Freedman 和 Clauser 用钙原子检验 Bell 不等式

级联发出时间上相关联的光子对

1972 年，Freedman 和 Clauser 让钙原子先后发出两个光子，再把它们送往两侧。每侧放一个可以移走的偏振器，后面接光子探测器；偏振器挑选光振动的方向。两台探测器在规定的短时间内一起响，电子线路就记下一次“符合”。一对光子能不能通过，取决于两边挑了什么方向。

他们把偏振器转到几个选定的夹角，逐一数符合；再把两个偏振器都拿走，测一遍参考速率。参考测量给出没有偏振筛选时，装置能收进多少对光子。把前面的速率除以这个参照，就能在同一把尺子上比较各个角度，并检验 Bell 界限。

下式中，下标为零的速率是两个偏振器都移走时测的，其余速率对应标出的透射轴夹角。这里的局域界限是实验用的简化不等式，额外依赖一个探测假设；它和按符合计数归一化的二值 CHSH 表达式不是一回事，不能混用。

作者报告的结果比零高出 0.050，一个标准差的不确定度为 0.008。这里直接引用原文报告的数值。用预印本里舍入过的归一化速率，可以核验中心值，但光凭这些舍入数字，重建不了完整的误差分析。

另取一个理想模型：偏振器完美，归一化的透射符合速率等于四分之一乘以“一加上两倍相对角的余弦”。在式中的两个角度上，速率约为 0.427 和 0.073，两者之差比四分之一约高 0.104。

理想预测约为 0.104，历史测量则是带有上述不确定度的 0.050。真实偏振器会漏光，装置收集的是有限角度内的光，参考测量也有自己的做法。把这些实际部件带回预测，才能理解实验数值为什么与完美光学的算例不同。

\begin{aligned}\delta&=\frac{|R(22.5^\circ)-R(67.5^\circ)|}{R_0}-\frac14\\ &\leq 0\end{aligned}

假设两个测得的速率都除以同一个参考速率，而这个参考速率本身有误差。分母一波动，两个比值就一起变；把它们当成互相独立的观测，差值的误差就可能算错。

稳妥的做法是保留原始计数、计数时间和共用的参考时段，按一个联合统计模型传递误差。印出来的比值各带误差条，只是分析的摘要；哪些观测共用分母、共用漂移校正，从中看不出来。

预印本明确假定：光子被探测到的概率，与它是否穿过偏振器无关。有了这个假设，测到的那部分事件才能拿来检验界限。后来的漏洞分析追问的是，探测效率低时，测到的样本会不会代表不了全部试验。

快速切换设置，针对的是另一种可能：装置的一部分利用别处的信息互通消息。时序改进了，不能说明探测样本有代表性；反过来，局域读出效率高，也不能说明两边类空间隔开。这两项要求得分别拿出证据。

在写明的探测假设下，这次测量把量子预测与一类局域模型之间的冲突带进了实验室。后来的实验改进光源，在飞行途中切换设置，也更完整地计入漏检。每一步都针对早期装置留下的一种可能解释，让检验一步步收紧。

这里的 1972 年结果引自作者报告，没有附原始计数或符合时间序列。它让光子计数有了一个明确目标：测出的关联，能否越过局域解释必须遵守的数值界限。