5477=0.319。外缘目标长 2πsin⁡(0.6025)/0.5477=6.5012\pi\sin(0.6025)/0.5477=6.501，平的是 6.912，短 5.9%，所以这个圆盘只需升起很少。

3. 一张纸能卷成圆筒而不拉伸，却包不住一个球。用高斯曲率解释这两件事。

展开答案与解释

圆筒只在一个方向弯，两个主曲率之积，即高斯曲率，为零，与平纸相同。球面 K=1/R2>0K=1/R^{2}>0，高斯定理不允许不改变长度就到达它，所以纸只能起皱或撕开。

可以放在旁边读的来源

  1. Pandey, Moulton, Vella & Holmes, Dynamics of snapping beams and jumping poppers, EPL 105, 24001 (2014), arXiv:1310.3703v2

    连同补充材料完整读过：动力学梁方程与积分形式的胡克定律（式 1、2），d/S 的三个区间与 S 形分支上的力（式 3），线性稳定性问题（式 4、5），增长率 24.113 与临界附近的近似式（式 6、7），振荡频率 42.38 和 44.36，弹跳玩具的壳方程（式 9），以及图 1 至图 5。

  2. Efrati, Sharon & Kupferman, Elastic theory of unconstrained non-Euclidean plates, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 57, 762 (2009), arXiv:0810.2411v1

    完整读过：非欧板的定义，以及它为什么不能既平又无应变（第 3 节）；能量等于拉伸项乘 h 加弯曲项乘 h 的三次方；轴对称参考度规与能量（式 4.1、4.2）；约 0.3 的屈曲厚度、更小的交叉厚度以及能量不平分（4.2 节，图 4.1、4.2）；还有靠不均匀收缩获得每平方厘米 0.11 高斯曲率的凝胶圆盘。

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