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Sandbox Physics

Q041 · 随机结果 / 联合证据

Bell 关联与 CHSH

把一对粒子送到两个独立偏振分析站。预测联合结果，转动测量轴，采集四种设置组合。比较纠缠对与明确的局域模型，再从点击记录计算 Bell 统计量。

交互模型Bell 关联与 CHSH
模型有符号 CHSH 和—\text{—}
每站正结果概率—\text{—}
你的探测记录与证据

模拟采集

四组关联，一个 Bell 和

采集事件后查看。

橙色：符合对的有符号项。蓝色：所有预告试次，漏检固定记为正结果。第四项以负号进入和。

符合对：有符号和及保守 95% 范围

—\text{—}

全部试次：有符号和及保守 95% 范围

—\text{—}

推断需要完整扫描或全部四组设置。

完整记录中的四种设置组合
设置全部 / 符合联合计数：正正、正负、负正、负负关联
最近 12 个原始试次；CSV 包含全部试次

物理教程

检验联合记录，而不是某一次结果

背景Bell 对的单站结果可以完全随机，两站却具有很强关联。每站选择两种偏振轴之一，四种设置组合共同给出 CHSH 统计量。

为什么值得理解明确的局域对照让局域界变得可操作。两站共享随机角度，但响应不读取远端设置。量子与局域模型可在某一组设置相似，却在四项之和上不同。

先抓重点

核心问题
保留漏检，而不是丢弃漏检，会怎样改变证据？
一句话直觉
独立随机选择设置组合，保留每个预告试次，同时计算只用符合对和固定漏检赋值的全部试次统计。

核心数学模型

制备态与测量轴

ρ=v∣Φ+⟩⟨Φ+∣+(1−v)I4/4,∣Φ+⟩=(∣HH⟩+∣VV⟩)/2\rho=v|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+|+(1-v)I_4/4,\quad |\Phi^+\rangle=(|HH\rangle+|VV\rangle)/\sqrt2

线偏振轴用物理角度表示，单位为度，半周后等价。对应的 Bloch 角度为其两倍。

联合概率与边缘分布

P(r,s∣a,b)=1+rs vcos⁡[2(a−b)]4,P(r∣a)=P(s∣b)=12P(r,s|a,b)=\frac{1+rs\,v\cos[2(a-b)]}{4},\quad P(r|a)=P(s|b)=\frac12

结果带正负符号。远端轴会改变联合记录，但不会改变理想单站边缘概率；模型不提供超光速通信操作。

四项 Bell 和

S=E00+E01+E10−E11,∣S∣local≤2,∣S∣quantum≤22S=E_{00}+E_{01}+E_{10}-E_{11},\quad |S|_{\mathrm{local}}\le2,\quad |S|_{\mathrm{quantum}}\le2\sqrt2

默认偏振设置达到理想量子极值。第四项先带负号再进入总和。

明确的局域响应

Ax(λ)=sgn⁡cos⁡[2(ax−λ)],By(λ)=sgn⁡cos⁡[2(by−λ)]A_x(\lambda)=\operatorname{sgn}\cos[2(a_x-\lambda)],\quad B_y(\lambda)=\operatorname{sgn}\cos[2(b_y-\lambda)]

共享角度均匀且与设置独立；部分试次使用独立随机结果。每个确定性响应表的 Bell 和只能为正二或负二。

计数与保守范围

E^=n+++n−−−n+−−n−+n,rS=∑x,y2ln⁡160nxy\widehat E=\frac{n_{++}+n_{--}-n_{+-}-n_{-+}}{n},\quad r_S=\sum_{x,y}\sqrt{\frac{2\ln160}{n_{xy}}}

用联合界合并四个 Hoeffding 范围，针对固定记录。范围保守，不为反复可选停止提供随时有效的结论。缺少任何设置时暂不估计。

常见难点

关联不是消息

容易误解Bob 转轴应改变 Alice 的单站随机分布。

正确理解改变的是联合关联。每站理想边缘概率仍为一半，比较需要汇合两站记录。

一种局域对照不代表全部局域模型

容易误解超过图中的局域曲线就证明了 Bell 违背。

正确理解一般局域界适用于设置独立时所有局域响应表；图中的对照只是一个例子，推断应检验界及不确定性。

模拟器不能关闭真实漏洞

容易误解统计量超过界就认证了一次真实无漏洞实验。

正确理解设置独立、预告和与结果无关的探测是明确假设。时空分离、设备记忆和真实探测标定均未模拟。

动手实验

  1. 01

    看单站随机性

    在某一组设置逐次采集，分别查看两站记录。

    应该观察到： 每站正负计数趋向相等，联合一致率取决于轴的夹角。
  2. 02

    采集四种设置

    先预测，再采集四组设置，检查有符号项和 CSV。

    应该观察到： 随机设置选择与源独立；总和只从已采集结果计算，不读取模型参考。
  3. 03

    使用具体局域对照

    选择局域响应模型，重新采集四组设置。

    应该观察到： 期望值保持在局域界内。有限样本可以越界波动，保守范围把这种不确定性显示出来。
  4. 04

    暴露筛选假设

    试试不完美的探测，比较符合对与全部试次结果。

    应该观察到： 前者丢弃漏检并假定公平采样；后者保留所有预告并将漏检记为固定正结果，损失会减弱违背。