L1 · 第 1 章

薄片为什么宁可弯曲，也不肯拉长

拉伸时，薄条每一层的应变都一样，所以代价与厚度成正比；弯曲时，每一层的应变与它到中面的距离成正比，所以代价与厚度的三次方成正比。两者之比就是可拉伸度 $S=h^{2}/12L^{2}$ ，一张纸大约只有一千万分之一。薄结构只要有办法避免拉伸，就会选那种形状。这门课里的一切，都从这一点出发。

Sandbox Physics · 2026-10-30

一根薄条，两种变形

取一根长 $L$ 、宽 $b$ 、厚 $h$ 的薄条，材料的杨氏模量为 $E$ 。沿薄条取 $x$ 轴，沿厚度取 $z$ 轴，中面上 $z=0$ 。应变是长度的改变量除以原长，没有单位。

拉伸薄条，让每一层都伸长同样的应变 $\varepsilon$ 。由胡克定律，截面 $hb$ 上的应力是 $E\varepsilon$ ，整根薄条就像一根劲度为 $Ehb/L$ 的弹簧。它储存的能量见下式，与 $h$ 成正比。

U_{\mathrm{s}}=\tfrac{1}{2}\,Ehb\,L\,\varepsilon^{2}

弯曲的代价为什么是厚度的三次方

现在把薄条弯成半径为 $\rho$ （曲率 $\kappa=1/\rho$ ）的圆弧，中面的长度保持不变。高度为 $z$ 的那一层落在半径 $\rho+z$ 的圆弧上，应变为 $z/\rho=z\kappa$ ：外侧伸长，内侧缩短，中面不变。

每一层单位体积的能量是 $\tfrac12E(z\kappa)^{2}$ 。从 $-h/2$ 加到 $h/2$ ，出现积分 $\int z^{2}\,dz=h^{3}/12$ ，这就定义了弯曲刚度 $B$ 。如果是不能侧向收缩的板， $B=Eh^{3}/12(1-\nu^{2})$ ， $\nu$ 是泊松比；Pandey 等人处理壳时用的就是这个形式。 $h$ 的三次方不变。

U_{\mathrm{b}}=\tfrac{1}{2}\,B\,L\,\kappa^{2},\qquad B=Eb\int_{-h/2}^{h/2}z^{2}\,dz=\frac{Ebh^{3}}{12}

用一个数比较两者：可拉伸度

问一个问题：多大的拉伸应变，代价恰好等于把整根薄条弯成半径为 $L$ 的圆弧？令 $\tfrac12EhbL\varepsilon^{2}$ 等于 $\tfrac12B/L$ ，得到 $\varepsilon^{2}=h^{2}/12L^{2}$ 。Pandey 等人（2014）把这个比值叫作可拉伸度 $S$ 。厚 0.1 mm、长 100 mm 的纸， $S=8.3\times10^{-8}$ ：只拉长 0.03%，代价就和把整张纸弯成半径 100 mm 的圆弧一样大。

把两端推近长度的 $d$ 倍，以 $B/L$ 为单位，能量由弯曲项和以 $1/S$ 加权的拉伸项组成。括号里是中面剩下的应变：端部缩短量减去挠度 $w(x)$ 的斜率 $w'$ 多占用的长度，下一章会推导它。Efrati、Sharon 和 Kupferman（2009）对板写出的也是同样的拆分：拉伸项乘 $h$ ，加上弯曲项乘 $h^{3}$ 。

\frac{U}{B/L}=\frac12\int_{-1/2}^{1/2}w''^{2}\,dx+\frac{1}{2S}\Bigl(d-\frac12\int_{-1/2}^{1/2}w'^{2}\,dx\Bigr)^{2},\qquad S=\frac{h^{2}}{12L^{2}}

完整例题

把实验里薄条的两端推近

拱实验的深拱预设取 $h/L=0.03$ ，于是 $S=0.03^{2}/12=7.5\times10^{-5}$ ；两端被推近 $d=0.0225$ ，即长度的 2.25%。比较消化这段缩短量的两种办法，每种办法先判断能量里哪一项留下来。

保持平直时 $w=0$ ，只剩拉伸项： $d^{2}/2S=0.0225^{2}/(1.5\times10^{-4})=3.375$ ，单位是 $B/L$ 。完全不拉伸、只靠弯曲，就需要一个形状，让斜率恰好用掉全部缩短量。夹紧形状 $w=\tfrac12w_{0}(1+\cos2\pi x)$ 满足 $\tfrac12\int w'^{2}dx=\pi^{2}w_{0}^{2}/4$ 、 $\tfrac12\int w''^{2}dx=\pi^{4}w_{0}^{2}$ ；令前者等于 $d$ ，弯曲能就是 $4\pi^{2}d=0.888$ 。

弯曲便宜 3.80 倍。两种能量在 $d=8\pi^{2}S$ 时相等：这根薄条是 $5.9\times10^{-3}$ ，那张纸只有 $6.6\times10^{-6}$ ，100 mm 长的纸大约 0.66 µm。纸的两端稍微一推，它就弯了。

U_{\text{平直}}=\frac{d^{2}}{2S}=3.375,\qquad U_{\text{弯曲}}=4\pi^{2}d=0.888\qquad\Bigl(\text{单位 }B/L\Bigr)

