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Sandbox Physics
几何弹性 · 边学边做实验

L3 · 第 7 章

Kresling 折纸与它的无应力形状

Kresling 单元是用三角形连起来的两个多边形，Yasuda 等人（2017）把纸面换成沿折痕的弹簧。折痕长度同时取决于高度和扭转角，所以可能不止一个形状能让所有折痕回到自然长度。算下来，只要高度公式给出实数，就在扭转 π−2θ0\pi-2\theta_{0} 处存在第二个所有折痕都处于自然长度的形状。这样的单元是双稳的；没有这个形状，它就弹回去，或者一路塌到两板相碰。θ0=90∘\theta_{0}=90^{\circ} 时两个形状合二为一，第一下按压感受不到刚度。

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一个由弹簧组成的圆筒

把一条纸折成一圈三角形再首尾相接，就得到一个越扭越短的圆筒。Yasuda 等人称之为三角化圆柱折纸。纸面在折叠时会翘曲、磨损，他们干脆只留下折痕：nn 条谷折痕长 aa，nn 条峰折痕长 bb，每条都是劲度 kk 的线性弹簧。弹簧两端连着两个正 nn 边形，顶点都在半径 RR 的圆上。

单元有两个坐标：相对起始高度 h0h_{0} 的压缩量 uu，以及顶板相对起始角 θ0\theta_{0} 多转的角度 ϕ\phi。每条折痕都是一个直角三角形的斜边，两条直角边是高度和圆上的一根弦，这就是论文方法部分的式 1。储存的能量是各弹簧能量之和。

a2=(h0−u)2+4R2sin⁡2α,b2=(h0−u)2+4R2sin⁡2β,α,β=θ0+ϕ2∓π2n,U=nk2[(a−a0)2+(b−b0)2]a^{2}=(h_{0}-u)^{2}+4R^{2}\sin^{2}\alpha,\quad b^{2}=(h_{0}-u)^{2}+4R^{2}\sin^{2}\beta,\quad \alpha,\beta=\frac{\theta_{0}+\phi}{2}\mp\frac{\pi}{2n},\quad U=\frac{nk}{2}\bigl[(a-a_{0})^{2}+(b-b_{0})^{2}\bigr]

第二个无应力形状

不储存能量的形状要求同时 a=a0a=a_{0}、b=b0b=b_{0}。两条折痕公式相减，高度就消掉了：b2−a2=4R2sin⁡(α+β)sin⁡(π/n)b^{2}-a^{2}=4R^{2}\sin(\alpha+\beta)\sin(\pi/n)。它必须保持初值，所以 sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) 也必须保持。除了起点本身，唯一的办法是 α+β=π−θ0\alpha+\beta=\pi-\theta_{0}，即总扭转角 π−θ0\pi-\theta_{0}，多转 ϕ2=π−2θ0\phi_{2}=\pi-2\theta_{0}。

把这个扭转角代回任一条折痕，就得到高度 H2H_{2}。只有 H22>0H_{2}^{2}>0 时这个形状才存在。弹簧能量最低就是零，所以这个形状是第二个极小：单元是双稳的，单靠几何就能合住。

ϕ2=π−2θ0,H22=h02+4R2[sin⁡2(θ02−π2n)−cos⁡2(θ02+π2n)]\phi_{2}=\pi-2\theta_{0},\qquad H_{2}^{2}=h_{0}^{2}+4R^{2}\Bigl[\sin^{2}\Bigl(\frac{\theta_{0}}{2}-\frac{\pi}{2n}\Bigr)-\cos^{2}\Bigl(\frac{\theta_{0}}{2}+\frac{\pi}{2n}\Bigr)\Bigr]

三种单元

Yasuda 等人做的单元取 R=90 mmR=90\ \mathrm{mm}、n=5n=5。(h0,θ0)=(150 mm,40∘)(h_{0},\theta_{0})=(150\ \mathrm{mm},40^{\circ}) 时沿能量谷有两个极小；(90 mm,46∘)(90\ \mathrm{mm},46^{\circ}) 时能量只升不降。公式与此一致：前者 H2=49.2 mmH_{2}=49.2\ \mathrm{mm}，后者 H22=−10108 mm2H_{2}^{2}=-10108\ \mathrm{mm^{2}}，没有第二个形状。

