热运动 / 谱线宽度

双同位素 Doppler 线宽测温仪

光谱仪本身也会把谱线展宽，怎样用氢的两种同位素测出气体温度？ 比较两条谱线的宽度。温度相同时，轻的氢原子跑得更快，热运动让氢线比氘线更宽，仪器的模糊则对两条线一样。两条线宽的平方相减，只剩温度的贡献；温度求出来后，任一条线都能告诉你仪器占了多少。仪器展宽占主导时，这点差别会被计数噪声淹没。

在同一温度下分别记录轻氢和重氢的光谱。从光子计数推出两条线的 Gaussian 线宽，再把线宽拆成热运动的贡献和两条线共有的仪器方差。

模型采用理想、孤立的有效 Balmer 线，原子速度服从 Maxwell 分布，Doppler 频移只取一阶，两条线共用一个 Gaussian 仪器响应。原子质量和真空波长轴已知。不考虑精细和超精细分量、自然展宽和碰撞展宽、光学厚度、漂移以及非平衡放电。这里的双线反演只是示例，并不代表实用氢气温度计能达到的精度。

光沿法线入射透射光栅，一级衍射光进入旋转接收臂。光线角度不放大；精细扫描的位移极小，器件尺寸、带宽与狭缝宽度为示意。

光子计数与标定真空波长

先记录两种线宽，再推断温度。

两个同温样品透射光栅波长波段与计数

连续两次扫描，各保留已知同位素的 121 个波段。两个样品共用同一温度与 Gaussian 仪器；换气与采集经过加速，不推断真实耗时。

就绪，先预测再采集。

已记录波段

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当前分析器波长

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原始计数与按波段积分的 Poisson 拟合

原子越轻，谱线越宽。

$(\lambda-\lambda_j^{\rm ref})/\mathrm{pm},\quad N_{j,i}$

轻同位素重同位素保存计数

单独显示源期望 · 不是采集数据

圆点保留零计数；竖线表示观测计数的平方根。曲线按每个波段积分；可选金线是模拟源期望。

根据记录的计数推断

热运动方差与仪器模糊

估计温度

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估计仪器标准差

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线宽差启发式误差

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尚未保存对照。

条形表示观测方差。可辨识时，灰色为仪器分量，绿色为热运动分量。

$s_j^2,\;\widehat\sigma_I^2,\;a_j\widehat T\quad(\mathrm{pm}^2)$

用保留计数检查模型

让偏差继续可见。

$r_i=\operatorname{sgn}(N_i-\mu_i)\sqrt{D_i}$

每个波段的 Poisson 偏差定义残差平方；零计数的对数项取零。超出绘图区的残差在边缘用红点标出。本图检查的是声明的谱形，不是历史证据；参数碰到拟合边界，或不满足保守的可辨识规则时，暂不报告。

查看最后八个原始波段

样品	$\lambda_{\rm left}/\mathrm{nm}$	$\lambda_{\rm right}/\mathrm{nm}$	$N_i$

模型、几何与证据

入射光沿水平正轴到达法线入射的透射光栅；周期一微米，正一级衍射位于水平色散平面。接收透镜、狭缝与探测器共用该出射轴。Gaussian 通带来自假定标定，不从放大的狭缝几何推导。

d\sin\beta=\lambda,\quad d=1000\,\mathrm{nm},\quad m=1

每个波段独立服从 Poisson 统计，并对完整谱形积分。源光子数是一次完整扫描理想的期望信号总数，不含截断的尾部；它不是绝对辐射标定。背景也用同一批波段拟合。数据是合成的，恢复出生成它的定律，不算独立的实验检验。

已知质子或氘核质量加电子质量近似原子质量；两个源共用平动温度及仪器标准差。真实 Balmer 多重线被压缩成一条有效线；若不分离真实分量便直接测温，会产生偏差。所示误差尺度是 Gaussian 计数的首阶启发式，不是拟合置信区间或显著性。

NIST · Atomic spectroscopy Tel Aviv · Isotope spectroscopy NIST · Doppler thermometry

对照：推断核质量氢原子轨道与跃迁原子谱的历史证据

先抓重点

核心问题: 光谱仪本身也会把谱线展宽，怎样用氢的两种同位素测出气体温度？
一句话直觉: 源被假定成什么样，和你从记录里估计出什么，要分开来看。

核心数学模型

热展宽和仪器展宽按方差相加

s_j^2=\sigma_I^2+a_jT,\qquad a_j=\frac{\lambda_j^2 k_B}{m_jc^2}

两个独立的 Gaussian 卷积之后，方差直接相加。波长上的热展宽取一阶 Doppler 近似。

两个线宽，两个未知量

\widehat T=\frac{s_H^2-s_D^2}{a_H-a_D},\qquad\widehat\sigma_I^2=s_D^2-a_D\widehat T

估计只用两条实测线宽，不知道源温度，也不知道仪器线宽。

常见难点

模拟里的定律是预先给定的

容易误解恢复出源参数，就独立验证了定律。

正确理解这些合成记录检验的是测量和推断流程。它们不是历史观测，不给出参数置信区间，也不是外部科学认证。

动手实验

01
比较两种气体
在同一源温度下，分别采集两种同位素的光谱。
你会看到： 轻原子的热展宽更大。
02
分出仪器模糊
只调大“源仪器标准差”，再采集一次作对照。
你会看到： 两条线的方差升高同样多，温度信息仍然藏在两者的差值里。
03
看温度还测不测得出
选择“仪器展宽占优”预设。
你会看到： 两条线宽相差很小时，差值可能被计数的不确定度淹没。

双同位素 Doppler 线宽测温仪

先记录两种线宽，再推断温度。

原子越轻，谱线越宽。

热运动方差与仪器模糊

让偏差继续可见。