水面上的薄片和生长的圆盘也在做同样的选择

漂在水面上的薄片，从边缘往里推，它同样缩不短，于是起皱。弯曲要和它抬起的液体重量竞争，这决定了褶皱波长 $2\pi(B/\rho g)^{1/4}$ 。Diamant 和 Witten（2011）精确求出了这些褶皱怎样汇聚成一道折痕。

中心比边缘长得多的圆盘，在二维里面临同样的选择：厚圆盘靠拉伸承受，保持平坦；薄圆盘弯成穹顶。第五、六章用圆盘实验算清这件事，拖动厚度滑块，就能让圆盘从一种选择换到另一种。

带着问题动手

先预测，再改变，最后解释

拱实验的深拱预设取 $h/L=0.03$ ，约束度 $d/S=300$ 。端部缩短量不变、厚度加倍时， $d/S$ 会变成多少？薄条还需要弯很多才能消化这段缩短吗？
选“深拱先扭成 S 形再突跳”，看一次推压；再把“厚度与长度之比”设为 0.06，再看一次。
用 $S=h^{2}/12L^{2}$ 和例题里的两种能量，解释新的约束度读数，以及为什么拱变浅了。

压一道夹紧的拱，直到它突跳让平的圆盘长成穹顶

拱实验在 48 段网格上求解含中线拉伸的夹紧梁方程，由一片只能压、不能拉的刀片在中点推压。圆盘实验在 80 个径向单元上，随给定的生长逐帧求 Efrati、Sharon 与 Kupferman 轴对称能量的平衡形状。

试着自己解释

1. 一把塑料尺长 300 mm、厚 1 mm，它的可拉伸度是多少？

展开答案与解释

$S=(1/300)^{2}/12=9.3\times10^{-7}$ 。只要拉长 $\sqrt{S}\approx0.1\,\%$ ，代价就和把尺子弯成半径 300 mm 的圆弧一样大。

2. 薄条厚度减半，拉伸刚度、弯曲刚度和可拉伸度各变为原来的几分之几？

展开答案与解释

拉伸刚度 $Ehb/L$ 减半，弯曲刚度 $Ebh^{3}/12$ 变为八分之一， $S$ 变为四分之一。更薄的薄条两方面都更软，但弯曲方面软得多。

3. 浅拱预设取 $h/L=0.06$ 、 $d=0.018$ 。保持平直和不拉伸只弯曲，哪个更便宜？

展开答案与解释

$S=3\times10^{-4}$ ，保持平直的能量是 $d^{2}/2S=0.54$ ，只弯曲的能量是 $4\pi^{2}d=0.711$ 。这一比是平直赢，可实验里的薄条仍然屈曲了：压缩一部分、弯曲一部分的混合状态只要 0.477。下一章就来找这个混合状态。

可以放在旁边读的来源

Pandey, Moulton, Vella & Holmes, Dynamics of snapping beams and jumping poppers, EPL 105, 24001 (2014), arXiv:1310.3703v2
连同补充材料完整读过：动力学梁方程与积分形式的胡克定律（式 1、2），d/S 的三个区间与 S 形分支上的力（式 3），线性稳定性问题（式 4、5），增长率 24.113 与临界附近的近似式（式 6、7），振荡频率 42.38 和 44.36，弹跳玩具的壳方程（式 9），以及图 1 至图 5。
Efrati, Sharon & Kupferman, Elastic theory of unconstrained non-Euclidean plates, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 57, 762 (2009), arXiv:0810.2411v1
完整读过：非欧板的定义，以及它为什么不能既平又无应变（第 3 节）；能量等于拉伸项乘 h 加弯曲项乘 h 的三次方；轴对称参考度规与能量（式 4.1、4.2）；约 0.3 的屈曲厚度、更小的交叉厚度以及能量不平分（4.2 节，图 4.1、4.2）；还有靠不均匀收缩获得每平方厘米 0.11 高斯曲率的凝胶圆盘。
Diamant & Witten, Compression induced folding of a sheet: an integrable system, Physical Review Letters 107, 164302 (2011), arXiv:1107.5505v1
完整读过：液面上薄片的褶皱波长，精确的折叠形状（式 12），压力随推入量按二次式精确下降，以及对称折叠自身接触的位置，此时压力约为 0.040（论文的单位）。

一根薄条，两种变形

弯曲的代价为什么是厚度的三次方

用一个数比较两者：可拉伸度

把实验里薄条的两端推近

水面上的薄片和生长的圆盘也在做同样的选择

先预测，再改变，最后解释

试着自己解释

1. 一把塑料尺长 300 mm、厚 1 mm，它的可拉伸度是多少？

2. 薄条厚度减半，拉伸刚度、弯曲刚度和可拉伸度各变为原来的几分之几？

3. 浅拱预设取 h/L=0.06h/L=0.06h/L=0.06、d=0.018d=0.018d=0.018。保持平直和不拉伸只弯曲，哪个更便宜？

可以放在旁边读的来源

3. 浅拱预设取 $h/L=0.06$ 、 $d=0.018$ 。保持平直和不拉伸只弯曲，哪个更便宜？