热运动 / 谱线宽度

双同位素 Doppler 线宽测温仪

分别记录同温度的轻氢与重氢光谱。从光子计数推断两种 Gaussian 线宽，再分离热运动与共用的仪器方差。

理想孤立有效 Balmer 线、Maxwell 速度分布、一阶 Doppler 频移与共用 Gaussian 仪器响应。原子质量和真空波长轴已知。不含精细或超精细分量、自然或碰撞展宽、光学厚度、漂移及非平衡放电。这是双线反演示例，不是实用氢气温度计的精度声明。

光沿法线入射透射光栅，一级衍射光进入旋转接收臂。光线角度不放大；精细扫描的位移极小，器件尺寸、带宽与狭缝宽度为示意。

标定真空波长 / 光子计数

先记录两种线宽，再推断温度。

两个同温样品透射光栅波长波段与计数

连续两次扫描，各保留已知同位素的 121 个波段。两个样品共用同一温度与 Gaussian 仪器；换气与采集经过加速，不推断真实耗时。

就绪，先预测再采集。

已记录波段

\text{—}

当前分析器波长

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原始计数 / 波段积分 Poisson 拟合

更轻的原子，留下更宽的谱线。

$(\lambda-\lambda_j^{\rm ref})/\mathrm{pm},\quad N_{j,i}$

轻同位素重同位素保存计数

另显源期望 · 并非采集数据

圆点保留零计数；竖线表示观测计数的平方根。曲线按每个波段积分；可选金线是模拟源期望。

只从保留计数推断

热运动方差与仪器模糊

估计温度

\text{—}

估计仪器标准差

\text{—}

线宽差启发式误差

\text{—}

尚未保存对照。

条形表示观测方差。可辨识时，灰色为仪器分量，绿色为热运动分量。

$s_j^2,\;\widehat\sigma_I^2,\;a_j\widehat T\quad(\mathrm{pm}^2)$

模型检查 / 保留计数

让偏差继续可见。

$r_i=\operatorname{sgn}(N_i-\mu_i)\sqrt{D_i}$

每波段的 Poisson 偏差定义残差平方；零计数对数项取零。超出绘图区的残差在边缘用红点标出。本图检查声明的谱形，不是历史证据；拟合边界与保守的可辨识规则可能使参数暂不报告。

查看末八个原始波段

样品	$\lambda_{\rm left}/\mathrm{nm}$	$\lambda_{\rm right}/\mathrm{nm}$	$N_i$

模型、几何与证据

入射光沿水平正轴到达法线入射的透射光栅；周期一微米，正一级衍射位于水平色散平面。接收透镜、狭缝与探测器共用该出射轴。Gaussian 通带来自假定标定，不从放大的狭缝几何推导。

d\sin\beta=\lambda,\quad d=1000\,\mathrm{nm},\quad m=1

独立 Poisson 波段对完整谱形积分。源预算表示完整扫描的理想期望信号总数，截断尾部除外；它不是绝对辐射标定。背景也由同批波段拟合。数据为合成，恢复其生成定律并不构成独立实验检验。

已知质子或氘核质量加电子质量近似原子质量；两个源共用平动温度及仪器标准差。真实 Balmer 多重线被压缩成一条有效线；若不分离真实分量便直接测温，会产生偏差。所示误差尺度是 Gaussian 计数的首阶启发式，不是拟合置信区间或显著性。

NIST · Atomic spectroscopy Tel Aviv · Isotope spectroscopy NIST · Doppler thermometry

对照：推断核质量氢原子轨道与跃迁原子谱的历史证据

先抓重点

核心问题: 两种质量，分开温度与模糊。
一句话直觉: 把源的假设与从记录得到的估计分开。

核心数学模型

热运动与仪器方差

s_j^2=\sigma_I^2+a_jT,\qquad a_j=\frac{\lambda_j^2 k_B}{m_jc^2}

独立 Gaussian 卷积使方差相加，波长展宽采用一阶 Doppler 近似。

两个线宽，两个未知量

\widehat T=\frac{s_H^2-s_D^2}{a_H-a_D},\qquad\widehat\sigma_I^2=s_D^2-a_D\widehat T

估计器使用两种记录线宽，不接收源温度或仪器线宽。

常见难点

模拟预设了定律

容易误解恢复源参数就独立验证了定律。

正确理解这些合成记录检验测量与推断流程；它们不是历史观测、参数置信区间或外部科学认证。

动手实验

01
比较两种气体
在同一源温度下采集两种同位素。
应该观察到： 轻原子的热展宽更大。
02
分离模糊
只增加仪器展宽，再采集对照。
应该观察到： 两种方差一起升高，差值承载温度信息。
03
检查可辨识性
使用仪器展宽占优预设。
应该观察到： 微小线宽差可能被计数不确定性淹没。