Q011 · 轨道形状、相位与选择定则

氢原子轨道与跃迁谱

能量差对得上，为什么有的氢谱线还是不出现？ 光的能量对上还不够，还得能把两个轨道连起来。偏振探测光只在两轨道间偶极矩阵元不为零时才驱动跃迁；角动量选择定则让一部分跃迁的矩阵元为零，能量再合适，这些谱线也是禁戒的。

制备一个轨道，采样电子出现的位置，再用一束偏振弱探针扫描。两条跃迁能量完全相同，一条允许、一条禁戒，比较它们的结果。

已记录结果 $\text{—}$

采样跃迁比例 $\text{—}$

01 / 选定要检验的问题

能量相同，重叠却不同。

扫描允许跃迁并保存。改成禁戒目标态：能量保持相同，谱线还会出现吗？

轨道模型：灰点是概率采样，蓝点是记录到的位置。原子核已放大，比例尺随所选轨道调整。图中不画电子路径。

探针失谐

\delta E/\mathrm{meV}

0

每个光谱点使用两千个重新制备的原子；位置采样使用独立副本。

做一组对照

主量子数

n

1

轨道角动量

l

0

磁量子数分量

|m|

0

核电荷

Z

1

相干制备

混合相反磁分量

\alpha/\mathrm{deg}

0

相对相位

\phi/\mathrm{deg}

0

磁量子数非零时可混合其正、负两个分量；两者能量相同。

选定末态与探针

目标主量子数

n_f

2

目标角动量

l_f

1

目标磁量子数

m_f

0

弱探针耦合

A

0.25

探针频谱标准差

\sigma_E/\mathrm{meV}

30

探针偏振

$a_Z=a_0/[(\mu/m_e)Z]$ · 理想区分指定末态；这个通道变暗时，其他跃迁仍可能存在。

探测与采样

采样种子

s_0

137

改变制备会清空当前数据，请先保存；探针只选择测量位置。

模型是非相对论 Coulomb 场中的单个电子；无论核电荷取多少，都用质子的约化质量。位置样本和按量子态选择的弱探针计数都是模拟的。不含精细结构、Lamb 位移、自旋、电离，也没有仪器标定。

02 / 先记录，再解释

用一次次“跃迁了没有”的结果拼出光谱。

$\delta E/\mathrm{meV},\quad \widehat P_f$ · 蓝：当前样本；橙：最近一组其他已存样本。拖动选择探测位置。

显示模型预测

\text{—}

每一格是当前失谐下最近的一次“是或否”结果。误差线是逐点的百分之九十五 Wilson 区间，没有额外加入读出误差。

03 / 把形状与结果联系起来

无论记录多少位置，节点处始终是空的。

$r/\mathrm{nm},\quad \widehat p_r/\mathrm{nm}^{-1}$ · 蓝柱来自独立记录的位置，参考为归一化径向密度。

\text{—}

模型视图，与计数数据分开

看相位，再检验重叠。

截面平面

x/\mathrm{nm},\quad z/\mathrm{nm}

模型相位：青色接近零，橙色接近半个周期，色调随相位变化。亮度取密度与截面最大密度之比的平方根，节点保持暗色。这是模型图，不是探测器图像。

\text{—}

$n,\quad E/\mathrm{eV}$

04 / 留下证据

把设置和记录一起保存。

最多保存八组固定样本，恢复后可以查看当时的设置。保存之后再采集会新建一组样本。CSV 同时保留零结果和成功探测。

模型边界、单位与来源

每个位置记录都是对一个单独制备的原子做的理想破坏性测量。光谱测量用弱的 Gaussian 频谱包络，并且理想地区分指定末态。无量纲耦合按初态主量子数的平方缩放，页面上的控件都停留在一阶弱激发范围内。简并的磁分量叠加共用同一个径向函数和能量。这里不模拟真实的原子成像或末态选择硬件。

模型为非相对论单电子，使用固定的质子约化质量，波长都取真空值。径向采样延伸到主量子数平方的十六倍（以缩放 Bohr 半径为单位），并报告采样范围外遗漏的概率。不包括精细结构、Lamb 位移和多光子跃迁；偶极禁戒也不意味着这个能态永远稳定。

Fitzpatrick · Hydrogen · Electric dipole transitions · NIST · Hydrogen lines

先抓重点

核心问题: 能量差对得上，为什么有的氢谱线还是不出现？
一句话直觉: 能量对上只是必要条件；这条跃迁出不出现，要看两个波函数通过偏振偶极算符的空间重叠是否为零。

核心数学模型

制备出的归一化态

\psi=R_{nl}(r)[\cos\alpha\,Y_l^m+e^{i\phi}\sin\alpha\,Y_l^{-m}]

磁量子数不为零时，两个分量正交，能量相同；磁量子数为零时只用一个球谐函数，混合控件不起作用。

Coulomb 场中的能级

E_n=-13.605693\,\frac{\mu}{m_e}\frac{Z^2}{n^2}\,\mathrm{eV}

改变核电荷时，约化质量仍按质子取，所以这些对照只是假想的类氢中心，不对应任何标定过的同位素。

弱探针下的跃迁概率

P_f=A^2\frac{|\langle f|\boldsymbol\epsilon\cdot\mathbf r/a_Z|i\rangle|^2}{n^4}\exp[-\delta E^2/(2\sigma_E^2)]

这是 Gaussian 频谱探针下的一阶跃迁概率。耦合强度随初始主量子数缩放，让所有可选设置都停留在弱激发；这里不模拟饱和的 Rabi 动力学。

常见难点

示意图不是轨迹

容易误解点云是一个电子的照片。

正确理解灰点是从模型概率密度里抽出的样本，蓝点是相互独立的理想位置记录。原子核和点云都做了示意性放大。

模型没有包括什么

容易误解数值检查通过了，就等于复现了真实仪器。

正确理解模型是非相对论 Coulomb 场中的单个电子；无论核电荷取多少，都用质子的约化质量。位置样本和按量子态选择的弱探针计数都是模拟的。不含精细结构、Lamb 位移、自旋、电离，也没有仪器标定。

动手实验

01
计数之前先预测
扫描默认的允许跃迁并保存；再选禁戒跃迁作对照，在同样的能隙上重做一次。
你会看到： 图是空的，就说明还没有证据。参考曲线要自己打开，而且和计数分开显示。
02
改变一个物理原因
选相干轨道，旋转它的相位，比较水平偏振光驱动的跃迁。位置要在另外独立制备的副本上采样。
你会看到： 相位一变，密度的角分布和偶极重叠同时改变。位置采样和光谱测量用的是不同的副本。
03
看看信号消失的情况
改变偏振，或者选一个轨道角动量禁戒的目标态。一个偶极通道为零，不代表别的跃迁都不存在。
你会看到： 导出原始记录，零结果也包括在内，就能自己复算出显示的估计值。

氢原子轨道与跃迁谱

用一次次“跃迁了没有”的结果拼出光谱。

无论记录多少位置，节点处始终是空的。

看相位，再检验重叠。

把设置和记录一起保存。