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Sandbox Physics

Q041 · 单看随机，合看关联

Bell 关联与 CHSH

两站的结果各自看都随机，合起来能超过局域理论的上限吗？ 能。用纠缠粒子对，CHSH 值可以超过局域上限二，最高到二倍根号二，单看每一站的结果却仍然随机。证据要站得住，测量设置得随机选，每次试验连同丢失的都得算进去。

转动两台偏振分析器，四种设置组合都采集，比较纠缠光子和局域模型，漏检也留在数据里。再用源、切换和探测的时间戳检查一个理想的事件就绪实验；这项检查不会从 Bell 数据里剔除任何试次。

交互模型Bell 关联与 CHSH
模型有符号 CHSH 和—\text{—}
每站正结果概率—\text{—}
全部预告试次的 CHSH（局域模型绝对值不超过二）—\text{—}
你的探测记录给出的证据

模拟采集

四组关联，一个 Bell 和

采集事件后查看。

橙色：符合对的有符号项。蓝色：所有预告试次，漏检固定记为正结果。第四项以负号进入和。

符合对：有符号和及保守 95% 范围

—\text{—}

全部试次：有符号和及保守 95% 范围

—\text{—}

完成整个扫描或采齐四组设置后，才会给出推断。

查看分组计数与逐次记录
完整记录中的四种设置组合
设置全部 / 符合联合计数：正正、正负、负正、负负关联
最近 12 个原始试次；CSV 包含全部试次
设置与结果能否保持类空间隔？

时序是独立的检验

保留全部试次，检查光锥。

这是一个理想协议：光源发出一个无损的“就绪”信号，确认光子对已产生，但不测量任何一个被检验的光子。这个器件是假设出来的，不是普通的光子对符合预告，也不是 Hensen 的装置。两条理想无损的光学延迟线让光子等待，好留出就绪广播和本地切换的时间。源位于两站中点；时间从发射时刻算起，单位纳秒，位置单位为米。

光源只在开头固定的 100 ns 内接受就绪信号；截止之后，“是否接受”的标记以光速传到两站。哪些试次被接受，在两站重新选择设置之前就已确定。没有信号或信号迟到的尝试记为被拒绝，但仍保留在记录里。所有被接受的试次，包括漏检和时序失败的，都计入同一个全部试次 Bell 和，不按时序筛选。

每臂的名义光程等于两站距离的一半，再加上光速乘以额外延迟。延迟线理想无损，群速度等于真空光速。延迟会受到有界抖动的扰动，算出的等待时间若为负，就取为零。光子如果在所需测量轴稳定之前到达，会被快门挡住。时钟误差和位置误差按最坏情况的标定界处理，与物理抖动分开计算。

尚未采集。Bell 测量轴、源模型、效率和种子沿用上方控件。

远端选择与整个结果窗口之间的最小余量

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最小本地切换截止余量

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全部接受试次，漏检固定赋值

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每臂名义光程

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采集记录后，就能检查时间先后和类空间隔的余量。

图示：橙色为光路，灰色为接受广播，蓝色为选择事件，绿色为切换完成，红色为完整结果窗。虚线是从选择事件发出的光线。折线光路表示传播所用的时间，不是测得的轨迹。表格用文字列出同一份记录，方便无法查看图形的读者。

最近接受试次的事件时间戳 (ns)，源位置为零米
事件源AliceBob
最近 10 次尝试；导出保留全部尝试和时间戳
尝试接受就绪 (ns)设置结果 / 漏检时序检查
这项检查能说明什么m=max⁡(0,∣x1−x2∣−2δx)c−∣t1−t2∣−2δtm=\frac{\max(0,|x_1-x_2|-2\delta x)}{c}-|t_1-t_2|-2\delta t

正余量保证误差界内所有事件坐标保持类空间隔。本地切换还必须单独在光子到达前完成。远端选择检查覆盖固定 10 ns 结果窗的两个端点，包括无点击试次。模型把选择视为瞬时事件。输入独立仍是明确的伪随机源假设：选择发生在源广播后，并不与发射保持类空间隔。

给全部试次赋值，就不必丢掉漏检；但能否违背 Bell 不等式，仍取决于探测效率、设置是否独立，以及事先定好的试次协议。上方只用符合对的证据，需要公平采样假设。时序标志只用于诊断，从不用来筛选试次。显示的 Bell 和只是描述统计；反复暂停、继续或随时停下，都得不到随时有效的显著性检验。没有模拟设备记忆、物理随机源标定、相对论时钟网络，也不提供真正的无漏洞认证。

Hensen et al. (2015) · Shalm et al. (2015) · Giustina et al. (2015)

物理教程

检验联合记录，而不是某一次结果

背景Bell 对里的每个光子单看都给出完全随机的结果，两边放在一起却可以高度相关。每站从两个偏振轴里选一个，四种设置组合合起来算出 CHSH 统计量。

为什么值得理解有了具体的局域模型，局域界就不再抽象。它的两站共享一个随机角度，但哪一站的输出都不看对方的设置。这样的模型在单组设置上可以和量子预测一致，四项加起来却不同。

