把一对光子的可能性写进复振幅

先约定我们留下了哪一类事件

自发参量下转换把泵浦提供的能量分给两个输出。把两路叫作信号光与闲频光，这两个名字只区分路径。低增益表示每个泵浦脉冲产生一对的概率很小，于是先研究恰好产生一对的条件态。大多数脉冲仍然是真空；两对及更多光子的影响要另建光子数模型。

下面的 $F(\omega_s,\omega_i)$ 是经过指定空间和偏振收集后的联合谱振幅，简称 JSA。下标 $s,i$ 分别指两路。归一化让所有频率组合的概率加起来为一，不给出每秒能收多少对。

|\Psi\rangle=\iint F(\omega_s,\omega_i)|\omega_s\rangle_s|\omega_i\rangle_i\,d\omega_s\,d\omega_i,\qquad \iint|F|^2\,d\omega_s\,d\omega_i=1

这是单对条件态。要预测绝对点击率，还需要对产生概率、损失、探测效率和重复频率。

泵浦的频谱先约束两路频率之和。晶体不同位置都可能产生光子对；只有各处贡献的相位没有彼此抵消，输出才明显。把这层条件叫相位匹配。晶体长度有限，相位匹配便有宽度，还会留下相位。再经过透镜、光纤与偏振选择，我们得到实际收集到的振幅。

在选定的一维传播近似下，可以用下面的乘积组织这些因素。 $\alpha$ 是泵浦复谱， $\Phi$ 是相位匹配振幅， $C$ 表示已定义的收集作用。这个写法提醒我们保留复数；只把三张亮度图相乘会丢掉相位。

F\propto\alpha(\omega_s+\omega_i)\,\Phi(\omega_s,\omega_i)\,C(\omega_s,\omega_i),\qquad \Phi\propto\operatorname{sinc}\!\left(\frac{\Delta kL}{2}\right)e^{i\Delta kL/2}

式中

L

是长度，

\Delta k

是含所选准相位匹配光栅项的纵向波矢失配；

\operatorname{sinc}x=\sin x/x

。该标量式假定相应传播和收集近似成立。

为了亲手算出相位的影响，先选每路两个正交频率模式。它们可以是互不重叠、各自归一化的频率区间波包。行指信号光模式，列指闲频光模式。表格每个位置存复振幅，它的模平方才是那个模式对出现的概率。

系数 $F_{jk}$ 是连续 JSA 在两个模式函数上的投影，不是随便挑一个频率点的函数值。若用等距网格近似连续积分，还须把积分权重吸收进离散系数。实验台直接定义两个正交离散模式，因此系数没有单位。

|\Psi\rangle=\sum_{j,k=0}^{1}F_{jk}|j\rangle_s|k\rangle_i,\qquad \sum_{j,k}|F_{jk}|^2=1

两模式模型用四个复数完整定义单对态。它适合检验相位和条件测量，没有计算真实晶体中的完整传播。

把四个系数都设为二分之一。四种模式对的概率都是四分之一，总和为一。接着只给右下角的系数转一个角度 $\theta$ 。亮度不变，复振幅已经变了。下一章会沿着这一个变化，算出单光子从纯态变成混合态的全过程。

泵浦、材料和收集几何共同决定哪些振幅能够实际制备。把一份明确的振幅固定下来，就可以继续问：不同预告测量怎样改变伙伴光子的状态？这个顺序也让源设计与测量选择的作用各自清楚。

F(\theta)=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&e^{i\theta}\end{pmatrix}

相位用弧度。整个矩阵乘上同一个相位不会改变预测；只转一个位置会改变行与行之间的相干求和。