de Broglie：物质的波长，波包的速度

把关于光的问题倒过来

光已具有粒子式的能量与动量关系。de Broglie 反过来追问：一向被当作粒子描述的物质，是否也需要波动描述？1929 年讲稿回顾的是在 Schrödinger 波动力学成熟之前提出的联系；它是一项寻找可观测后果的理论建议，不是电子在空间里起伏的照片。

所提波长给干涉指定了尺度。电子动量改变，尺度也应随之改变。检验这种依赖关系，比仅仅发现探测图样有明有暗更有区分力；许多装置都能因别的原因产生结构。

下面第一条关系使用动量大小与 Planck 常数。对自由有质量粒子，动量必须与所用能量关系一致：只有动能远小于静能时，非相对论近似才合适。这个波长不是电子的物理直径。

平面波只有一种动量，却无限延伸。局域波包需要动量分布，因此只能谈特征中心波长，不能把它想成处处有完全确定的单一波长。已有波包 Lab 用预设波动方程探索这一点，并不独立推导物质波假设。

\lambda=\frac{h}{p}

相位波峰与波包包络不必以同一速度移动。对正能量相对论分支上的窄自由粒子波包，能量对动量求导给出下式群速度。这里能量包含静能，约化 Planck 常数把角频率与能量联系起来，粒子质量为正。

在这种总能量约定下，有质量粒子的相速度会超过光速，但这不提供超光速消息：单一单色波峰不是可局域调制的信号。减去常数静能会改变相位约定及相速度，却不改变这里的群速度导数。

\begin{aligned}v_{\mathrm g}&=\frac{d\omega}{dk}=\frac{dE}{dp}=\frac{pc^2}{E}\\ E&=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\end{aligned}

de Broglie 把允许的轨道条件与闭合路径上的相位一致性联系起来，使离散原子条件获得波动式读法。但这一步本身没有确定完整氢波函数、跃迁强度或多电子原子的光谱。

后来的波动力学把字面意义的轨道图像换成本征值与边界条件问题。氢原子 Lab 属于后一框架。比较两种描述的价值，正在于分清早期启发性的论证与完整计算各自完成了什么。

Davisson 与 Germer 1927 年论文的作者摘要报告镍晶体电子散射，并将观测与波动预言比较，为波长思想接上实验证据。晶体结构、表面制备与角度探测的细节需要专门装置叙述，归电子衍射专题处理。

读证据时，应问在几何已确定后，同一动量关系是否预言了多组设置的变化。只在一个方便挑选的角度符合，弱于整套依赖关系的一致。示意波纹动画既不是测得的角强度，也不给出其不确定度。

波长关系没有说明展开的振幅怎样连接探测事件的分布；Born 的碰撞解释讨论的是这另一层联系。同样，不确定性涉及态制备与可观测量，不能简化为所有仪器都只是太粗糙。

可把本文作为从早期原子量子化走向波动力学、再接概率解释的桥梁。历史成就在于相互连接的定量预言；它不要求把波包当作一小团物质，也不裁定波函数的一切解释。