Q010 · 本征态、叠加、位移

量子谐振子态工作台

概率分布不动，能量就为零吗？ 不为零。能量本征态的概率密度确实不随时间变，但动量仍有弥散，连基态也留着半个量子的零点能。稳定的分布背后，也没有藏着一条粒子轨道。

制备能量本征态、相邻能级的相干叠加，或者把基态平移。把节点、能级占据和位置记录联系起来看，不给粒子假设一条隐藏的轨道。

模型平均能量 $\text{—}$

模型不确定度乘积 $\text{—}$

先做一个预测

概率云静止不动，能量就为零吗？

先回放基态，再叠加两个能级或位移基态。比较概率云、能级占据和独立采样的位置。

预测、对照，再收集证据。

测量时刻——每个样本都重新制备

制备方式阱角频率

\omega

1

较低能级编号

n

0

相邻高能级权重

w

0.5

采样可观测量

改变时间或测量基保留记录，改变制备则清空。位置和动量来自不同的制备试次。

态细节与采样

相对相位

\varphi

0^{\circ}

初始位移

a

3

每时刻每测量基试次数

N

400

采样种子

s

1984

位置、动量与时间均无量纲，课程中定义尺度换算。采样种子可复现，记录上限为 30,000 条。

势场是理想的一维谐振势，计算用 Hermite 本征函数和位移基态的精确演化。改变频率等于重新制备一个态，不是突然淬火。能级条画的是能量基底上的权重，位置密度画的是真实空间。

分布记录与时间序列

模拟独立制备

一次一个事件，累积出分布

蓝色条为记录频率，灰线为单独的模型密度。时间序列蓝点是样本均值及一个标准误，橙点是样本标准差。它们不是置信区间，也不是粒子轨迹。

当前样本均值与离散度

\text{—}

当前实测不确定度乘积

\text{—}

网格范数与边缘质量

\text{—}

模型超过 32 级的占据尾部

\text{—}

Hermite 本征态与位移态演化使用解析形式。位置和 Fourier 动量在长度 64 的 2,048 点网格上采样。占据图合并高能级；显示尾部不会截断位移态演化。

模型来源：MIT 8.04 · 相干态演化

先抓重点

核心问题: 密度静止，动能就是零吗？
一句话直觉: 密度一动不动，动量照样有一定的分布，能量也不为零。

核心数学模型

无量纲单位

X=x/\ell,\quad P=p\ell/\hbar,\quad \tau=\hbar t/(m\ell^2)

先选定长度尺度和粒子质量。画面上的数字都用这些无量纲变量；代码里质量和约化 Planck 常数都取单位值。

谐振阱的 Hamiltonian

H=\tfrac12P^2+\tfrac12\omega^2X^2,\quad E_n=\omega(n+\tfrac12)

在显示的整个振幅范围内，势场都严格是二次的。改变频率就会重新制备。能级等间距、基态能量不为零，都是这个理想 Hamiltonian 的性质。

能量本征函数

\phi_n(X)=\frac{(\omega/\pi)^{1/4}}{\sqrt{2^n n!}}H_n(\sqrt\omega X)e^{-\omega X^2/2}

用归一化的 Hermite 递推算出零到九级。本征态随时间只改变全局相位，所以密度不动；但动能和势能都不为零。

相邻能级干涉

\psi=\sqrt{1-w}\,\phi_n e^{-iE_n\tau}+\sqrt w\,e^{i\varphi}\phi_{n+1}e^{-iE_{n+1}\tau}

改变相对相位，位置空间里的干涉图样就跟着移动。理想演化中，占据权重不变。能级条并不代表阱里的位置。

位移基态

\langle X\rangle=a\cos(\omega\tau),\quad\langle P\rangle=-a\omega\sin(\omega\tau),\quad\Delta X=\frac1{\sqrt{2\omega}}

质心像经典振子一样来回运动，波包宽度保持不变。这是系综平均，不是某个隐藏点粒子的路径。解析的位移态不会截断在显示的能级上。

相干态的能级占据

P_n=e^{-\bar n}\frac{\bar n^n}{n!},\quad\bar n=\frac{\omega a^2}{2}

前九级各画一根条，更高的能级合并在一起。超过 32 级的尾部模型也记着，可见的条形不重新归一化。

分别制备

\bar q=\frac{1}{N}\sum_j q_j,\qquad s_q^2=\frac{\sum_j(q_j-\bar q)^2}{N-1}

每个事件都重新制备，位置记录和动量记录来自不同的样本组。标准误估计样本均值有多不准；样本离散度估计制备态本身的不确定性。

常见难点

一个粒子，还是一片云？

容易误解移动的密度就是一颗粒子已知的轨道。

正确理解概率云表示制备态的分布。每个记录点都来自一次新的制备，不是一路追踪同一个粒子。

多采样能修好什么

容易误解增加采样就能修复所有误差。

正确理解更多采样能压低统计噪声，却修不好网格间距、周期边界、非理想仪器或错误的物理模型。

动手实验

01
看基态
回放基态，查看复振幅。
你会看到： 全局相位在转，概率密度却不动。
02
数节点
选择“三个节点”，再改变能级和阱频率。
你会看到： 节点数等于本征态的编号；阱频率改变的是空间尺度。
03
叠加
叠加相邻能级，改变权重和相位。
你会看到： 密度在动，能级占据却不变。
04
位移
位移基态，在九个时刻采样位置。
你会看到： 实测质心来回振荡，概率云始终保有一定宽度。