还有第三种结局，在公式之外。没有第二个形状时，能量仍可能沿着谷一路下降，单元就一直塌到两板相碰。单靠弹簧，两块板可以互相穿过、变成镜像单元，真实的圆筒做不到。实验因此自己加了一条论文桁架里没有的假设：一个很硬的接触，让两板至少相距 0.1 R，也就是 9 mm。

没有刚度的起点

让扭转自由，往下按。单元最初的抵抗就是起点处的轴向刚度，等于能量 Hessian 的行列式除以其扭转分量。把折痕导数写出来，分子正比于 (sin⁡2α0−sin⁡2β0)2(\sin2\alpha_{0}-\sin2\beta_{0})^{2}，当 α0+β0=π/2\alpha_{0}+\beta_{0}=\pi/2，即 θ0=π/2\theta_{0}=\pi/2 时为零，与 h0h_{0}、RR、nn、kk 都无关。Yasuda 等人指出这种零刚度模式与 kk 和 h0h_{0} 无关，证明放在补充材料里。

第二个形状能解释这一点。θ0=90∘\theta_{0}=90^{\circ} 时 ϕ2=0\phi_{2}=0、H2=h0H_{2}=h_{0}：两个无应力形状重合，起点附近能量随压缩量的四次方增长。92∘92^{\circ} 时两者相距 3.2 mm、4∘4^{\circ}，刚度为 6.86×10−4 nk6.86\times10^{-4}\,nk，是单稳单元 0.610 nk 的 0.112%、双稳单元 0.853 nk 的 0.080%。论文对带 9.7∘9.7^{\circ} 校正角的样机给出 0.26% 和 0.18%；两组数都极小。

kaxialnk=(aubϕ−aϕbu)2aϕ2+bϕ2 ∝ (sin⁡2α0−sin⁡2β0)2=0当θ0=π2\frac{k_{\mathrm{axial}}}{nk}=\frac{\bigl(a_{u}b_{\phi}-a_{\phi}b_{u}\bigr)^{2}}{a_{\phi}^{2}+b_{\phi}^{2}}\ \propto\ \bigl(\sin2\alpha_{0}-\sin2\beta_{0}\bigr)^{2}=0\quad\text{当}\quad\theta_{0}=\frac{\pi}{2}

一直折到薄片碰到自己

Diamant 和 Witten（2011）在另一种薄片里遇到了同样的结局。他们那张漂在液面上的薄膜屈曲成一道褶，越推越深。褶的精确解一直算到褶与自身相碰之后，相碰时推力约为 0.040、端部位移约为 5.6（他们的单位）；再往后，解会穿过自身，没有物理意义。

两种情形里，单靠弹性能都不知道薄片不能穿过自己。模型必须另加这条规则，运动在哪里停下，就取决于它。

完整例题

咔嗒合上的那个单元

取 h0=150 mmh_{0}=150\ \mathrm{mm}、θ0=40∘\theta_{0}=40^{\circ}、n=5n=5、R=90 mmR=90\ \mathrm{mm}。于是 π/2n=18∘\pi/2n=18^{\circ}，折痕初始长度 a0=(1502+32400sin⁡22∘)1/2=150.13 mma_{0}=(150^{2}+32400\sin^{2}2^{\circ})^{1/2}=150.13\ \mathrm{mm}、b0=(1502+32400sin⁡238∘)1/2=186.50 mmb_{0}=(150^{2}+32400\sin^{2}38^{\circ})^{1/2}=186.50\ \mathrm{mm}。

H22H_{2}^{2} 里的方括号为 sin⁡22∘−cos⁡238∘=0.00122−0.62096=−0.61974\sin^{2}2^{\circ}-\cos^{2}38^{\circ}=0.00122-0.62096=-0.61974，所以 H22=22500−20080=2420 mm2H_{2}^{2}=22500-20080=2420\ \mathrm{mm^{2}}，H2=49.2 mmH_{2}=49.2\ \mathrm{mm}，顶板再转 180∘−80∘=100∘180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}。总扭转角为 140∘140^{\circ} 时，32400sin⁡252∘+2420=22539=a0232400\sin^{2}52^{\circ}+2420=22539=a_{0}^{2}，32400sin⁡288∘+2420=34781=b0232400\sin^{2}88^{\circ}+2420=34781=b_{0}^{2}。实验里，夹具在压缩 0.233 h0=34.9 mm0.233\,h_{0}=34.9\ \mathrm{mm} 处松手，那里要保持住就得往上拉；单元最后停在 49.2 mm、100∘100^{\circ}。

