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Sandbox Physics
几何弹性 · 边学边做实验

L4 · 第 8 章

读懂突跳梁那篇论文

Pandey、Moulton、Vella 和 Holmes 的《Dynamics of snapping beams and jumping poppers》（EPL 105, 24001, 2014）共五幅图、十个编号方程，推导放在补充材料里。论证只有一个控制参数 d/Sd/S，三种按压区间，两个时间尺度：突跳的增长和之后的振荡。就按这个顺序读。每看一幅图，先问清楚某个点来自实验、来自允许大斜率的 Kirchhoff 数值解，还是来自小倾角公式，再核对能自己重算的常数。

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论文主张了什么

摘要有三个主张。可拉伸度 S=h2/12L2S=h^{2}/12L^{2} 决定受压的拱保持对称还是扭转；它也决定突跳增长得多快、之后振荡得多快；拱和突跳的球壳，振荡遵循同一种标度，时间正比于 L2/chL^{2}/ch，cc 是声速。

读的时候把三个主张分开。第一个由力曲线检验（图 2），第二个由高速摄像检验（图 3、图 4），第三个由玩具的声音检验（图 5）。

图 1 与图 2a：研究对象

图 1 是动机：一个橡胶跳跳碗从桌面上跳起，E≈25 MPaE\approx25\ \mathrm{MPa}、ρ≈1200 kg m−3\rho\approx1200\ \mathrm{kg\,m^{-3}}。图 2a 才是真正的实验：聚乙烯基硅氧烷薄条，E=789.49 kPaE=789.49\ \mathrm{kPa}，两端埋在固化的硅橡胶里，由 Instron 微型试验机上的剃须刀片在顶点按压，力传感器量程 0.5 N。刀片控制的是位置，不是力。

用了两种薄条，S1=1.912×10−4S_{1}=1.912\times10^{-4} 和 S2=9.706×10−4S_{2}=9.706\times10^{-4}，即 h/L=(12S)1/2h/L=(12S)^{1/2} 分别为 0.048 和 0.108。小图 (i)(ii) 是深拱先扭转再突跳；(I)(II) 是浅拱先压平再突跳。

式 1 到式 3：三行写下的模型

式 1 是以刀片为集中力的动力学梁方程，式 2 是把端部缩短变成压力的胡克定律，式 3 是扭转分支上的力。论文用这个小倾角（Föppl–von Kármán）模型推公式、做渐近分析，但与实验比较时用的是允许大斜率的 Kirchhoff 杆方程数值解。图中虚线和实线不重合，通常就是这个原因。

三个常数几行代码就能重算：由 tan⁡(τ/2)=τ/2\tan(\tau/2)=\tau/2 得到的 τmax⁡\tau_{\max}、斜率 207.75 和系数 129.53。第三章推导了它们；本课程的基准测试重算得到 8.9868、207.745 和 129.530。

τmax⁡2=80.76,f=−207.75 w0,f(c)=−129.53 (d−80.76 S)1/2\tau_{\max}^{2}=80.76,\qquad f=-207.75\,w_{0},\qquad f^{(c)}=-129.53\,\bigl(d-80.76\,S\bigr)^{1/2}

图 2b 到 2d：力曲线

小图 b 画对称的拱；c 画两个扭转的拱，d/Sd/S 各不相同；d 画 S1S_{1} 薄条的临界力怎样随 dd 变化。对小图 d，式 3 是不含拟合参数的预测：曲线从 d=80.76 S1=0.0154d=80.76\,S_{1}=0.0154 开始，按平方根上升。

有两个细节要留意。对称区间只用较厚的薄条展示，因为论文指出那里薄条自重变得重要。另外，小图 b 和 c 里，力和中点高度同时降到零。论文正是用这一观察解释突跳发生在哪里：刀片不能往回拉，所以在 w0=0w_{0}=0 处失去接触。

图 3：看一次突跳

每秒 3000 帧的相机跟踪中点，从松开瞬间的 A 到反向拱 B，之后它像弱阻尼振子一样振荡。插图以对数纵轴画出中点挠度的绝对值。那里的一段直线意味着指数增长；它以秒的倒数计的斜率乘上 t∗t^{*}，就是无量纲增长率 σ\sigma。

