de Broglie：物质的波长，波包的速度

把关于光的问题倒过来

光已经有了粒子式的能量和动量关系。de Broglie 把问题倒过来：一向当作粒子的物质，是不是也需要波动描述？他在 1929 年的讲稿里回顾这一设想，提出时 Schrödinger 的波动力学还没有成熟。这是一个等待观测检验的理论设想，不是电子在空间里起伏的照片。

设想的波长给干涉定了尺度，电子动量一变，尺度也该跟着变。检验这种依赖，比看到探测图样有明有暗更有说服力，因为许多装置都会因别的原因出现明暗结构。

下式用动量大小和普朗克常数给出波长。对有质量的自由粒子，动量必须和能量用同一套关系计算：只有动能远小于静能时，才能用非相对论近似。这个波长不是电子的物理直径。

平面波只有一个动量，无限延伸。局域的波包需要一系列动量，所以只有一个中心波长，没有处处相同的确定波长。波包 Lab 直接采用一个波动方程来演示这一点，并没有独立推出物质波假设。

\lambda=\frac{h}{p}

波峰和波包包络不一定走得一样快。对相对论正能量分支上的窄自由粒子波包，能量对动量求导，就得到下式的群速度。这里的能量包含静能，约化普朗克常数把角频率和能量联系起来，粒子质量为正。

能量算上静能时，有质量粒子的相速度会超过光速，但这传不了超光速的信息：单一频率的波峰既不局域，也无法调制成信号。把常数静能减掉，相位约定和相速度都会变，这里的群速度导数却不变。

\begin{aligned}v_{\mathrm g}&=\frac{d\omega}{dk}=\frac{dE}{dp}=\frac{pc^2}{E}\\ E&=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\end{aligned}

de Broglie 把允许的轨道和一个条件联系起来：波绕闭合路径一圈，相位要能接上。这样，原子的离散条件就成了一个关于波的问题。但仅凭这一步，还得不出完整的氢原子波函数和跃迁强度，也得不出多电子原子的光谱。

后来的波动力学不再把轨道当真，改为求解本征值和边界条件问题，氢原子 Lab 用的就是这一框架。两种描述值得对照，正因为早期的启发性论证和完整计算是两项不同的成就。

Davisson 与 Germer 1927 年的作者摘要报告了电子在镍晶体上的散射，并把观测和波动预言作了比较，把波长设想和实验连了起来。晶体结构、表面处理和角度探测的细节，需要单独介绍装置，留给电子衍射专题。

读这类证据时，先把几何定下来，再看同一个动量关系能不能预言多组设置下的变化。只在一个挑得正好的角度上符合，不如整组变化都符合有力。示意的波纹动画，既给不出实测的各角度强度，也给不出它们的不确定度。

波长关系没有说明，展开的振幅怎样变成一次次探测事件的分布；Born 对碰撞的解释回答的是这个问题。同样，不确定性取决于态怎样制备、测的是哪个可观测量，并不是说所有仪器都太粗糙。

本文是一座桥：从早期的原子量子化，到波动力学，再到概率解释。历史上的成功在于一组彼此衔接的定量预言。它不要求把波包想成一小团物质，也没有裁定波函数该怎样解释。