Q001 · 振幅与测量

量子态与 Born 测量

两个态能在一个基中相同，在另一个基中不同吗？ 可以。两个态在一个基里各结果的概率相同，相对相位却可能不同；换到横向的基，比如把 z 换成 x，结果就分开了。要把真实的相位差和混合态、采样噪声区分开，得在几个基里测，还要攒够计数。

制备纯态或混合态，转动分析器，先预测概率。再一次次采集测量结果，把出现的频数和统计区间拿去和密度矩阵的预测对比。

模型正结果概率 $\text{—}$

正结果 / 负结果 / 拦截 $\text{—}$

当前设置测量次数 $\text{—}$

采集的正结果比例 $\text{—}$

95% Wilson 区间 $\text{—}$

输出态纯度 $\text{—}$

尚未采集记录。

从采集计数推断

采集一次扫描后，才能估计信号。

\text{—}

密度矩阵与计数约定

\rho=\frac{I+\boldsymbol r\cdot\boldsymbol\sigma}{2}

最近的原始事件 · 完整记录见 CSV

事件	设置	结果

科学依据： Feynman III.6 · MIT 8.05 · NIST Ramsey

先抓重点

核心问题: 两个态在 Z 方向的概率一样，换哪个分析器才能把它们分开？
一句话直觉: 相对相位会改变垂直于 Z 的分析器给出的概率；整体相位在密度矩阵里直接消掉。

核心数学模型

纯态与非极化系综的混合

\rho=v|\psi\rangle\langle\psi|+(1-v)I/2

系综里一部分处在纯态，其余部分完全没有极化。

密度矩阵形式的 Born 规则

P(+\boldsymbol n)=\operatorname{Tr}(\rho\Pi_+)=(1+\boldsymbol r\cdot\boldsymbol n)/2

测到正结果的概率，只看 Bloch 向量沿分析器方向伸出多远。

态的纯度

\operatorname{Tr}(\rho^2)=(1+|\boldsymbol r|^2)/2

Bloch 向量越长，纯度越高。纯度描述整个系综，不代表某个粒子朝哪儿。

常见难点

向量变短说明是混合态

容易误解混合态不过是范数小一点的纯态波函数。

正确理解纯态波函数永远归一化。Bloch 向量变短，描述的是一个系综，要用密度矩阵来写；这个矩阵具有单位迹，本征值都不为负。

置信区间说的是什么

容易误解就这一份记录而言，这个 95% 区间恰好有 95% 的概率包含真值。

正确理解覆盖率说的是大量重复实验的情形，对 Wilson 区间也只是近似成立。装置误差和模型误差都不在区间里。

动手实验

01
先预测 Z 基
选择 Z 基隐藏相位，预测扫描相对相位时正结果比例会不会变。
你会看到： 模型曲线是一条水平线，新采集的计数在同一个概率上下波动。
02
读出相位
选择读取相位，采集扫描，再转动分析器方位角。
你会看到： 分析器转动时，条纹相对制备相位平移；条纹高低由横向相干决定。
03
混合制备
依次选择部分混合与最大混合态，每次用相同测量次数扫描。
你会看到： 密度矩阵跟着变。纯态比例降到零时，分析器无论朝哪儿，正结果都只占一半。
04
改变样本数
设置不动，先采 20 次，再采 2000 次；然后改变整体相位，再测一遍。
你会看到： 样本越多，Wilson 区间越窄。整体相位变了，理论概率一个也不变。

量子态与 Born 测量

先预测，再采集证据。

从采集计数推断

通过不同测量基读取量子态

核心数学模型

纯态与非极化系综的混合

密度矩阵形式的 Born 规则

态的纯度

常见难点

向量变短说明是混合态

置信区间说的是什么

动手实验

先预测 Z 基

读出相位

混合制备

改变样本数

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