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Sandbox Physics

Q010 · 本征态 / 叠加 / 位移

量子谐振子态工作台

制备能量本征态、相邻能级的相干叠加，或位移基态。连接节点、能级占据和位置记录，不为粒子编造一条隐藏轨道。

交互模型量子谐振子态工作台
模型平均能量—\text{—}
模型不确定度乘积—\text{—}
分布记录与时间序列

模拟独立制备

从单次事件建立分布

蓝色条为记录频率，灰线为单独的模型密度。时间序列蓝点是样本均值及一个标准误，橙点是样本标准差。它们不是置信区间，也不是粒子轨迹。

当前样本均值与离散度

—\text{—}

当前实测不确定度乘积

—\text{—}

网格范数与边缘质量

—\text{—}

模型超过 32 级的占据尾部

—\text{—}

Hermite 本征态与位移态演化使用解析形式。位置和 Fourier 动量在长度 64 的 2,048 点网格上采样。占据图合并高能级；显示尾部不会截断位移态演化。

模型来源：MIT 8.04 · 相干态演化

全部测量时刻与测量基
最近 12 个事件；CSV 包含全部事件与制备参数。

物理教程

静止概率云也有能量

背景谐振阱具有带节点的离散定态，基态能量也非零。

为什么值得理解叠加引入相对相位演化，位移则平移基态概率云。

先抓重点

核心问题
密度静止，动能就是零吗？
一句话直觉
静止密度仍可具有有限动量离散度与能量。

核心数学模型

单位

X=x/ℓ,P=pℓ/ℏ,τ=ℏt/(mℓ2)X=x/\ell,\quad P=p\ell/\hbar,\quad \tau=\hbar t/(m\ell^2)

选定长度尺度与粒子质量。画面采用这些无量纲变量；代码中的质量与约化 Planck 常数均为单位值。

谐振 Hamiltonian

H=12P2+12ω2X2,En=ω(n+12)H=\tfrac12P^2+\tfrac12\omega^2X^2,\quad E_n=\omega(n+\tfrac12)

整个显示振幅内势场均严格二次。改变频率会重新制备。等间距和非零基态能量属于此理想 Hamiltonian。

能量本征函数

ϕn(X)=(ω/π)1/42nn!Hn(ωX)e−ωX2/2\phi_n(X)=\frac{(\omega/\pi)^{1/4}}{\sqrt{2^n n!}}H_n(\sqrt\omega X)e^{-\omega X^2/2}

归一化 Hermite 递推生成零至九能级。本征态只改变全局相位；密度保持不动，动能与势能仍非零。

相邻能级干涉

ψ=1−w ϕne−iEnτ+w eiφϕn+1e−iEn+1τ\psi=\sqrt{1-w}\,\phi_n e^{-iE_n\tau}+\sqrt w\,e^{i\varphi}\phi_{n+1}e^{-iE_{n+1}\tau}

相对相位改变位置空间中的干涉。理想演化中占据权重不变。能级条不是阱内的位置。

位移基态

⟨X⟩=acos⁡(ωτ),⟨P⟩=−aωsin⁡(ωτ),ΔX=12ω\langle X\rangle=a\cos(\omega\tau),\quad\langle P\rangle=-a\omega\sin(\omega\tau),\quad\Delta X=\frac1{\sqrt{2\omega}}

质心遵循经典振子方程，波包宽度不变。这是样本组平均，不是隐藏点粒子的路径。解析位移态不按显示能级截断。

相干态占据

Pn=e−nˉnˉnn!,nˉ=ωa22P_n=e^{-\bar n}\frac{\bar n^n}{n!},\quad\bar n=\frac{\omega a^2}{2}

图中单列前九级，并合并更高能级。模型记录超过 32 级的附加尾部，不将可见条形重新归一化。

分别制备

qˉ=1N∑jqj,sq2=∑j(qj−qˉ)2N−1\bar q=\frac{1}{N}\sum_j q_j,\qquad s_q^2=\frac{\sum_j(q_j-\bar q)^2}{N-1}

每个事件重新制备。位置与动量记录属于不同样本组。一个标准误估计样本均值的误差，样本离散度估计制备不确定性。

常见难点

一个点或一片云

容易误解运动密度是一颗粒子的已知轨道。

正确理解概率云表示制备分布。每个记录点都重新制备，不是连续追踪。

数值与推断

容易误解增加采样就能修复所有误差。

正确理解更多采样减少统计噪声，却不会修复网格、周期边界、非理想仪器或错误模型。

动手实验

  1. 01

    等待

    回放基态，查看复振幅。

    应该观察到： 全局相位改变，概率密度不动。
  2. 02

    找节点

    选择“三个节点”，再改变能级和阱频率。

    应该观察到： 节点数对应本征态编号，势阱改变空间尺度。
  3. 03

    叠加

    叠加相邻能级，改变权重与相位。

    应该观察到： 密度运动，能级占据不变。
  4. 04

    位移

    位移基态，采样九个位置时刻。

    应该观察到： 实测质心振荡，概率云保留非零宽度。