读这类图时，要看直线段覆盖的振幅是否超过几倍，时间轴是否已经换算过。拟合区间太短，说明不了指数。

图 4：增长率和振荡频率怎样随约束变化

主图画的是 σ\sigma 随约束度 d/Sd/S 的变化：点是实验，实线是数值解，虚线是临界附近的式 6 和式 7。80.76 以下，增长率随约束增强而上升；以上，小倾角模型给出常数 24.113，而 Kirchhoff 数值解仍对 d/Sd/S 有微弱依赖。

插图画的是振荡频率。它从欧拉临界开始上升，Kirchhoff 数值解在 d/S=122.4d/S=122.4 处达到 42.38，此后不变。补充材料给出小倾角模型里同一平台的值 44.36。式 8 把平台值换算成振荡时间 tr=0.148 t∗≈0.513 L2/cht_{r}=0.148\,t^{*}\approx0.513\,L^{2}/ch。

σ≈24.113(d/S>80.76),tr=2πω t∗≈0.148 t∗≈0.513 L2c h\sigma\approx24.113\quad(d/S>80.76),\qquad t_{r}=\frac{2\pi}{\omega}\,t^{*}\approx0.148\,t^{*}\approx0.513\,\frac{L^{2}}{c\,h}

图 5 与式 9、10：从薄条到跳跳碗

对球冠，式 9 在梁方程里加上曲率带来的拉伸项，式 10 给出它的振荡时间，其中含一个数值求得的特征值 3.196。对大多数壳，式 10 的括号接近 1，取 ν≈1/2\nu\approx1/2 得 tr≈0.133 t∗t_{r}\approx0.133\,t^{*}，长度取球冠底面直径。

图 5 以 t∗t^{*} 为横轴，画出薄条和球壳实测的振荡时间；球壳的频率来自麦克风录下的“啪”声。两组数据都符合预测的正比关系。要分清它证明了什么、没证明什么：它检验的是突跳之后的振荡，而不是球壳突跳有多快。可拉伸度怎样影响球壳的突跳增长率，正是作者在结尾留下的开放问题。

完整例题

重算论文中的一个点

取较薄的薄条 S1=1.912×10−4S_{1}=1.912\times10^{-4}、d=0.03d=0.03。于是 d/S1=156.9d/S_{1}=156.9，高于 80.76，拱会扭转。式 3 给出 ∣f(c)∣=129.53 (0.03−0.01544)1/2=15.63|f^{(c)}|=129.53\,(0.03-0.01544)^{1/2}=15.63，此时 w0=0.6235×0.12066=0.0752w_{0}=0.6235\times0.12066=0.0752。由于 d/Sd/S 也高于 122.4，突跳应以约 24.1 的增长率展开，并以 Kirchhoff 平台值 42.38 振荡，tr=0.148 t∗t_{r}=0.148\,t^{*}。

实验里最接近的设置是 h/L=0.048h/L=0.048、端部缩短 3%，于是 S=1.92×10−4S=1.92\times10^{-4}、d/S=156.25d/S=156.25，式 3 给出 15.59。实验的 48 段薄条记录到 15.50，低 0.6%；增长率 21.12，有阻尼的预测为 21.23；振荡 43.9，预测 44.05。这些数字都是拿实验和论文的理论比；论文实测的薄条只出现在它自己的图里。

dS1=0.031.912×10−4=156.9,∣f(c)∣=129.53×0.1207=15.63\frac{d}{S_{1}}=\frac{0.03}{1.912\times10^{-4}}=156.9,\qquad |f^{(c)}|=129.53\times0.1207=15.63

这篇论文今天的位置

Gomez、Moulton 和 Vella（2017）指出，用 t∗t^{*} 估计的突跳往往比实测更快，过去把差距归于耗散。在他们那根一端斜夹、刚越过折叠点就松开的薄条里，慢下来的原因其实是临界慢化，时间按 Δμ−1/4\Delta\mu^{-1/4} 增长。

这与 Pandey 等人并不矛盾。后者的薄条从真正不稳定的形状上松开，增长率有限；Gomez 等人的薄条从一个刚刚消失的形状旁边出发。把任一个时间尺度用到新实验之前，先问清楚松开时更像哪一种情形。

