矩阵与波：走向同一组预言的两条路

轨道图像的细节，多于证据能支持的

光谱仪测的是谱线的频率和强度。旧量子论把其中一部分频率归为定态能量之差，却保留了经典轨道，再用挑选出的量子化规则来筛选。在氢原子上成功，并没有让这套规则自动变成普遍的力学。

Heisenberg 1925 年的论文一开头就质疑两件事：理论用了不可观测的轨道量，旧规则的适用范围又太窄。他要解决的实际问题，是怎样用与跃迁相关的量来计算。这是一种新的理论语言，不是新拍到的电子轨迹。

经典 Fourier 振幅按一条运动的各次谐波编号；跃迁振幅则用一对定态来标记。要构造乘积的对应物，就得对中间态求和；调换因子的顺序，结果可能不同。

Born 后来回忆，他认出 Heisenberg 的乘法规则就是矩阵乘法。他先与 Jordan，再与 Heisenberg 三人合作，发展出这套形式体系。下面的现代对易关系，表明它与经典变量的可交换性不同。截断的有限维矩阵，不能指望精确满足这条关系。

[\widehat{x},\widehat{p}]=i\hbar\widehat{I}

Schrödinger 从力学与光学的联系出发。在 1926 年第一篇论文里，氢原子成了本征值问题：可接受的函数在原点和远处都要满足条件。离散的束缚能量由这些条件得出，不用先画轨道再挑选。

下面是现代的定态方程。Hamilton 算符确定模型，它的定义域和边界条件也是问题的一部分。同一个方程还可以有连续的散射能谱，所以有了波动方程，并不意味着所有物理能量都是离散的。

\widehat{H}\psi_n=E_n\psi_n

维也纳的出版目录，把 Schrödinger 1926 年比较自己的理论与 Heisenberg–Born–Jordan 力学的论文，单独列在波动力学系列之外。在合适的完整能量基里，算符可以写成波函数之间的矩阵元。换一种表象，就是换一种工作语言。

两者要一致，Hamilton 算符、允许的状态、可观测量和近似都得对上。截断的小矩阵和未截断的微分方程，并不自动是同一个计算。数学上一致，也不强迫人们对波函数的物理意义看法一致。

Schrödinger 的英文论述把几件事分开讲：氢原子方程、特征频率、光强，以及相对论和磁场带来的困难。算对氢原子的粗略能级是重大成就，但跃迁强度和更多结构还有待回答。

公平的比较，是把测量量当作给定，看理论不必逐例另立规则能预言出什么。后来的精密光谱，探测到了简单非相对论 Hamilton 算符里没有的项。这类偏差指出了还缺哪些物理，并不让轨道概率图变成一张失败的照片。

氢原子 Lab 把选定的定态和光谱跃迁联系起来；波包 Lab 在另一个模型里探索制备和展宽。两者都不重建历史上的演算，渲染出来的曲面也不是对原子波的直接观测。

收获是一套一致的方法，能算出制备和观测结果之间的关系。可以和 Born、Pauli 两篇连起来读：表象、概率和多电子对称性解决的是相互关联的问题，但谁也不能悄悄替代谁。