先抓重点

核心问题
把漏检留下来而不是丢掉，结论会有什么不同？
一句话直觉
每次独立随机地选设置，保留每个预告过的试次，再用两种方法算 Bell 和：一种只用符合计数，一种用全部试次、把漏检记为固定结果。

核心数学模型

制备态与测量轴

ρ=v∣Φ+⟩⟨Φ+∣+(1−v)I4/4,∣Φ+⟩=(∣HH⟩+∣VV⟩)/2\rho=v|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+|+(1-v)I_4/4,\quad |\Phi^+\rangle=(|HH\rangle+|VV\rangle)/\sqrt2

偏振轴用实际角度表示，单位是度；转半圈回到同一个设置。换到 Bloch 球上，角度要翻倍。

联合概率与边缘分布

P(r,s∣a,b)=1+rs vcos⁡[2(a−b)]4,P(r∣a)=P(s∣b)=12P(r,s|a,b)=\frac{1+rs\,v\cos[2(a-b)]}{4},\quad P(r|a)=P(s|b)=\frac12

每个结果只有正负两种。转动远端的分析器，会改变联合统计，但不会改变本站的理想概率。模型里没有任何超光速传信的操作。

四项 Bell 和

S=E00+E01+E10−E11,∣S∣local≤2,∣S∣quantum≤22S=E_{00}+E_{01}+E_{10}-E_{11},\quad |S|_{\mathrm{local}}\le2,\quad |S|_{\mathrm{quantum}}\le2\sqrt2

默认偏振设置达到量子力学允许的最大值。图中第四项先取负号，再加进总和。

局域模型的响应规则

Ax(λ)=sgn⁡cos⁡[2(ax−λ)],By(λ)=sgn⁡cos⁡[2(by−λ)]A_x(\lambda)=\operatorname{sgn}\cos[2(a_x-\lambda)],\quad B_y(\lambda)=\operatorname{sgn}\cos[2(b_y-\lambda)]

共享角度均匀随机，和设置无关。按设定的比例，有一部分试次两站改为各自给出独立的随机结果。任何一张确定的响应表，Bell 和都只能是正二或负二。

计数与保守范围

E^=n+++n−−−n+−−n−+n,rS=∑x,y2ln⁡160nxy\widehat E=\frac{n_{++}+n_{--}-n_{+-}-n_{-+}}{n},\quad r_S=\sum_{x,y}\sqrt{\frac{2\ln160}{n_{xy}}}

用联合界把四个 Hoeffding 范围合在一起，适用于试次数固定的数据。这个范围偏保守；如果反复查看数据、自己挑时机停止，它就不再成立。任何一组设置没有数据时，不给出估计。

常见难点

关联传不了消息

容易误解Bob 一转轴，Alice 那边随机结果的分布就该跟着变。

正确理解变的只是两站之间的关联。理想情况下，每站每种结果仍各占一半；要看出变化，必须把两站的结果放在一起比。

一个局域模型代表不了全部

容易误解超过图中的局域曲线，就证明了 Bell 违背。

正确理解只要设置独立选取，局域界对所有局域响应表都成立。图中的模型只是一个例子；真正的检验，要拿测量值和它的不确定性去和这个界比。

模拟器堵不上真实实验的漏洞

容易误解统计量超过界，就认证了一次真实的无漏洞实验。

正确理解时序协议用保存的时间戳，检查一个设定好的理想几何。设置独立、源预告不破坏光子、时钟误差界，这些仍是假设。设备记忆、物理随机数发生器的标定和真实探测器的验证都没有包含在内。

动手实验

  1. 01

    先单看每一站

    固定一组设置，逐对采集，分别查看两站的结果。

    你会看到： 每站正负结果出现的次数越来越接近。两站结果一致的比例，取决于两个轴的夹角。
  2. 02

    采集四种设置

    先预测，再采集四组设置，查看带符号的各项和原始 CSV。

    你会看到： 设置随机选取，与源无关。总和只用实际采到的结果计算，不读取模型参考。
  3. 03

    使用具体局域对照

    选择局域响应模型，重新采集四组设置。

    你会看到： 期望值始终在局域界以内。样本有限时，估计值可能碰巧越过界；保守范围能看出这种不确定性有多大。
  4. 04

    看清公平采样的假设

    试试不完美的探测，比较只用符合对的估计和全部试次的估计。

    你会看到： 前者丢掉漏检，假定剩下的是公平样本。后者保留每个预告试次，把漏检一律记为正结果；损耗越大，它的违背越弱。
  5. 05

    检查事件就绪的时序

    打开时序协议并采集尝试，再比较两站离得太近、切换太晚和光学延迟过长的情况。暂停后保存已采的部分，再接着采集。

    你会看到： 源就绪信号不破坏光子、延迟线无损，都是理想假设。哪些试次计入，在选设置之前就定了。时间戳检查看切换是否赶在截止前完成，并对照远端完整的结果窗口；Bell 分母里的试次一个也不剔除。

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Bell 检验与光子信息

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