从已标定的计数重建光子态

密度矩阵是从反复制备的样本推断出来的

先打开 James、Kwiat、Munro 与 White 2001 年的论文 On the Measurement of Qubits，arXiv:quant-ph/0103121。论文给出两条路，从偏振计数重建双比特密度矩阵；这个矩阵用来预测不同量子测量的结果概率。阅读时先找十六种分析器设置，再比较线性重建和带约束的统计拟合。每种设置测的是不同的光子对，分析假定它们来自同一种反复制备。

论文逐一说明了十六种设置怎样测、怎样线性重建，以及怎样作带约束的统计拟合。一般的归一化双比特态有十五个独立实参数，采集方案还得处理计数的整体尺度。十六数的是设置，每种设置还要积累许多次点击；重建质量同时依赖标定。

证据阅读：D. F. V. James, P. G. Kwiat, W. J. Munro and A. G. White (2001), On the Measurement of Qubits — author manuscript, arXiv:quant-ph/0103121 D. F. V. James et al. (2001), Measurement of qubits, PRA 64, 052312 — author-hosted journal copy

每个计数都要配一个测量模型

逐个设置找出测量算符、计数尺度和加性背景。测量算符描述的是：给定一个态，这台已标定的分析器会怎样响应。教学公式里，rho 是未知密度矩阵，E 是已知测量算符，s 是计数尺度，b 是平均背景；下标 j 标记设置，Tr 表示矩阵的迹。Born 规则据此给出用 mu 表示、带相同下标的平均计数。重建出的态，要连同这套探测响应模型一起理解。

如果探测效率其实不相等，分析时却假设理想投影，响应误差就会混进重建出的态。不同设置之间光源漂移，也可能装成相干或不平衡。看矩阵图之前，要先留下原始计数、曝光时间、背景、波片标定，以及每次制备都相同这一假设。

\mu_j=s_j\operatorname{Tr}(\rho E_j)+b_j,\qquad \rho\succeq0,\quad\operatorname{Tr}\rho=1

证据阅读：D. F. V. James, P. G. Kwiat, W. J. Munro and A. G. White (2001), On the Measurement of Qubits — author manuscript, arXiv:quant-ph/0103121 Kwiat Quantum Information Group, Quantum state tomography — experimental and reconstruction resources

噪声能让线性反演得出非物理的态

我们的单比特算例中，三个正交自旋轴上的平均结果估计为 0.80、0.80 和零。每个值单看都是合法的二值平均，合成向量的长度却约为 1.131；对应的迹为一的厄米矩阵，本征值约为 1.066 和负 0.066。

每个频率单看都合理，反演后组合在一起却可能超出物理态的范围。带约束的方法必须在各次测量之间折中。把向量缩到单位长度能得到一种物理投影。最大似然则要比较各设置出现这批计数的机会，一般会得到不同的解。

证据阅读：D. F. V. James, P. G. Kwiat, W. J. Munro and A. G. White (2001), On the Measurement of Qubits — author manuscript, arXiv:quant-ph/0103121

正性是写进去的，不能代替标定

论文的最大似然方法把矩阵写成某个算符的伴随乘以它自身，再把迹归一，这样得到的矩阵天然非负。接着用数值优化，在所选统计模型下比较预言计数与实测计数。正性来自这种参数化，不是一项独立的实验发现。

结果是物理的，也可能是拟合了错误的分析器模型；靠近边界的估计，不确定度还可能两边不对称。只有写明噪声、漂移和标定的假设，重复模拟或误差传播才有意义。误差条覆盖多大范围，取决于分析实际纳入了哪些效应。

布居相同，相干性不同

比较两种态：双水平与双竖直的正号 Bell 叠加，以及两者等比例的非相干混合。在水平—竖直基底下，它们的计数表完全相同。转到对角基底，纯 Bell 态的结果总是相同，混合态则四种结果一样多。

混合态对这个 Bell 态的保真度恰为二分之一，理想纯态则为一。多测几组已标定的基底，差别就显出来了。完整的双比特重建比单个目标的见证要求更多；见证则可以在不确定全部矩阵参数时证明纠缠。这两种方法都依赖探测器标定；设备无关的 Bell 检验另有试验设计与假设。

证据阅读：D. F. V. James, P. G. Kwiat, W. J. Munro and A. G. White (2001), On the Measurement of Qubits — author manuscript, arXiv:quant-ph/0103121 X.-S. Ma et al. (2012), Experimental delayed-choice entanglement swapping — author manuscript, arXiv:1203.4834

用没参与拟合的数据检验预言

可以额外测一种设置，或留出一次采集，专门检验拟合后的预言。预言计数和实测计数对不上，能暴露模型的一部分问题，也提示需要重新标定。但在一个留出设置上成功，并不能认证任意的制备和测量设备。

再读一份态重建结果时，可以按这个顺序检查：每种设置的原始计数和曝光，探测响应的标定，噪声模型与物理态约束，误差怎样计算，以及有没有用未参与拟合的数据检验预测。把矩阵投影到物理态集合，与最大似然拟合，是不同的方法；报告应写明采用哪一种，因为两者可能给出不同估计。

接着操作模型

下面这些教学 Lab 产生的是模拟数据，和上文讨论的历史观测不是一回事。

Homodyne 量子态层析

重建能预测一个新投影吗？

操作: 扫描二十四个本振相位，完成重建。再在已扫描的相位之间选一个新相位，采集五百次新的探测读数。
记录: 把新采的直方图，和重建结果在这个相位上预测的投影比较。这批探测读数从不参与重建。
边界: 文中做的是偏振比特层析，这里测的是连续变量光场，两者互为补充。Lab 用滤波反投影重建，不用最大似然；重建的是探测到的态，损耗没有反推回去。单凭一块负值区域，不足以构成统计认证。

q_\theta=\frac{ae^{-i\theta}+a^\dagger e^{i\theta}}{\sqrt{2}}

模型来源：Lvovsky & Raymer · Optical tomography, §§ II–III

来源与阅读说明

本文读了 James 等人 2001 年的稿件，重点是十六设置的双比特方案、正性、最大似然参数化和误差分析，并查对了期刊出版信息；另读了 Kwiat 团队关于层析的资料。小型单比特和 Bell 对算例是我们自己算的。现有单比特 Lab 采用物理矩阵投影，不是论文的最大似然拟合。链接模型用物理矩阵投影重建一个量子位，另行研究量子通道，不实现论文双光子十六设置的最大似然分析。