Q002 · 制备、释放、采样

波包传播与不确定性

波包现在越窄，以后就散得越开吗？ 最终会。越窄的波包，动量分布越宽，放开后散得越快。不过宽度和相位是两回事：给它一个会聚的相位，它会先变窄，再散开。

释放一个 Gaussian 波包，给它加上汇聚相位，或者让两个峰相干叠加。同时查看复振幅、位置分布和动量分布，再用独立的位置记录估计波包怎样移动、怎样展宽。

模型平均能量 $\text{—}$

模型不确定度乘积 $\text{—}$

先做一个预测

自由波包一定会越变越宽吗？

拖动宽度手柄，播放时间，再试试“先收缩”。对许多重新制备的态采样，看看探测记录会是什么样。

预测、对照，再收集证据。

测量时刻——每个样本都重新制备

制备方式初始单峰宽度

\sigma

1

载波动量

p_0

1

位置与动量相关

c

0

采样可观测量

改变时间或测量基保留记录，改变制备则清空。位置和动量来自不同的制备试次。

态细节与采样

双峰间距

d

4

相对相位

\varphi

0^{\circ}

每时刻每测量基试次数

N

400

采样种子

s

1984

位置、动量与时间均无量纲，课程中定义尺度换算。采样种子可复现，记录上限为 30,000 条。

波包按一维自由 Schrödinger 方程演化，计算用周期 Fourier 网格，所有尺度都无量纲。位置样本和动量样本各自重新制备。动画画的是概率分布，不是一个粒子的轨迹。

分布记录与时间序列

模拟独立制备

一次一个事件，累积出分布

蓝色条为记录频率，灰线为单独的模型密度。时间序列蓝点是样本均值及一个标准误，橙点是样本标准差。它们不是置信区间，也不是粒子轨迹。

当前样本均值与离散度

\text{—}

当前实测不确定度乘积

\text{—}

网格范数与边缘质量

\text{—}

位置记录估计的速度

\text{—}

Fourier 传播采用长度 256 的周期区间及 2,048 点网格。边缘质量是网格最外侧十分之一区域的概率。环绕属于数值边界效应，不是真实墙面的反射。

模型来源：MIT 8.04 · 相关波包

先抓重点

核心问题: 自由波包可以先变窄吗？
一句话直觉: 宽度、相位曲率和整体运动，是初态里三个相互独立的特征。

核心数学模型

无量纲单位

X=x/\ell,\quad P=p\ell/\hbar,\quad \tau=\hbar t/(m\ell^2)

先选定长度尺度和粒子质量。画面上的数字都用这些无量纲变量；代码里质量和约化 Planck 常数都取单位值。

自由演化

i\partial_\tau\psi=-\tfrac12\partial_X^2\psi,\qquad \widetilde\psi(P,\tau)=e^{-iP^2\tau/2}\widetilde\psi(P,0)

每个 Fourier 分量各自累积相位。传播过程中没有势场，没有探测反作用，也没有真实的反射墙。

一个 Gaussian 峰

g_a(X)=\exp\!\left[-\frac{(1-ic)(X-a)^2}{4\sigma^2}+ip_0X\right]

单峰态是放在中心、归一化的一个峰。双峰态把两个峰放在中心两侧各半个间距处，按所选相对相位相干相加，再归一化。宽度设置指每个初始峰，不是合成分布的宽度。

单峰的精确解

\langle X\rangle=p_0\tau,\qquad (\Delta X)^2=\sigma^2+c\tau+\frac{1+c^2}{4\sigma^2}\tau^2

位置和动量的协方差为负时，波包可以先汇聚。这个公式在无限长直线上成立，只用来独立检验单峰情形；两种制备在模拟里都靠 Fourier 场实际演化。

不确定性与协方差

(\Delta P)^2=\frac{1+c^2}{4\sigma^2},\quad C_{XP}(0)=\frac c2,\quad \Delta X\Delta P\geq\frac12

位置和动量一旦相关，纯 Gaussian 态的乘积也可能超过下界。这里说的是制备出的态有多分散，不是同时精确读出位置和动量。

分别制备

\bar q=\frac{1}{N}\sum_j q_j,\qquad s_q^2=\frac{\sum_j(q_j-\bar q)^2}{N-1}

每个事件都重新制备，位置记录和动量记录来自不同的样本组。标准误估计样本均值有多不准；样本离散度估计制备态本身的不确定性。

常见难点

一个粒子，还是一片云？

容易误解移动的密度就是一颗粒子已知的轨道。

正确理解概率云表示制备态的分布。每个记录点都来自一次新的制备，不是一路追踪同一个粒子。

多采样能修好什么

容易误解增加采样就能修复所有误差。

正确理解更多采样能压低统计噪声，却修不好网格间距、周期边界、非理想仪器或错误的物理模型。

动手实验

01
释放波包
播放时间并拖动初始宽度。
你会看到： 初态越窄，展宽越快。
02
汇聚
选择“先收缩”，采样九个时刻。
你会看到： 实测宽度先减小，再增大。
03
干涉
选择双峰，改变相对相位。
你会看到： 位置分布和动量分布里，都带着两峰之间的相干信息。
04
估计速度和展宽
在同一指定时刻分别采样位置和动量，再导出。
你会看到： 速度只由记录的位置均值算出；制备不确定度来自不同的样本组。