FR10-A · 频谱漏掉的相位

联合频谱相位与光子纯度

联合强度完全相同，光子纯度也相同吗？ 联合强度只留下振幅大小，看不见相位。相位决定两种预告结果会不会留下同一个信号模式。四格强度完全相同，留下的光子仍可能一个是纯态，一个是混态。

把一个双光子振幅转满一圈。四格强度始终一样，预告光子却从同一个相干模式，变成两个模式的等权混合。

预告态纯度 $0.637$

有效模式数 $1.57$

理想 HOM 符合概率 $0.182$

最大 Schmidt 权重 $0.761$

强度相同，相干性不同

转动藏起来的相位

拖动金色时钟。四个圆始终一样亮，箭头却能告诉你强度漏掉了什么。

联合相位

\theta

0.65\pi

这幅图表示什么

模型在信号臂和闲频臂各取两个正交、已收集的频率模式，双光子处于低增益下的归一化纯态。预告探测器不分辨闲频臂的频率模式。主图画联合态振幅，不代表装置或传播。HOM 预测采用两个独立且相同的预告态，每个输入各一个光子，分束器平衡、无损，偏振完全匹配；忽略多对发射、损耗和探测噪声。

每个圆对应一种信号—闲频频率组合。圆面积表示概率，箭头表示相位。只转一格是改变联合相位，不能用只作用在一个光子上的局域相位片来代替。

聚焦主图后，也可按左右方向键转动相位。

模型假设

理想模型预测

强度不动，纯度在变

联合强度与约化态相干性

\rho_s=FF^\dagger

相位转满一圈

$\mathcal P=\operatorname{Tr}(\rho_s^2),\qquad C_0=\frac{1-\mathcal P}{2}$

读懂系数矩阵

$F(\theta)=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&e^{i\theta}\end{pmatrix},\qquad |F_{jk}|^2=\frac14$

行是信号模式，列是闲频模式。预告探测器不读出闲频频率，就把两种可能的信号态加成混合态。两个本征权重，正是两个正交 Schmidt 模式的概率。

先抓重点

核心问题: 联合强度完全相同，光子纯度也相同吗？
一句话直觉: 联合强度相同，不能保证不同预告结果留下同一个信号模式。

核心数学模型

强度看不到的相位

F(\theta)=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&e^{i\theta}\end{pmatrix},\qquad |F_{jk}|^2=\frac14

行、列分别对应两个正交的信号和闲频频率模式。相位怎么转，每格概率都是四分之一；只有右下角振幅在复平面内转向。

不读出闲频频率

\rho_s=FF^\dagger=\frac14\begin{pmatrix}2&1+e^{-i\theta}\\1+e^{i\theta}&2\end{pmatrix}

闲频臂的两种结果，各对应系数矩阵的一列。频率没被读出，两列各自的密度矩阵就相加。相位为零，两列留下同一个信号态；转过半圈，两列留下互相正交的信号态。

从模式权重走到干涉

\begin{aligned}\lambda_\pm&=\frac{1\pm|\cos(\theta/2)|}{2}\\\mathcal P&=\lambda_+^2+\lambda_-^2=\frac{3+\cos\theta}{4}\\K&=\frac1{\mathcal P},\qquad C_0=\frac{1-\mathcal P}{2}\end{aligned}

这些权重是双光子振幅奇异值的平方。两个独立、相同的混合单光子进入平衡分束器时，零延迟符合由态的重叠决定；这里的重叠恰好等于纯度。

常见难点

联合相位和局域相位不同

容易误解在任意一个光子上放相位片，就能只转一格。

正确理解信号臂的局域相位会转动整行，闲频臂的局域相位会转动整列。局域幺正变换不改 Schmidt 权重。只转一格，改变的是联合态。

混合单光子仍然只有一个光子

容易误解纯度低，就是有时没光子、有时不止一个。

正确理解这里始终以一对光子已经产生为条件。纯度描述不读出闲频频率后，对信号模式还剩多少不确定性。真空、多对发射和损耗需要另一个更大的模型。

动手实验

01
先看同一个信号模式
选择“同一个模式”。先猜：闲频频率能不能分辨两种信号制备？
你会看到： 四个箭头同向。两种预告结果留下同一个信号态，最大 Schmidt 权重为一，理想零延迟 HOM 符合消失。
02
强度没变，纯度降了
选择“两个模式平分”，把四格强度与前一个预设比较。
你会看到： 每格强度仍是四分之一。两种信号态现在互相正交，两个模式各占一半；纯度为二分之一，理想 HOM 符合概率为四分之一。
03
找出相位反向留下的变化
比较“藏起四分之一圈”和“把相位倒过来”，再拖金色时钟转满一圈。
你会看到： 正反相位给出相同纯度和 HOM 符合，密度矩阵相干项的虚部却变号。测量相干模式投影，就能分辨两者。

联合频谱相位与光子纯度

强度不动，纯度在变

联合强度与约化态相干性

相位转满一圈