两次点击怎样问出光子的相同与不同

先把两个出口都盯住

一个理想平衡分束器让单个光子向任一出口离开的概率相同。先送来两个能明确区分的光子，例如让它们相隔很久到达。每个光子各选一个出口，四种组合里有两种分头离开。两台探测器在同一次试验中都点击，叫一次符合。

现在让两个光子在时间、偏振和空间路径上充分重合。两个光子分头离开有两条可能路径：都透射，或者都反射。理想分束器给这两条路径相反的复振幅，它们抵消。两个出口的符合少了，两个光子倾向从同一侧离开。这就是 Hong–Ou–Mandel 干涉，常简称 HOM。

P_{\mathrm{coin}}=\frac12\quad\text{(distinguishable)},\qquad P_{\mathrm{coin}}=0\quad\text{(identical pure inputs)}

概率按每次恰好有一个光子进入每个输入端口的试验计算。零符合是理想极限。

脉冲中的不同频率像合奏里的不同音高。强度告诉你各个音高占多少，相位告诉你它们怎样在时间上对齐。两段脉冲可以有相同的频谱亮度，却在时间上拼出不同的起伏。量子光学把这样一整段有确定相位关系的波包叫一个模式。

用归一化复函数 $u(\omega)$ 表示一个模式。复数可以画成箭头，长度给振幅，方向给相位。把两个模式逐频率相乘再相加，得到重叠振幅；它的模平方是下面的重叠概率。这里 $\omega$ 是角频率，单位为每秒弧度。

\int |u(\omega)|^2\,d\omega=1,\qquad M=\left|\int u^*(\omega)v(\omega)\,d\omega\right|^2

相同模式的重叠为一，正交模式的重叠为零。“正交”表示这项复数求和抵消，即使两条强度曲线有重合也可能如此。

一箱球每次只取一个，并不保证每次取到同一种颜色。光子也一样：一次发射可以恰好有一个光子，可每次所在的波包模式不同。若只知道各种模式出现的概率，就用混合态描述。纯态指每次都能用同一条复振幅描述，跟光强大不大没有关系。

还要把两份光子的匹配单独考虑。两份各自很纯的光子，若一个偏早、另一个偏晚，干涉照样会减弱。后面会把混合程度写成纯度，把两份输入的匹配写成密度矩阵重叠。先记住实验上的两个动作：准备每份光子，再把它们对齐。

实际探测器的损失、暗计数和同一次泵浦产生多对光子都会改变点击数。先从每个端口恰好一个光子的理想概率开始，才能看出后来加入的每项效应在改变什么。

练习与解释性答案

同一次试验里只有一台探测器点击，能直接断定两个光子从同一个出口离开吗？

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只有探测效率为一、无背景且已经知道每个输入恰好一个光子时，这种推断才成立。真实装置还可能漏掉一个光子。实验一般用符合率随延迟的变化，并结合探测模型作判断。

两条频谱强度完全相同，是否足以保证 HOM 符合消失？

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还要知道相位关系，并确认时间、偏振和空间模式等其他自由度匹配。相同强度可以对应不同的复振幅；下一章会把振幅逐个存进矩阵，第三章给出只改一个相位的反例。