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Sandbox Physics

Q002 · 制备 / 释放 / 采样

波包传播与不确定性

释放 Gaussian 波包，加入汇聚相位，或让双峰相干叠加。联动查看复振幅与两种概率分布，从独立位置记录估计运动和展宽。

交互模型波包传播与不确定性
模型平均能量—\text{—}
模型不确定度乘积—\text{—}
分布记录与时间序列

模拟独立制备

从单次事件建立分布

蓝色条为记录频率，灰线为单独的模型密度。时间序列蓝点是样本均值及一个标准误，橙点是样本标准差。它们不是置信区间，也不是粒子轨迹。

当前样本均值与离散度

—\text{—}

当前实测不确定度乘积

—\text{—}

网格范数与边缘质量

—\text{—}

位置记录估计的速度

—\text{—}

Fourier 传播采用长度 256 的周期区间及 2,048 点网格。边缘质量是网格最外侧十分之一区域的概率。环绕属于数值边界效应，不是真实墙面的反射。

模型来源：MIT 8.04 · 相关波包

全部测量时刻与测量基
最近 12 个事件；CSV 包含全部事件与制备参数。

物理教程

波包是振幅

背景局域态包含一组动量，各分量相位以不同速度演化。

为什么值得理解初态越窄，之后可能展宽越快；相位曲率也可以先使它收缩。

先抓重点

核心问题
自由波包可以先变窄吗？
一句话直觉
密度宽度、相位曲率与整体运动是不同控制量。

核心数学模型

单位

X=x/ℓ,P=pℓ/ℏ,τ=ℏt/(mℓ2)X=x/\ell,\quad P=p\ell/\hbar,\quad \tau=\hbar t/(m\ell^2)

选定长度尺度与粒子质量。画面采用这些无量纲变量；代码中的质量与约化 Planck 常数均为单位值。

自由演化

i∂τψ=−12∂X2ψ,ψ~(P,τ)=e−iP2τ/2ψ~(P,0)i\partial_\tau\psi=-\tfrac12\partial_X^2\psi,\qquad \widetilde\psi(P,\tau)=e^{-iP^2\tau/2}\widetilde\psi(P,0)

各 Fourier 分量按自身相位演化。传播中没有势场、探测反作用或真实反射墙。

制备单峰

ga(X)=exp⁡ ⁣[−(1−ic)(X−a)24σ2+ip0X]g_a(X)=\exp\!\left[-\frac{(1-ic)(X-a)^2}{4\sigma^2}+ip_0X\right]

单峰态为中心单峰归一化；双峰态将位于正负半间距的两个峰按所选相对相位相干相加，再归一化。宽度控制指各初始单峰，不是合成分布的宽度。

单峰解析基准

⟨X⟩=p0τ,(ΔX)2=σ2+cτ+1+c24σ2τ2\langle X\rangle=p_0\tau,\qquad (\Delta X)^2=\sigma^2+c\tau+\frac{1+c^2}{4\sigma^2}\tau^2

负的位置与动量协方差可使波包先汇聚。此无限直线公式只作单峰独立基准；两种制备均由 Fourier 场实际演化。

不确定性与协方差

(ΔP)2=1+c24σ2,CXP(0)=c2,ΔXΔP≥12(\Delta P)^2=\frac{1+c^2}{4\sigma^2},\quad C_{XP}(0)=\frac c2,\quad \Delta X\Delta P\geq\frac12

即使纯 Gaussian 态也可能因位置与动量相关而使乘积超过下界。这是制备不确定性，不是同时精确读取位置与动量。

分别制备

qˉ=1N∑jqj,sq2=∑j(qj−qˉ)2N−1\bar q=\frac{1}{N}\sum_j q_j,\qquad s_q^2=\frac{\sum_j(q_j-\bar q)^2}{N-1}

每个事件重新制备。位置与动量记录属于不同样本组。一个标准误估计样本均值的误差，样本离散度估计制备不确定性。

常见难点

一个点或一片云

容易误解运动密度是一颗粒子的已知轨道。

正确理解概率云表示制备分布。每个记录点都重新制备，不是连续追踪。

数值与推断

容易误解增加采样就能修复所有误差。

正确理解更多采样减少统计噪声，却不会修复网格、周期边界、非理想仪器或错误模型。

动手实验

  1. 01

    释放

    播放时间并拖动初始宽度。

    应该观察到： 窄制备会较快展宽。
  2. 02

    汇聚

    选择“先收缩”，采样九个时刻。

    应该观察到： 实测宽度先减小，再增大。
  3. 03

    干涉

    选择双峰，改变相对相位。

    应该观察到： 位置和动量分布都包含相干信息。
  4. 04

    估计

    在同一指定时刻分别采样位置和动量，再导出。

    应该观察到： 速度只用记录的位置均值，不确定度来自不同样本组。