同一张强度图为什么藏着两种纯度

探测到一个闲频光子，却没问它是哪种模式

宽带预告探测器告诉你闲频光到过，却不区分它的两个模式。对每种可能的闲频模式，信号光各有一列振幅。列内仍能相干相加；不同闲频结果被忽略以后，则要把相应概率混合起来。矩阵乘法刚好完成这件事。

复共轭把箭头的虚部反号，记作星号；先转置再复共轭叫共轭转置，记作 $\dagger$ 。信号光密度矩阵的第 $j,\ell$ 项，把同一闲频列内的两条信号振幅相乘，再对列求和。对角线给各模式概率，非对角线保留模式间的相干。

(\rho_s)_{j\ell}=\sum_kF_{jk}F_{\ell k}^{*},\qquad \rho_s=FF^\dagger,\qquad \operatorname{Tr}\rho_s=1

这里的预告在保留模式上效率相同且不分辨模式。若探测效率随模式变化，就必须改用相应的测量算符。

沿用 $F(\theta)$ 。信号光模式零与模式一的相干有两项贡献：第一列给四分之一，第二列给 $e^{-i\theta}/4$ 。相位为零时它们同向；相位为半周时它们相反。对角概率始终各为二分之一。

相位为零时，两列完全一样，得知闲频模式不会改变信号光的波包。半周相位时，两列对应两种正交的信号叠加态。闲频光能携带“是哪一种”的信息；不读出这个信息的预告留下等权混合。

\rho_s(\theta)=\frac14\begin{pmatrix}2&1+e^{-i\theta}\\1+e^{i\theta}&2\end{pmatrix}

联合强度只保留四个系数的模平方，相干项中的相对相位已经不在那张图里。

P=\operatorname{Tr}(\rho_s^2)=\sum_{j,\ell}|(\rho_s)_{j\ell}|^2=\frac{3+\cos\theta}{4}

两项对角贡献共二分之一；两项相干贡献共

(1+\cos\theta)/4

。相位为零得到纯度一，半周得到二分之一。

四个相位一致

F_A=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}

P=1,\quad P_{\mathrm{coin}}(0)=0

反转一个相位

F_B=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

P=\frac12,\quad P_{\mathrm{coin}}(0)=\frac14

格子亮度相同，表示联合强度相同；箭头方向表示复相位。符合概率假定两份独立且相同的预告输入，其他自由度完全匹配。原创两模式模型图。

换一套模式来描述同一状态，可以把系数矩阵整理成只有成对项的形式。每一对信号模式只跟一个闲频模式配对，这叫 Schmidt 分解。非负权重就是信号光密度矩阵的特征值：矩阵作用在相应模式上，只会把它缩放，不会转向。

线性代数里的奇异值分解把 $F$ 写为 $U\Sigma V^\dagger$ 。对双光子态，信号模式取 $U$ 的列，闲频模式取 $V^*$ 的列，权重是奇异值的平方。保留这个共轭关系，才能把复相位正确放回原态。

|\Psi\rangle=\sum_n\sqrt{\lambda_n}|u_n\rangle_s|v_n\rangle_i,\qquad \rho_s=\sum_n\lambda_n|u_n\rangle\langle u_n|,\qquad P=\sum_n\lambda_n^2

权重加起来为一。只有一个非零权重时，单光子为纯态；多个权重表示忽略闲频结果以后留下多个模式。

\lambda_\pm=\frac{1\pm|\cos(\theta/2)|}{2},\qquad K=\frac{1}{P}

有效 Schmidt 数从一变到二。它描述这份纯双光子态中的模式纠缠；混合双光子输入需要更一般的处理。

对应阅读：A. Eckstein

模式基像地图的坐标。可以把原先两个模式换成它们的等权叠加，只要变换是幺正的，也就是保持长度和内积，物理态就没变。矩阵元素会变，特征值与纯度保持不变。

这也给出了独立检查：直接把系数相乘、对约化矩阵求特征值、对原系数求奇异值，三条计算应当给同一组权重。再检查密度矩阵的迹为一、特征值非负，才能把结果当成概率。