H2=(22500−32400×0.61974)1/2=49.2 mm,ϕ2=100∘H_{2}=\bigl(22500-32400\times0.61974\bigr)^{1/2}=49.2\ \mathrm{mm},\qquad \phi_{2}=100^{\circ}

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

  1. 按之前先判断：h0=140 mmh_{0}=140\ \mathrm{mm}、θ0=40∘\theta_{0}=40^{\circ} 的单元会咔嗒合上、弹回去，还是一路压扁？用条件 H22>0H_{2}^{2}>0 来判断。
  2. 在 Kresling 实验里依次播放“双稳态单元咔嗒合上”“单稳态单元弹回原形”和“起初几乎没有刚度”。然后把高度设为 140 mm、扭转角设为 40°，亲手按压顶板。
  3. 用 H22H_{2}^{2} 解释每种结局，并说明 92° 的单元为什么几乎不抵抗第一下按压，往里压却又很硬。
按压一个 Kresling 折纸圆筒

Kresling 实验采用 Yasuda 等人的桁架模型，把每条折痕当成线性弹簧，两块板相距 9 mm 时由接触挡住。

试着自己解释

1. θ0=40∘\theta_{0}=40^{\circ}、n=5n=5、R=90 mmR=90\ \mathrm{mm} 时，最矮多高的单元仍是双稳的？

展开答案与解释

双稳要求 h02>32400×0.61974=20080 mm2h_{0}^{2}>32400\times0.61974=20080\ \mathrm{mm^{2}}，即 h0>141.7 mmh_{0}>141.7\ \mathrm{mm}。145 mm 的预设刚好在它之上，H2=30.7 mmH_{2}=30.7\ \mathrm{mm}；140 mm 时没有第二个形状，实验中的单元会一直塌到接触面上。

2. 证明 (90 mm, 46°) 的单元没有第二个无应力形状。

展开答案与解释

π/2n=18∘\pi/2n=18^{\circ}，方括号为 sin⁡25∘−cos⁡241∘=0.0076−0.5696=−0.5620\sin^{2}5^{\circ}-\cos^{2}41^{\circ}=0.0076-0.5696=-0.5620，H22=8100−18208=−10108 mm2H_{2}^{2}=8100-18208=-10108\ \mathrm{mm^{2}}。没有哪个实数高度能让两条折痕同时复原，所以沿能量谷能量只升不降，单元弹回去。

3. 保持 (150 mm,40∘)(150\ \mathrm{mm},40^{\circ})，但改用六边形，n=6n=6。单元还是双稳的吗？

展开答案与解释

此时 π/2n=15∘\pi/2n=15^{\circ}，方括号为 sin⁡25∘−cos⁡235∘=−0.6634\sin^{2}5^{\circ}-\cos^{2}35^{\circ}=-0.6634，H22=22500−21495=1005 mm2H_{2}^{2}=22500-21495=1005\ \mathrm{mm^{2}}，H2=31.7 mmH_{2}=31.7\ \mathrm{mm}。仍然双稳，但折得更扁，因为双稳的高度门槛升到了 146.6 mm。

可以放在旁边读的来源

  1. Diamant & Witten, Compression induced folding of a sheet: an integrable system, Physical Review Letters 107, 164302 (2011), arXiv:1107.5505v1

    完整读过：液面上薄片的褶皱波长，精确的折叠形状（式 12），压力随推入量按二次式精确下降，以及对称折叠自身接触的位置，此时压力约为 0.040（论文的单位）。

  2. Yasuda, Tachi, Lee & Yang, Origami-based tunable truss structures for non-volatile mechanical memory operation, Nature Communications 8, 962 (2017), arXiv:1702.05402v1

    读过正文和方法部分：含两种折痕长度的桁架模型及其储存能量（方法部分式 1、2），四个样机 (90 mm, 46°)、(150 mm, 40°)、(140 mm, 92°)、(119 mm, 0°)，多边形半径 90 mm，校准角 9.7°；起始扭转角为直角时的零刚度单元，刚度比 0.26% 和 0.18%，以及劲度 3.32 kN/m 的弹簧。补充材料没有读。

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