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

  1. 把拱实验设为 h/L=0.048h/L=0.048、端部缩短 3%，接近论文中较薄的薄条。播放之前，用式 3 预测刀片的最大推力，再用 σ=24.113\sigma=24.113 和阻尼 6 预测增长率。
  2. 推一次，读出力、增长率和振荡频率。然后逐步减小端部缩短量，直到力曲线上的直线段消失，记下此时显示的约束度。
  3. 用式 3、有阻尼的增长率公式和振荡平台值解释每个读数，并说明直线段为什么在 d/S=80.76d/S=80.76 附近消失。
压一道夹紧的拱，直到它突跳

拱实验在 48 段网格上求解含中线拉伸的夹紧梁方程，由一片只能压、不能拉的刀片在中点推压。

试着自己解释

1. 对较厚的薄条 S2=9.706×10−4S_{2}=9.706\times10^{-4}，端部缩短多少时处于图 2b 的对称区间？

展开答案与解释

4π2S2=0.03834\pi^{2}S_{2}=0.0383 到 80.76 S2=0.078480.76\,S_{2}=0.0784，即缩短 3.8% 到 7.8%。对 S1S_{1}，同一区间是 0.75% 到 1.54%，那时拱很低，正如论文所说，自重不可忽略。

2. 设一个跳跳碗底面直径 3 cm、厚 1 mm，材料取图 1 的 E≈25 MPaE\approx25\ \mathrm{MPa}、ρ≈1200 kg m−3\rho\approx1200\ \mathrm{kg\,m^{-3}}。估计它“啪”一声的频率。

展开答案与解释

t∗=0.032 (12×1200/(25×106×10−6))1/2=9×10−4×24=0.0216 st^{*}=0.03^{2}\,(12\times1200/(25\times10^{6}\times10^{-6}))^{1/2}=9\times10^{-4}\times24=0.0216\ \mathrm{s}。取 tr≈0.133 t∗=2.87 mst_{r}\approx0.133\,t^{*}=2.87\ \mathrm{ms}，声音在 350 Hz 附近。直径和厚度是这里假设的，不是论文给的。

3. 有读者拟合图 3 的插图，对 d/S=200d/S=200 的拱得到以 t∗t^{*} 为单位的增长率 30。在断言不符之前，你会先查什么？

展开答案与解释

先查换算：以秒的倒数计的斜率要乘 t∗t^{*}，这需要 LL、hh、EE 和 ρs\rho_{s}。再查拟合区间：振幅范围很小的直线段定不了指数。最后查模型：24.113 是小倾角模型的值；图 4 给出的是 Kirchhoff 数值解和实验数据，实测点应当和它们比。

4. Gomez 等人（2017）和 Pandey 等人（2014）都用 t∗t^{*}。为什么一个预测的突跳时间在 0.04 t∗0.04\,t^{*} 左右，另一个却是 0.3 t∗0.3\,t^{*} 甚至更长？

展开答案与解释

Pandey 等人从不稳定平衡态松开，e 倍增长时间为 t∗/24.113=0.041 t∗t^{*}/24.113=0.041\,t^{*}。Gomez 等人在折叠点旁边松开，那里没有增长模式；突跳时间 0.179 Δμ−1/4 t∗0.179\,\Delta\mu^{-1/4}\,t^{*} 在 Δμ=0.1\Delta\mu=0.1 时为 0.32 t∗0.32\,t^{*}，越靠近折叠点越长。

可以放在旁边读的来源

  1. Pandey, Moulton, Vella & Holmes, Dynamics of snapping beams and jumping poppers, EPL 105, 24001 (2014), arXiv:1310.3703v2

    连同补充材料完整读过：动力学梁方程与积分形式的胡克定律（式 1、2），d/S 的三个区间与 S 形分支上的力（式 3），线性稳定性问题（式 4、5），增长率 24.113 与临界附近的近似式（式 6、7），振荡频率 42.38 和 44.36，弹跳玩具的壳方程（式 9），以及图 1 至图 5。

  2. Gomez, Moulton & Vella, Critical slowing down in purely elastic “snap-through” instabilities, Nature Physics (2017), arXiv:1609.03809v2

    读过正文和方法部分：弹性时间尺度（式 2），反向拱不复存在的折叠点，振幅方程（式 7）及其起初按时间平方增长的解，突跳时间随与折叠点距离的负四分之一次方增长（式 9、图 4），以及 PET 和不锈钢薄条的材料参数。附带的补充推导没有细读。

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