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Sandbox Physics

Q036 · 两个光子在分束器相遇

Hong–Ou–Mandel 两光子干涉

两个光子从分束器两侧各进一个，为什么两个计数器不再同时响？ 两个光子处在同一个纯模式时，在平衡分束器上会一起出去，两种分开走的振幅正好抵消。两份输入即使制备方式相同，混合态仍可能含有可区分的模式；延迟和偏振失配也会让符合计数回来。

把两个单光子送进同一个分束器，先预测两者重叠时会怎样。再改变到达延迟或偏振，逐次采集探测器的点击，用这些点击拼出干涉凹谷。

交互模型Hong–Ou–Mandel 两光子干涉
理想单对分开概率—\text{—}
密度算符重叠—\text{—}
每个源的内部态纯度—\text{—}
你的探测记录给出的证据

模拟采集

用一次次点击拼出凹谷

采集事件后查看。

都在 A

0.250.25

两个口各一个

0.250.25

都在 B

0.250.25

灰线：损失和电子时间窗之前的理想单对参考。橙点：每发射试次的符合计数比例及 95% Wilson 区间。参考与采集点可以不同。

展开拟合和原始试次，可以检查数值证据。

拟合与解释

仅用计数的 Gaussian 拟合

—\text{—}

计数可见度 / 基线

—\text{—}

完成整个扫描或采齐四组设置后，才会给出推断。

查看分组计数与逐次记录
从原始点击重算的延迟分组
延迟 (ps)试次符合比例
最近 12 个原始试次；CSV 包含全部试次

物理教程

两种双光子过程怎样相消

背景两个入口各进一个光子。要让两个出口各出一个，有两种走法：两个都反射，或两个都透射。分束器平衡、两个输入模式完全相同时，这两种走法的振幅正好抵消。

为什么值得理解符合计数的凹谷，检验两个输入模式有多难区分。探测损耗、偶然点击和多出来的光子对会改变记录到的凹谷，却改变不了单对光子的理想干涉规律。

先抓重点

核心问题
缩小电子符合时间窗，能让正交偏振的光子发生干涉吗？
一句话直觉
光学模式重叠和电子事件筛选各管各的。分别改变延迟和偏振，再拿理想的出口概率，和由点击时间算出的符合计数比一比。

核心数学模型

内部态混合与 HOM 可见度

Mint=Tr⁡(ρ2),P11(0)=12[1−Tr⁡(ρ2)]M_{\mathrm{int}}=\operatorname{Tr}(\rho^2),\qquad P_{11}(0)=\tfrac12[1-\operatorname{Tr}(\rho^2)]

两个独立输入的内部密度算符相同。分束器平衡、包络和偏振匹配时，双模式最大混态的零延迟符合概率仍有四分之一。

归一化的纯频谱模式

fj(ν)=(2πσν2)−1/4e−(ν−νj)2/(4σν2)f_j(\nu)=(2\pi\sigma_\nu^2)^{-1/4}e^{-(\nu-\nu_j)^2/(4\sigma_\nu^2)}

两个输入都是 Gaussian 频谱，强度标准差相同，单位是 THz；延迟单位是 ps，两者相乘没有量纲。包络视图只是模式的示意图。

模式重叠

M=e−(2πσντ)2−Δν2/(4σν2)cos⁡2θ Tr⁡(ρ2)M=e^{-(2\pi\sigma_\nu\tau)^2-\Delta\nu^2/(4\sigma_\nu^2)}\cos^2\theta\,\operatorname{Tr}(\rho^2)

相对延迟、频率差和偏振夹角，都会让两个输入变得可区分。Gaussian 到达包络取相同宽度；另外一份双模式内部态，以密度算符纯度乘进重叠。内部模式标签与连续到达延迟相互独立。

一对光子的出口概率

P11=T2+R2−2TRM,P20=P02=TR(1+M),R=1−TP_{11}=T^2+R^2-2TRM,\quad P_{20}=P_{02}=TR(1+M),\quad R=1-T

这是探测之前的概率，加起来等于一。分束器用实数幺正矩阵描述，它定下了反射的相对相位。计算中没有拿经典强度相减。

怎样算一次符合

Ci=1(两站点击) 1(∣tA,i−tB,i∣≤w),p^=∑iCiNC_i=\mathbf1(\text{两站点击})\,\mathbf1(|t_{A,i}-t_{B,i}|\le w),\quad \widehat p=\frac{\sum_i C_i}{N}

每个发射试次都保留，没有点击的也算。探测器只分响或不响，数不出光子个数；电子抖动远比光脉冲的到达宽度大。背景在每个时间门里独立地以一定概率点击。表格和 CSV 用的正是这条规则。

从计数拟合凹谷宽度

p(τ)=B[1−Ve−(2πσ^ντ)2]p(\tau)=B[1-Ve^{-(2\pi\widehat\sigma_\nu\tau)^2}]

在一组候选宽度上，先回归出基线和凹谷深度，再用计数似然挑出宽度。拟合不读取模型带宽。有背景或双光子对混入时，拟合关闭；信号太弱或最优值落在网格边界时，标为未分辨。拟合不给置信区间。

常见难点

聚束不是光子事先选好了路

容易误解图里两个小球在测量前就得选好同一条路。

正确理解画面显示的是输入模式和出口光子数，不会把隐藏路径当成观测数据存下来。

时间窗造不出光学重叠

容易误解缩小时间窗就能让光子不可区分。

正确理解时间窗只是筛选已经产生的点击时间。被正交偏振或频谱失配抹掉的振幅，它补不回来。

单靠凹谷认证不了光源

容易误解任何光源的凹谷深度，都直接等于它的纯度或时间分辨率。

正确理解两份独立输入完全相同、其他自由度匹配时，理想平衡 HOM 可见度才等于内部态纯度。失配、背景和多余光子对也会降低对比度；有关联的光子对制备和设备响应需要源模型。

动手实验

  1. 01

    先预测再计数

    选择同时到达，先预测出口结果，再一次次单独采集。

    你会看到： 理想平衡情况下，每次只有一个计数器响。这一下点击分不出那个出口到了几个光子。
  2. 02

    让光子变得可区分

    先选错开到达，再选正交偏振，各采集一组来比较。

    你会看到： 符合计数又出现了。两个光子不仅要在时间和频谱上重叠，偏振也得一致。
  3. 03

    用点击拼出凹谷

    重新开始，采集延迟扫描，查看分组并导出原始 CSV。

    你会看到： 橙点由这些点击算出。Wilson 范围表示有限次是非计数带来的不确定性，灰线是另画的理想参考。
  4. 04

    分清装置带来的影响

    展开光源与探测器设置，改变效率、时间窗、背景或双对比例，再重新采集。

    你会看到： 损耗和窄时间窗让记录的计数变少；背景和四光子输入会把凹谷填浅。单对假设不成立时，拟合会自动关闭。

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